当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学公式汇总(上海版)


集合命题不等式公式 1、 CU ( A ? B) =_____ CU A ? CU B ____; CU ( A ? B) =_____ CU A ? CU B ______。 2 、
A? B ? A ?

__

A? B

___ ;

A? B ? B ?

__

A? B

__ ;

CU B ? CU A ? __ A ? B ___;
____ A ? B ____; CU A ? B ? U ? ______ A ? B _____。 A? C U B? ? ? 3、含 n 个元素的集合有:__ 2n __个子集,__ 2 n ? 1 __个真子集,__ 2 n ? 1 __个非 空子集,__ 2n ? 2 __个非空真子集。 4、常见结论的否定形式 原结论 反设词 是 否 都是 不都是 大于 小于 原结论 至少有一个 至多有一个 反设词 一个都没有 至少有两个

小于等于 至少有 n 个 至多 n-1 个 大于等于 至多有 n 个 至少 n+1 个 至少有一个 x 不 (非 p) 且 (非 对所有 x 都成立 P或q 成立 q) 对任何 x 都不成 至少有一个 x 成 (非 p) 或 (非 P且q 立 立 q) 5、四种命题的相互关系:__原命题___与___逆否命题__互为等价命题;____否 命题____与____逆命题___互为等价命题。 6、若 p ? q ,则 p 是 q 的___充分____条件;q 是 p 的____必要____条件。 7、基本不等式: (1) a, b ? R :________ a 2 ? b2 ? 2ab _____________等且仅当 a ? b 时取等号。 (2) a, b ? R ? :__________ a ? b ? 2 ab __________等且仅当 a ? b 时取等号。 (3)绝对值的不等式:__________ || a | ? | b ||?| a ? b |?| a | ? | b | _________ 8、均值不等式:

a, b ? R ?
_______




a?b a 2 ? b2 ___ ? ___ ____ 2 2

2 1 1 ? a b

______ ? _____ ab _____ ? ___

等且仅当 a ? b 时取等号。 9、分式不等式: 10 、

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0? ? g ( x) ? g ( x) ? 0
绝 对 值 不

) ? f ( x)? g ( x? f ( x) ?0? ? g ( x) ? g ( x )? 0
等 式 :

0

| f ( x) |? a(a ? 0) ? ____ f ( x) ? ?a或f ( x) ? a ________________
第 1 页

| f ( x) |? a(a ? 0) ? ____ ? a ? f ( x) ? a __________

11、指、对数不等式: (1) a ? 1 时:

a f ( x) ? a

g ( x)

? _ _ _ _ f_ x (? g ) x ( ) _______ l g gx ? ( ) ao _ _ _? _ f_ _ x_ ?0 g x ( ) ( ) ________

log ( ?) a f x

(2) 0 ? a ? 1 时:

a f ( x ) ? a g ( x ) ? ______ f ( x) ? g ( x) ________ log a f ( x) ? log a g ( x) ? ______ f ( x) ? g ( x) ? 0 ________

函数公式 1、函数 y ? f ( x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 2、一元二次函数解析式的三种形式:
2

1



b 2 4ac ? b 2 (a ? 0) _; 一般式: y ? ax ? bx ? c (a ? 0) __;顶点式: y ? a( x ? ) ? 2a 4a

