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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练65


题组层级快练(六十五)
1.直线 l 过点( 2,0)且与双曲线 x2-y2=2 仅有一个公共点,这样的直线有( A.1 条 C.3 条 答案 C 解析 该点为双曲线的顶点,与双曲线相切的直线有一条,与渐近线平行的直线有两条,共 3 条. 2.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( A.(- C.(- 15 15 , ) 3 3 15 ,0) 3 B.(0, D.(- 15 ) 3 15 ,-1) 3 ) B .2 条 D.4 条 )

答案 D x2 2 3.已知 F1,F2 是双曲线 -y =1 的左、右焦点,P,Q 为右支上的两点,直线 PQ 过 F2 且倾斜角为 2 α,则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为( A.8 C.4 2 答案 C 解析 由双曲线定义知: |PF1|+|QF1|-|PQ| =|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|) =(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|-|QF2|) =4a=4 2. x2 y2 4.已知 A,B,P 是双曲线 2- 2=1 上不同的三点,且 A,B 连线经过坐标原点,若直线 PA,PB 的 a b 2 斜率乘积 kPA· kPB= ,则该双曲线的离心率为( 3 A. 2 2 ) B. D. 6 2 15 3 ) B .2 2 D.随 α 的大小而变化

C. 2 答案 D

解析 设 A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1), 因为 A,P 在双曲线上,

所以

? ?x y ?a -b =1.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2- 2=1, a b

b2 2 两式相减,得 kPA· kPB= 2= . a 3 a2+b2 5 所以 e2= 2 = . a 3 故 e= 15 . 3

y2 5.(2015· 四川绵阳第二次诊断考试)圆 C 的圆心在 y 轴正半轴上,且与 x 轴相切,被双曲线 x2- =1 3 的渐近线截得的弦长为 3,则圆 C 的方程为( A.x2+(y-1)2=1 C.x2+(y- 答案 A b 解析 设圆心(0,b),(b>0),半径为 b,双曲线渐近线方程为 y=± 3x,圆心到渐近线的距离为 d= . 2 b 3 由勾股定理,得( )2+( )2=b2,∴b=1.所以圆 C 的方程为 x2+(y-1)2=1. 2 2 x2 y2 6.(2015· 天津河西质量调研)如图所示,F1,F2 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直 a b 线 l 与双曲线的左、右两个分支分别交于 B,A,若△ABF2 为等边三角形,则该双曲线的离心率为( ) 32 3 )= 2 4 ) B.x2+(y- 3)2=3 D.x2+(y-2)2=4

2 3 A. 3 C.4 答案 D

B. 3 D. 7

解析 设等边三角形的边长为 x,则根据双曲线定义得|AF1|-|AF2|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,
? ? ??x+|BF1|?-x=2a, ?|BF1|=2a, ∴? ∴? ?x-|BF1|=2a, ?x=4a. ? ?

在△AF1F2 中,|AF1|=6a,|AF2|=4a,|F1F2|=2c,∠F1AF2=60° ,由余弦定理,得 4c2=36a2+16a2- 2×6a×4acos60° .∴c2=7a2,即 e= 7. x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直 a b 线 l 上,则双曲线的方程为( x y A. - =1 5 20
2 2

) x2 y2 B. - =1 20 5

3x2 3y2 C. - =1 25 100 答案 A

3x2 3y2 D. - =1 100 25

b b 解析 由题意可知, 双曲线的其中一条渐近线 y= x 与直线 y=2x+10 平行, 所以 =2 且左焦点为(- a a x2 y2 5,0),所以 a2+b2=c2=25,解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为 - =1.选 A. 5 20 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F( 7,0),直线 y=x-1 与其相交于 M,N 两点,MN 中点的 2 横坐标为- ,则此双曲线的方程是( 3 x2 y2 A. - =1 3 4 x2 y2 C. - =1 5 2 答案 D x2 y2 解析 设双曲线方程 2- 2=1,M(x1,y1),N(x2,y2), a b ) x2 y2 B. - =1 4 3 x2 y2 D. - =1 2 5

