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【山东省新人教B版数学(文科)2012届高三单元测试12:必修5第一章《解斜角三角形》


山东省新人教 B 版 2012 届高三单元测试 12 必修 5 第一章《解斜三角形》
(本卷共 150 分,考试时间 120 分钟)

一、选择题(本大题共 12 小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的) 1.在△ABC 中,a=1,∠A=30°,∠B=60°,则 b 等于( 3 1 A. B. 2 2 C. 3 )

D.2 a b asinB 1·sin60° 解析:选 C.由 = 得,b= = = 3. sinA sinB sinA sin30° 2.在△ABC 中,a=80,b=100,∠A=45°,则此三角形解的情况是( A.一解 B.两解 C.一解或两解 D.无解 解析:选 B.由 = 得 sin A sin B 100×sin45° 5 2 sinB= = <1, 80 8 又∵a<b, ∴B 有两解. 故三角形有两解. 13 3.在△ABC 中,若 a=7,b=8,cosC= ,则最大角的余弦值是( ) 14 1 1 A.- B.- 5 6 1 1 C.- D.- 7 8 13 2 2 2 解析:选 C.c =7 +8 -2×7×8× =9, 14 ∴c=3,∴B 最大. 2 2 2 7 +3 -8 1 cosB= =- . 2×7×3 7 4.在三角形 ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC 的大小为( ) 2π 5π A. B. 3 6 3π π C. D. 4 3 2 AB +AC2-BC2 52+32-72 1 解析:选 A.由余弦定理 cos∠BAC= = =- , 2×AB×AC 2×5×3 2 2π 所以∠BAC= . 3

)

a

b

5.在△ABC 中,∠B=60°,最大边与最小边之比为( 3+1)∶2,则最大角为( ) A.45° B.60° C.75° D.90° 解析:选 C.设最大角为∠A,最小角为∠C.由∠B=60°得∠A+∠C=120°.根据正弦定

a sinA 理,得 = = c sinC

-C sinC



3+ 1 ,所以 2sin(120°-C)=( 3+1)·sinC,即 3 2

cosC+sinC= 3sinC+sinC,所以 tanC=1, 又 0°<∠C<180°,所以∠C=45°,所以∠A=75°. 2 2 2 6.在△ABC 中,a +b -ab=c =2 3S△ABC,则△ABC 一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 a2+b2-c2 1 2 2 2 解析:选 B.由 a +b -ab=c 得:cos C= = ,∴∠C=60°, 2ab 2 又 2 3S△ABC=a +b -ab, 1 2 2 ∴2 3× ab·sin 60°=a +b -ab, 2 2 2 得 2a +2b -5ab=0, 即 a=2b 或 b=2a. 2 2 2 2 2 2 当 a=2b 时,代入 a +b -ab=c 得 a =b +c ; 2 2 2 2 2 2 当 b=2a 时,代入 a +b -ab=c 得 b =a +c . 故△ABC 为直角三角形. 7.如图所示为起重机装置示意图.支杆 BC=10 m,吊杆 AC=15 m,吊索 AB=5 19 m, 起吊的货物与岸的距离 AD 为( )
2 2

A.30 m

B.

15 3 m 2

C.15 3 m D.45 m 解析:选 B.在△ABC 中,由余弦定理,得 AC2+BC2-AB2 cos∠ACB= 2AC·BC 15 +10 - 19 1 =- , 2×15×10 2 ∴∠ACB=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°. 15 3 ∴AD=AC·sin60°= (m). 2 7 2 2 8.在△ABC 中,b -bc-2c =0,a= 6,cosA= ,则△ABC 的面积 S 为( 8 = A. 15 2 B. 15
2 2 2

)

C.2 D.3 2 2 解析:选 A.∵b -bc-2c =0, ∴(b-2c)(b+c)=0. ∵b+c≠0,∴b-2c=0.∴b=2c. 7 2 2 ∴6=c +4c -2c·2c× ,∴c=2,b=4. 8 1 1 49 15 ∴S= bcsinA= ×2×4× 1- = . 2 2 64 2 9.锐角三角形 ABC 中,b=1,c=2,则 a 的取值范围是(

)

A.1<a<3 B.1<a< 5 C. 3<a< 5 D.不确定 解析:选 C.因为△ABC 为锐角三角形, 所以 cosA>0,cosB>0,cosC>0, 2 2 2 2 2 2 所以 b +c -a >0,a +c -b >0, a2+b2-c2>0,所以 1+4-a2>0, a2+4-1>0,a2+1-4>0, 2 即 3<a <5,所以 3<a< 5. 又 c-b<a<b+c,即 1<a<3. 由?