?b+ b2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac )( x ? ) (a ? 0) ___________。 2a 2a 3、二次函数 y ? f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , x ?[m, n] 的最值: b ? f ( n) ? ?n ? b m?n 2a ? ? f ( m) ? ? ? b b ? ? 2a 2 0 ym i n? ? f (? ) m ? ? ?n 1 、 a ? 0 时, ymax ? ? 2a 2a ? ? f ( n) ? b ? m ? n ? b ? 2a 2 ? ? ?m ? f ( m) 2a ? b ? ? ?n ? f (n) b m?n 2a ? ? f ( m) ? ? ? b b ? ? 2 a 2 0 ? n ym i n? ? 2 、 a ? 0 时, ymax ? ? f (? ) m ? ? 2a 2a ? ? f ( n) ? b ? m ? n b ? ? 2a 2 ? ? ?m ? f (m) 2a ? 4、奇函数 f (? x) ? _____ ? f ( x) _____,函数图象关于 原点 对称; 偶函数 f (? x) ? _____ f ( x) ____=___ f (| x |) ___ ,函数图象关于 y 轴 对称。 奇函数若在 x=0 有意义,则 f (0) = 0 5*、若 y ? f ( x) 是偶函数,则 f ( x ? a) =______ f (? x ? a) _______;
零点式:____ y ? a( x ? 若 y ? f ( x ? a) 是偶函数,则 f ( x ? a) =______ f (? x ? a) _______。 6 、 函 数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单 调 递 增 ( 减 ) 的 定 义 : _____________ 任 取 x1 , x2 ?[m , n] ,且 x1 ? x2 ,若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单调递 增;若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则函数 y ? f ( x) 在 x ?[m, n] 单调递减________。 第 2 页

7、如果函数 f ( x) 和 g ( x) 在 R 上单调递减,那么 f ( x) ? g ( x) 在 R 上单调递__减 ___, f [ g ( x)] 在 R 上单调递___增____。 8、奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有 相反的单调性。 (填写“相同”或“相反” ) 9、互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? ___ f ?1 (b) ? a _____。 10、 y ? f ( x) 与 y ? f ?1 ( x) 互为反函数,设 f ( x) 的定义域为 D,值域为 A,则有

f [ f ?1 ( x)] ? ____ x( x ? A) _____; f ?1[ f ( x)] ? ______ x( x ? D) ______。 11、定义域上的单调函数一定有反函数。 (填写“一定有” , “可能有” , “一定没 有” ) 12、奇函数如果存在反函数,则反函数的奇偶性 奇函数 ; 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 (填写“相同”或“相反” ) 13 、 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 向 右 移 a 个 单 位 , 上 移 b 个 单 位 , 得 函 数
____ y ? f ( x ? a) ? b ____的图像; 曲线 f ( x, y) ? 0 的图像向右移 a 个单位,上移 b 个单位,得曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图像。

1、函数图像的对称性与周期性 (1)一个函数 y ? f ( x) 本身的对称性与周期性 解析式满足
f (a ? x) ? f (b ? x)

图像满足

? 关于直线 x ? ? ?
?
关于点 (

a?b 对称 2

f (a ? x) ? ? f (b ? x)
f (a ? x) ? f (b ? x) f (a ? x) ? ? f (b ? x)

a?b ,0) 对称 2

以 | a ? b | 为周期 以 2 | a ? b | 为周期

图像对称性 同时关于 x ? a, x ? b 对 称 同时关于 (a,0), (b,0) 对称 同时关于 x ? a, (b,0) 对称 (2)两个函数图像的对称性: 第 3 页

图像周期性

? ? ?

以 2 | a ? b | 为周期 以 2 | a ? b | 为周期 以 4 | a ? b | 为周期

y ? f (a ? x), y ? f (b ? x) 图像关于 x ?

b?a 对称; 2

y ? f (a ? x), y ? ? f (b ? x) 图像关于 (

b?a ,0) 对称; 2

y ? f ( x) 和 y ? f ?1 ( x) 图像关于____直线 y ? x _____对称。

2、写出满足下列恒等关系的一个(组)具体的函数: 恒等关系
f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) f ( xy) ? f ( x) ? f ( y)

具体函数
y ? kx

y ? a x (a ? 0且a ? 1) y ? loga x (a ? 0且a ? 1) y ? xk (k为有理数)
y ? tan x
y ? cos x y ? cos x

f ( xy) ? f ( x) f ( y)

f ( x ? y) ?

f ( x) ? f ( y ) 1 ? f ( x) f ( y )