? ∴? x y ?a -b =1.
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 2- 2=1, a b

① ②

y1-y2 b2 x1+x2 ①-②,得 = 2· . x1-x2 a y1+y2 2 - b2 3 ∴1= 2· ,∴5a2=2b2. a 5 - 3 又 a2+b2=7,∴a2=2,b2=5,故选 D. x2 y2 9.(2015· 东北三校一模)已知双曲线 - =1,过其右焦点 F 的直线交双曲线于 P,Q 两点,PQ 的垂 9 16 直平分线交 x 轴于点 M,则 5 A. 3 5 C. 4 答案 B |MP| 5 解析 依题意,将直线 PQ 特殊化为 x 轴,于是有点 P(-3,0),Q(3,0),M(0,0),F(5,0), = . |PQ| 6 x2 y2 a2 10.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点 F(-c,0)(c>0),作圆 x2+y2= 的切线,切点为 E,延长 a b 4 → 1 → → FE 交曲线右支于点 P,若OE= (OF+OP),则双曲线的离心率为________. 2 |MF| 的值为( |PQ| ) 5 B. 6 5 D. 8

答案

10 2

→ 1 → → a2 a 解析 圆 x2+y2= 的半径为 ,由OE= (OF+OP)知,E 是 FP 的中点,设 F′(c,0),由于 O 是 FF′ 4 2 2 1 的中点,所以 OE⊥PF,|OE|= |PF′|?|PF′|=2|OE|=a. 2 由双曲线定义,|FP|=3a,因为 FP 是圆的切线,切点为 E,所以 FP⊥OE,从而∠FPF′=90° .由勾 股定理,得|FP|2+|F′P|2=|FF′|2?9a2+a2=4c2?e= 10 . 2

11.双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为________;若双曲线 C 的右顶点为 A,过 A 的直线 l 与双曲 → → 线 C 的两条渐近线交于 P,Q 两点,且PA=2AQ,则直线 l 的斜率为_______. 答案 x± y=0,± 3 解析 双曲线 C:x2-y2=1 的渐近线方程为 x2-y2=0,即 y=± x;双曲线 C 的右顶点 A(1,0),设 l:x
? ?x=my+1, =my+1,联立方程,得? 2 2 消去 x,得(m2-1)y2+2my+1=0(*),方程(*)的根为 P,Q 两点的 ?x -y =0, ?

→ → 纵坐标,设 P(xP,yP),∵PA=2AQ,∴yP=-2yQ.

?y +y =1-m , 又? 1 yy = , ? m -1
P Q 2 P Q 2

2m

1 1 解得 m=± ,直线 l 的斜率为 ,即为 3 或-3. 3 m

→ → x2 y2 12.已知曲线 - =1(ab≠0,且 a≠b)与直线 x+y-1=0 相交于 P,Q 两点,且OP· OQ=0(O 为原 a b 1 1 点),则 - 的值为________. a b 答案 2 x2 y2 解析 将 y=1-x 代入 - =1,得 a b (b-a)x2+2ax-(a+ab)=0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), a+ab 2a 则 x1+x2= ,x x = . a-b 1 2 a-b → → 2a+2ab 2a OP· OQ=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以 - +1=0. a-b a-b 即 2a+2ab-2a+a-b=0. 1 1 即 b-a=2ab,所以 - =2. a b 8 3 13.求两条渐近线为 x+2y=0 和 x-2y=0 且截直线 x-y-3=0 所得的弦长为 的双曲线的方程. 3

答案

x2 2 -y =1 4

1 解析 渐近线方程为 y=± x, 2 x y ? ?4m-m =1, x y 可设双曲线方程为 - =1,则? 4m m ?x-y-3=0. ?
2 2 2 2

可得 3x2-24x+36+4m=0, 36+4m ∴x1+x2=8,x1x2= . 3 由弦长公式|AB|= 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2,得 |AB|= 2· 又∵|AB|= 48-16m . 3