? 3<a< 5, ?1<a<3.

得 3<a< 5. 10.△ABC 中,a,b,c 分别是 A、B、C 的对边,且满足 2b=a+c,B=30°,△ABC 的 面积为 0.5,那么 b 为( ) A.1+ 3 B.3+ 3 3+ 3 C. D.2+ 3 3 1 1 1 解析:选 C.2b=a+c, ac· = ? ac=2, 2 2 2 2 2 2 a +c =4b -4, 3 4+2 3 3+ 3 2 2 2 2 ∴b =a +c -2ac· ? b = ? b= . 2 3 3 11.在△ABC 中,下列结论: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ①a >b +c ,则△ABC 为钝角三角形;②a =b +c +bc,则 A 为 60°;③a +b >c ,则 △ABC 为锐角三角形;④若 A∶B∶C=1∶2∶3,则 a∶b∶c=1∶2∶3. 其中正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 b2+c2-a2 2 2 2 2 2 2 解析:选 A.①a >b +c ? b +c -a <0? <0? cosA<0? A 为钝角? △ABC 为 2bc 钝角三角形; b2+c2-a2 1 1 2 2 2 2 2 2 ②a =b +c +bc? b +c -a =-bc? =- ? cosA=- ? A=120°; 2bc 2 2 ③与①同理知 cosC>0, ∴C 是锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形. ④A∶B∶C=1∶2∶3? A=30°,B=60°,C=90° ? a∶b∶c=1∶ 3∶2. 12.锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边,设 B=2A,则 的取值 范围是( ) A.(-2,2) C.( 2,2) B.(0,2) D.( 2, 3)

b a

b sinB sin2A 解析:选 D.∵ = = =2cosA, a sinA sinA
又∵△ABC 是锐角三角形,∴?
? ?B=2A<90° ? ?A+2A>90°



∴30°<A<45°,则 =2cosA∈( 2, 3).

b a

二、填空题(本大题共 4 小题,把答案填在题中横线上) 13.在△ABC 中,若 A=120°,AB=5,BC=7,则 AC=________. 2 AB2+AC2-BC2 25+AC -49 解析:在△ABC 中,由余弦定理,得 cosA=cos120°= ,即 = 2×AB×AC 2×5×AC 1 - . 2 解得 AC=-8(舍去)或 AC=3. 答案:3 2a b c 14.△ABC 中, - - =________. sinA sinB sinC 解析:因为 = = ,所以 - =0, sinA sinB sinC sinA sinB a c 2a b c - =0,即 - - =0. sinA sinC sinA sinB sinC 答案:0 15.三角形的一边长为 14,这条边所对的角为 60°,另两边之比为 8∶5,则这个三角形 的面积为________. 解析:设另两边长分别为 8t,5t(t>0), 2 2 64t +25t -196 由余弦定理,得 cos60°= , 2 80t 1 解得 t=2.则另两边长分别为 16 和 10, 则这个三角形的面积为 ×16×10sin60°=40 3. 2 答案:40 3 → → → → → → → → → 16.已知平面上有四点 O,A,B,C,满足OA+OB+OC=0,OA·OB=OB·OC=OC·OA=- 1,则△ABC 的周长是________. 解析:由已知得 O 是三角形△ABC 的外心, → → → |OA|=|OB|=|OC|, → → → → → → 又OA·OB=OB·OC=OC·OA=-1, 2π 故∠AOB=∠BOC=∠COA= , 3 → → → |OA|=|OB|=|OC|= 2. 在△AOB 中,由余弦定理, 2π 2 2 2 得 AB =OA +OB -2OA·OB·cos =6,AB= 6, 3 故△ABC 的周长是 3 6. 答案:3 6 三、解答题(本大题共 6 小题,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.在△ABC 中,已知 a=2 3,b=6,A=30°,求 B 及 S△ABC. 解:在△ABC 中,由正弦定理 = 得, sinA sinB

a

b

c

a

b

a

b

b 6 1 3 ∴sinB= sinA= · = . a 2 3 2 2 又 A=30°,且 a<b,∴B>A. ∴B=60°或 120°. ①当 B=60°时,C=90°,△ABC 为直角三角形, 1 S△ABC= ab=6 3. 2