1 ** f ( x) f ( y ) ? [ f ( x ? y ) ? f ( x ? y )] 2

** f ( x) ? f ( y ) ? 2 f (

x? y x? y )f( ) 2 2

幂指对函数公式 1、 a n ? ___ n a m _____, a
m ? m n

? ____

1
n

a

m

______(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

? ___a___ n为奇数 2、 ( n a )n ? _____ | a | _____, n a n ? ? ? ___ ? a___ n为偶数
3、有理指数幂的运算性质:

ar as ? ___ ar ?s ____;(ar )s ? ____ ar s ______;(ab)r ? ___ ar br ___.(a ? 0, b ? 0, r, s ? Q) 4、 指数式与对数式的互化:loga N ? b ? _____ ab ? N ______.(a ? 0, a ? 1, N ? 0)
5 、 对 数 换 底 公 式 : log a N ? _
l o am gbn ? n ? m lb o g

log c N _ .(a ? 0, a ? 1, N ? 0) , 推 论 : log c a

a

第 4 页

6、对数的四则运算: (a ? 0, a ? 1, M , N ? 0)
log a ( MN ) ? log a M ? log a N ;log a M ? log a M ? log a N ;log a M n ? n ? log a M N ? _______N_________ (a ? 0, a ? 1, N ? 0)

7、对数恒等式 aloga N

8、幂函数: y ? x ? ( ? 为常数, ? ? 0 ) ,图像恒过点(1,1) ,画出幂函数在第 一象限的图像。

? >1

? =1

0< ? <1

? <0

9、指数函数与对数函数

y ? a x (a ? 0, a ? 1)
定义域 值域 奇偶性 单调性 a>1 增 R
(0,??)

y ? loga x(a ? 0, a ? 1)
(0,??)

R 非奇非偶 a>1 增 0<a<1 减

非奇非偶 0<a<1 减

图像

三角比公式 1、 设 ? 终边上任意一点坐标为 P( x, y) , 这点到原点的距离为 r ? x 2 ? y 2 (r ? 0) , y x y x r r 则 sin ? ? , cos ? ? , tan ? ? , cot ? ? ,sec ? ? , csc ? ? 。 r r x y x y 2 2 2 2 2、 同角三角比公式: 平方关系: 1= cos ? ? sin ? = sec ? ? tan ? = csc2 ? ? cot 2 ? 。 商数关系: tan ? ?
sin ? ? (? ? k? ? , k ? Z ) cos ? 2 co? t ? cos ? (? ? k? , k ? Z ) sin ?

倒数关系: sin ? csc? ? 1(? ? k? , k ? Z )

cos ?sec ? ? 1(? ? k? ?

?

2

,k ? Z)

第 5 页

tan ? cot ? ? 1(? ?

k? ,k ? Z) 2

3、两角和与两角差公式: ___ ____ sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ) tan ? ? tan ? ___ tan(? ? ? ) ? __ 1 ? tan ? tan ? cos(? ? ? ) ? ___ cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ___。 b 4、辅助角公式: a sin x ? b cos x ? __ a 2 ? b 2 sin( x ? arctan ) ___(a ? 0) a 5、二倍角公式 sin 2? ? 2sin ? cos ? ; cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 ? sin 2 ? ;
2 tan ? ? k? ? __(? ? k? ? , ? ? ? ,k ? Z) 2 1 ? tan ? 2 2 4 ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? 6、半角公式: sin ? ? ; cos ? ? 2 2 2 2 tan 2? ? _



1 ? cos? 1 ? cos? sin ? ? ? (? ? k? , k ? Z ) 2 1 ? cos? sin ? 1 ? cos? 7、万能置换公式: tan ??
sin ? ? 2 tan

?

?
2 , cos? ?
2

1 ? tan2 1 ? tan
2

? ?
2 , tan? ? 2

2 tan

?
2 。
2

1 ? tan
其中 ? ? k? ?

?

, ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) 2 8、 (理)三角比的积化和差与和差化积公式 1 1 sin ? cos ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] cos ? sin ? ? [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 2 , 1 1 cos ? cos ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] sin ? sin ? ? ? [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )] 2 2 , sin ? ? sin ? ? 2 sin

?

2

1 ? tan

?