8 3 ,∴m=1. 3

x2 ∴双曲线方程为 -y2=1. 4 x2 14.设双曲线 C: 2-y2=1(a>0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同点 A,B. a (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围; → 5→ (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且PA= PB,求实数 a 的值. 12 答案 (1)( 6 17 , 2)∪( 2,+∞) (2) 2 13
2

x ? ?a2-y2=1, 解析 (1)由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组? 有两个不同的实数解. ? ?x+y=1, 消去 y 并整理,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①
?1-a2≠0, ? 所以? 4 解得 0<a< 2且 a≠1. 2 2 ?4a +8a ?1-a ?>0, ?

双曲线的离心率 e=

1+a2 = a

1 +1. a2

∵0<a< 2且 a≠1,∴e>

6 且 e≠ 2. 2 6 , 2)∪( 2,+∞). 2

即离心率 e 的取值范围为(

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1), → 5→ 5 5 ∵PA= PB, ∴(x1, y1-1)= (x2, y2-1), 由此得 x1= x2.由于 x1, x2 都是方程①的根, 且 1-a2≠0, 12 12 12 17 2a2 5 2 2a2 所以 x1+x2= x2=- x2=- . 2,x1x2= 12 12 1-a 1-a2

2a2 289 17 消去 x2,得- = .注意 a>0,得 a= . 13 1-a2 60 15.(2015· 河南安阳调研)已知圆 C1:(x+ 都外切. (1)求动圆的圆心 P 的轨迹 E 的方程; (2)直线 l:y=kx+1 与点 P 的轨迹 E 交于不同的两点 A,B,AB 的中垂线与 y 轴交于点 N,求点 N 的 纵坐标的取值范围. 3 答案 (1)2x2-y2=1(x>0) (2)(-∞,- ) 2 解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为 C1(- 设动圆 P 的半径为 r,由题意知|PC1|=r+ 则|PC1|-|PC2|= 2<|C1C2|= 6. 所以点 P 在以 C1,C2 为焦点的双曲线右支上,其中 2a= 2,2c= 6,所以 b2=1. 故轨迹 E 的方程为 2x2-y2=1(x>0). (2)将直线 y=kx+1 代入双曲线方程,并整理,得(k2-2)x2+2kx+2=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x0,y0), 依题意,直线 l 与双曲线的右支交于不同两点,故 6 5 2 6 2 ,0),r1= ;C2( ,0),r2= . 2 4 2 4 6 2 2 25 6 1 ) +y = ,圆 C2:(x- )2+y2= ,动圆 P 与已知两圆 2 8 2 8

5 2 2 ,|PC2|=r+ , 4 4

? ?Δ=?2k? -8?2kk-2?>0, ?x +x =-k -2>0, 2 ? >0. ?x x =k - 2
2 2 1 2 2 1 2 2

k2-2≠0,

所以-2<k<- 2.

-k -2 2 1 k 且 x0= 2 ,y0=kx0+1= 2 ,则 AB 的中垂线方程为 y+ 2 =- (x+ 2 ). k k -2 k -2 k -2 k -2 令 x=0,得 yN= 3 . 2-k2

3 ∵-2<k<- 2,∴yN<- . 2

已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点 为 M(-12,-15),则 E 的方程为( x2 y2 A. - =1 3 6 x2 y2 C. - =1 6 3 ) x2 y2 B. - =1 4 5 x2 y2 D. - =1 5 4

答案 B x2 y2 解析 由已知易得 l 的斜率为 k=kFM=1.设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2), a b

?a -b =1, 则有? x y ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 1

y2 1

两式相减并结合 x1+x2=-24,y1+y2=-30,得

y1-y2 4b2 4b2 = 2,从而 2=1,即 4b2= 5a x1-x2 5a

5a2.又 a2+b2=9,解得 a2=4,b2=5,故选 B.


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