②当 B=120°时,C=30°,△ABC 为等腰三角形, 1 S△ABC= absinC=3 3. 2 18. 已知△ABC 的三个内角∠A、 ∠B、 ∠C 的对边分别为 a、 b、 c, 满足 a+c=2b 且 2cos2B -8cosB+5=0,求∠B 的大小并判断△ABC 的形状. 解:∵2cos2B-8cosB+5=0, 2 ∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0, 2 ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 1 3 解得 cosB= 或 cosB= (舍去), 2 2 1 π ∴cosB= ,∴∠B= , 2 3 又∵a+c=2b, a+c 2 a2+c2- 2 a2+c2-b2 1 ∴cosB= = = . 2ac 2ac 2 2 2 化简得 a +c -2ac=0,解得 a=c. 又 a+c=2b,∴a=b=c. ∴△ABC 是等边三角形. 19.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 所对的边,且 3a=2csinA. (1)确定∠C 的大小; (2)若 c= 3,求△ABC 周长的取值范围. a 2sinA sinA 解:(1)由 3a=2csinA 及正弦定理得, = = . c sinC 3 ∵sinA≠0,∴sinC= 3 . 2

π ∵△ABC 是锐角三角形,∴∠C= . 3 (2)∵ = = =2, sinA sinB sinC ∴a+b+c=2(sinA+sinB)+ 3 π =2 3sin(A+ )+ 3, 6 ∵△ABC 是锐角三角形, π π ∴ <∠A< , 6 2 故 3 π <sin(A+ )≤1. 2 6

a

b

c

所以△ABC 周长的取值范围是(3+ 3,3 3]. 20.△ABC 的周长为 20,BC 边的长为 7,∠A=60°,求它的内切圆半径. 解:设 BC=a,AC=b,AB=c,内切圆的半径为 r. 由题意 a+b+c=20,a=7,所以 b+c=13. 2 2 2 又 a =b +c -2bccosA, 2 2 2 2 即 a =b +c -bc=(b+c) -3bc, 2 2 所以 7 =13 -3bc,于是 bc=40, 1 1 所以 S△ABC= bcsinA= ×40×sin60°=10 3. 2 2

1 2S△ABC 20 3 由 S△ABC= (a+b+c)r,得 r= = = 3, 2 a+b+c 20 即△ABC 的内切圆的半径为 3. 21.如图,甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行, 当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时, 乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里?

20 解:如图,连结 A1B2,则 A2B2=10 2,A1A2= ×30 2=10 2. 60

又∠B2A2A1=180°-120°=60°,所以△A1A2B2 是等边三角形, 则∠B1A1B2=105°-60°=45°. 在△A1B2B1 中,由余弦定理,得

B1B22=A1B12+A1B22-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10 2)2-2×20×10 2×
所以 B1B2=10 2, 10 2 ×60=30 2. 20

2 =200. 2

则乙船每小时航行 30 2海里. 3 2 22.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 b =ac,cosB= . 4 1 1 (1)求 + 的值; tanA tanC → → 3 (2)设BA·BC= ,求三边 a、b、c 的长度. 2 3 解:(1)由 cosB= 可得, 4 7 . 4 2 ∵b =ac,∴根据正弦定理可得 2 sin B=sinAsinC. 又∵在△ABC 中,A+B+C=π , 1 1 cosA cosC ∴ + = + tanA tanC sinA sinC cosAsinC+cosCsinA = sinAsinC sinB= 1-cos B=
2

A+C sinB 1 4 7 = 2 = = . 2 sin B sin B sinB 7 → → 3 (2)由BA·BC= 得 2 3 → → |BA|·|BC|cosB=accosB= , 2 3 2 又∵cosB= ,∴b =ac=2, 4 2 2 2 又由余弦定理 b =a +c -2accosB=2. ?a+c=3 ? 得? , ?ac=2 ?
= 解得?
?a=1 ? ?c=2 ?
2

或?

?a=2 ? ?c=1 ?



又∵b =ac=2,∴b= 2. ∴三边 a,b,c 的长度分别为 1, 2,2 或 2, 2,1.
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