2

? ??
2

cos

? ??
2



sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2



cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??
2

sin

? ??
2

a b c ? ? ? 2 R ,其中 R 是三角形外接圆半径。 sin A sin B sin C b2 ? c2 ? a2 10、余弦定理: a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; cos A ? 。 2bc 1 1 a?b?c p ( p ? a )( p ? b)( p ? c) , 其中p ? 11、三角形面积公式: S ? ab sin C ? 2 2 2 x1 y1 1 ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 1 1 ??? ? x2 y2 1 ? AB AC ? ( AB ? AC ) 2 2 2 x3 y3 1

9、正弦定理:

(第三格用行列式表示,第四格用向量表示) 第 6 页

诱导公式 1、 1o ?

?
180

rad , 1rad ?

180

o

?
1 1 lR = ?R 2 2 2

2、扇形的弧长公式 l ? ? R ;扇形的面积公式 S ?

3、在直角坐标系中用“+” 、 “—”标出各个三角比在各个象限中的符号。

sin ?

cos?

tan ?

cot ?

sec?

csc?

(k ? Z ) 4、诱导公式

诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限

第 7 页

三角函数图像与性质 名称 解析式 定义域 值域 增区间 减区间 奇偶性 周期性 正弦函数
y ? sin x
x?R
y ? ?? 1,1?

余弦函数
y ? cos x
x?R
y ? ?? 1,1?

正切函数
y ? tan x
x ? k? ?

余切函数
y ? cot x
x ? k? , k ? Z y?R

?
2

,k ?Z

y?R

? ?? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ?

?2k? ? ? ,2k? ?
?2k? ,2k? ? ? ?
偶函数 周期 2k? , k ? 0 最小正周期 2?
x ? 2k? , y max ? 1

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?



? 3? ? ? ?2k? ? 2 ,2k? ? 2 ? ? ?

无 奇函数 周期 k? , k ? 0 最小正周期 ? 无最大(小)值

?k? , k? ? ? ?
奇函数 周期 k? , k ? 0 最小正周期 ? 无最大(小)值

奇函数 周期 2k? , k ? 0 最小正周期 2?
x ? 2k? ?

?
2 2

, y max ? 1

最值
x ? 2k? ?

?

, y min ? ?1

x ? 2k? ? ? , y min ? ?1

零点 对称轴 对称中 心

x ? k?

x ? k? ?

?
2

x ? k?

x ? k? ?

?
2

直线 x ? k? ?

?
2

直线 x ? k? 点 (k? ? ? ,0) 2

无 点 ( k? ,0) 2

无 点 ( k? ,0) 2

点 (k? ,0)

图象

第 8 页

(一)弦曲线 y ? A sin( ?x ? ? ) 的物理意义 1、振幅 A:表示离开平衡位置的最大值 2、周期 T ? 2? ,表示往复振动一次所需的
?

(二)参数 A, ? , ? , m 对 y ? A sin(?x ? ? ) 图象影 响 1、位置变化

时间 其他 3、频率 f ? 1 ? ? , 表示单位时间内往复振
T 2?
y ? sin(x ? ? ) 左右平移 y ? sin x ? m 上下平移

动次数 4、 ?x ? ? 叫做相位,? 叫做初相; x ? ? ? 表
?

2、形状变化
y ? A sin x 上下伸缩 y ? sin?x 左右伸缩

示相位移。 初相 ? 表示振动开始时物体的位置。

反三角函数与三角方程 反三角函数图像与性质 名称 解析式 定义域 值域 增区间 减区间 奇偶性 反正弦函数
y ? arcsin x
x ? ?? 1,1?

反余弦函数
y ? arccos x
x ? ?? 1,1?

反正切函数
y ? arctan x
x?R
y ? (?

反余切函数
y ? arccot x

x?R
y ? (0, ? )

y ? [?

? ?

, ] 2 2

y ? ?0, ? ?

? ?

, ) 2 2

?? 1,1?
无 奇函数
x ? 1, y max ?



R


R

?? 1,1?
非奇非偶函数
?
2

无 奇函数

非奇非偶函数

x ? ?1, y max ? ?

最值

x ? ?1, y min ? ?

?
2

无最大(小)值
x ? 1, y min ? 0

无最大(小)值

零点 对称轴

x?0

x ?1

x?0

无 无



无 第 9 页



对称中
(0 , 0)
(0 ,

?
2

)

(0 , 0)



? 点 (0, ) 2

图象

2、恒等式(写明 x 的取值范围): ? ? ? ? arcsin(sinx) ? x, x ? [? , ] ; arccos(cosx) ? x, x ? [0, ? ] ; arctan(tanx) ? x, x ? (? , ) 2 2 2 2
sin(arcsinx) ? x, x ?[?1,1] ; cos(arccosx) ? x, x ?[?1,1] ; tan(arctan x) ? x, x ? R
arcsin(? x) ? arctan(? x) ?

? arcsin x,x ? [? ? arctan x, x ? (?

? ?

, ] ; arccos(? x) ? 2 2

? ? arccosx,x ? [0, ? ] ;
?

? ?

, ) ; arcsin x ? arccos x ? , x ? [ ?1,1] 2 2 2

3、最简单的三角方程: 方程 方程的解集
sin x ? a , | a |? 1

方程

方程的解集

{x | x ? k? ? (?1) k arcsin a, k ? Z} sin x ? sin ?
{x | x ? 2k? ? arccosa, k ? Z}

{x | x ? 2k? ? ?或2k? ? ? ? ? , k ? Z}
{x | x ? 2k? ? ? , k ? Z} {x | x ? k? ? ? , k ? Z}

cos x ? a , | a |? 1 tan x ? a

cosx ? cos?
tan x ? tan ?

{x | x ? k? ? arctana, k ? Z }

数列公式 等差数列 {an } 定义 通项公式 通项公式 的推导方 法 推广的通 项公式 m?n ? p?q 时 等比数列 {an }

an?1 ? an ? d , (n ? N * )
an ? a1 ? (n ? 1)d
累加法

an?1 ? q, (an ? 0, q ? 0, n ? N * ) an

an ? a1q n?1
累乘法

an ? am ? (n ? m)d

an ? am q n?m

am ? an ? a p ? aq

am an ? a p aq

第 10 页

求和公式

Sn ?

n( a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) ? na1 ? d 2

( q ? 1) ( q ? 1) ?na1 ?na1 ? ? n S n ? ? a1 ? an q ? ? a (1 ? q ) (q ? 1) ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? ? 1? q

前 n 项和公 式推导的 方法: Sn , S2n , S3n 间的关系

倒序相加法

错位相减法

2(S2n ? Sn ) ? Sn ? (S3n ? S2n )
等差中项:an ?
an ?1 ? an ?1 , 2

(S2n ? Sn )2 ? Sn ? (S3n ? S2n ) an 2 ? an?1 ? an?1 (充分非必要)
n ? 2 , n ? N* Sn ? A ? qn ? (? A)

充要条件

n ? 2 , n ? N* Sn = An2 ? Bn

2、a 与 b 的等差中项____

a?b _______;a 与 b 的等比中项_____ ? ab _______。 2

(n ? 1) ?S 3、数列的通项公式与前 n 项和的关系: an ? ? 1 。 * ?S n ? S n ?1 (n ? 2, n ? N )
4 、 an ? kan?1 ? b ( k ≠ 0,k ≠ 1,b ≠ 0 ), 求 通 项 时 , 将 该 式 变 形
an ? b b ( 。 n ? 2 , n ? N* ) ? k (an ?1 ? ) k ?1 k ?1

5、已知 {an } 为等差数列, {bn } 为等比数列,则 (1)求数列 {an ? bn } 前 n 项和用分组求和法; (2)求数列 {an ? bn } 前 n 项和用错 位相减法; (3)求数列 { 6 、 lim
1 } 前 n 项和用裂项相消法。 an an ?1

1 =__0__ ; lim C =__ C __ ; ( 其 中 C 为 常 数 ) , n ?? n ?? n | q |? 1 ? 0 ? n lim q ? ? 1 q ?1 n ?? ?不存在 | q |? 1或q ? ?1 ? a 7 、 无 穷 等 比 数 列 各 项 和 : S ? lim S n ? 1 , 其 中 公 比 q 的 取 值 范 围 为 n?? 1? q __ | q |? 1, q ? 0 __ 8 、已知 lim a n ? A , lim bn ? B ,则 lim(a n ? bn ) ? A ? B ; lim(a n ? bn ) ? A ? B ;
n?? n?? n ?? n ??

lim

an A ? (bn ? 0, B ? 0) n ?? b B n
矩阵行列式公式

1、通过对线性方程组增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解,这里所用的矩 阵变换有下列三种: 第 11 页

(1)互换矩阵的两行; (2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; (3)某一行乘以一个数加到另一行。 通过上述三种矩阵变换,使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时,其增广矩阵的 最后一个列向量给出了方程的解。 2、已知矩阵 An?k ,矩阵 Bk?m ,矩阵 Cn?m ,如果矩阵 C 中第 i 行,第 j 列的元素 cij 为 A 的第 i 个行向量与 B 的第 j 个列向量的数量积, i ? 1, 2,?n, j ? 1, 2,?n ,那 么 C=AB。 (1)只有当 A 的列数和 B 的行数相等时,矩阵之积 AB 才有意义; (2)一般的, AB ___ ? ____ BA 。 (填 ? 或 ? )
? 4? ? 4 8 12 ? ? ? ? ? 例如:若 A ? ?1 2 3? , B ? ? 5 ? ,则 AB= ? 32? , BA= ? 5 10 15 ? 。 ? 6 12 18 ? ?6? ? ? ? ?

? x? ?a b? 3、矩阵变换:向量 ? ? 的左边乘一个 2 阶方阵 ? ? ,就可以得到另一个向量 ? y? ?c d ? ? x'? ? x'? ? a b ?? x ? ? ? ,即 ? ? ? ? ?? ? ,这个矩阵变换把向量 ? x y ? 变换成向量 ? x ' y '? 。 ? y '? ? y '? ? c d ?? y ?
a1 b1 b2 b3 c1 c2 按对角线法则展开 a1b2c3 ? a2b3c1 ? a3b1c2 ? a3b2c1 ? a2b1c3 ? a1b3c2 c3

4、 a 2 a3

按第一行展开 a1

b2 b3

c2 c3 a1

? b1 b1

a2 a3

c2 c3

? c1

a2 b2 a3 b3



c2 的代数余子式是 ?

a3 b3
b1 c1 ,Dx= b2 c2 b1 a1 ,Dy= b2 a2 c1 c2

a1 ? a1 x ? b1 y ? c1 5、二元一次方程 ? 记 D= a2 ? a2 x ? b2 y ? c2

? x? ? ? 当 D ? 0 时,方程组有唯一解,其解为 ? ?y ? ? ?

Dx D ; Dy D

当 D ? 0, 且Dx ? 0或Dy ? 0 时,方程组无解; 当 D ? Dx ? Dy ? 0 时,方程组有无数多解。
? a1 x ? b1 y ? c1 z ? d1 ? 6、三元一次方程 ? a2 x ? b2 y ? c2 z ? d 2 ?a x ? b y ? c z ? d 3 3 3 ? 3

第 12 页

a1

b1 b2 b3

c1

d1

b1 b2 b3

c1

a1

d1 d2 d3

c1

a1

b1 b2 b3

d1 d2 d3

记 D= a2 a3

c2 ,Dx= d 2 c3 d3

c2 ,Dy= a2 a3 c3

c2 ,Dz= a2 c3 a3

? ?x ? ? ? 当 D ? 0 时,方程组有唯一解,其解为 ? y ? ? ? ?z ? ?
当 D ? 0 时,方程组无解或有无穷多解。 7、算法部分请看书

Dx D Dy D Dz D



向量复数公式 ? ? ? ? ? ? 1、 向量 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , x2 ,y1 y2 ?) , ? ? ? ? ? ? a ? (? x1 , ? y1 ) , a ? b ? | a || b | cos? = x1 ? x2 ? y1 ? y2 , 向 量 夹 角 ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 a ?b cos ? ? ? ? = , | a |? x12 ? y12 。 | a || b | x12 ? y12 x22 ? y22 ? ? 2、设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 ? ? ? ? ? ? ? ? a / / b ? a ? ? b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ? a ? b ? ? | a || b | ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ? | a ? b |?| a ? b |

? ? ? ? 3、向量 a 与向量 b 夹角为锐角 ? a ? b ? 0且a不平行于b

? ? ? 4、向量 a 在向量 b 上的投影为 | a | cos ?

??? ? ???? 5、定比分点公式: P , ( x , y ), P ( x , y ) PP ? ? PP 1 1 1 2 2 2 1 2 , 则 P 坐 标 为 x ? ? x2 y1 ? ? y2 ( 1 , )。 1? ? 1? ?
6、 ?ABC 顶点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ,则 ?ABC 重心坐标为
( x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , )。 3 3

7、三角形四心定义:内心:三角形角平分线的交点; 外心:三角形中垂线的交点; 第 13 页

重心:三角形中线的交点; 垂心:三角形高的交点; 三角形四“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点, a, b, c 是 A, B, C 对应的边。 ??? ?2 ??? ? 2 ??? ?2 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC ??? ? ??? ? ??? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OA ? OC ??? ? ???? ??? ? AB AC (4) AP ? ? ( ??? ? ? ???? ) ( ? ? R ),则 P 的轨迹过三角形的内心 AB AC

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 8、A、B、C 三点共线 ? AB ? ? AC (? ? 0) ? OA ? tOB ? (1 ? t )OC ( OA 、 OB 、 ??? ? OC 的关系式)
9、复数 z ? a ? bi,(a, b ? R) ,则 | z | = a2 ? b2 ; z 是纯虚数 ? a ? 0 , b ? 0 。 10、 | z1 ? z2 | 的几何意义是: Z1 , Z 2 两点间的距离。 ?2 ? ?2 11、 | z 2 | ? | z |2 ? z 2 ; | a | ? | a |2 ? a (填写 ?, ? ) 12、 z ? R ? z ? z 。 13、负实数 a 的平方根是 ? ?a ? i 。 14、实数 a 的立方根是 3 a , 15 、 实 系 数 一
?1 ? 3i 3 ? a。 2










_ 0 _ _

ax2 ? bx ? c ? 0





? ? ? ? x?? ? ? ? ?

?b ? 2 b 4 ? a c _ _ ?_ _ _ _ _ 2a b _ ?_ _ _ ? _ ?_ _ _ _ 2a _ ?b _ ? 4 a _ 2a
2

>

0

c?

b ?

i

? _? _

_

_

_

_

_

0

16 、 实 系 数 一 元 二 次 方 程 ax2 ? bx ? c ? 0 的 两 根 为 x1 , x2 , 则
? ? ( x ? x ) 2 ? 4 x1 x2 | x1 ? x2 | = ? 1 2 | 2b | ? ? ??0 。 ??0

第 14 页

直线公式 y ? y2 1、已知 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 k AB ? 1 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2
| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 = 1 ? k 2 | x1 ? x2 | = 1 ?

1 | y1 ? y 2 | k2

2、直线的方程: (应用以上直线方程时应考虑其存在的条件) (1)点方向式:
x ? x0 y ? y 0 ? (过 P( x0 , y0 ) ,一个方向向量为 (u , v) , uv ? 0 ) u v

当 u ? 0 时,该直线方程为 x ? x0 ;当 v ? 0 时,该直线方程为 y ? y0 (2)点法向式: a( x ? x0 ) ? b( y ? y0 ) ? 0 (过 P( x0 , y0 ) ,一个法向量为 ( a, b) ) (3)点斜式: y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (过 P( x0 , y0 ) ,斜率为 k) 当斜率不存在时,该直线方程为 x ? x0 (4)一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A、B 不同时为零) (5)斜截式: y ? kx ? b (斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b) 当斜率不存在时,该直线方程为 x ? 0

第 15 页

? x ? x0 ? ut (6)(理)参数方程: ? (过 P( x0 , y0 ) ,一个方向向量为 (u , v) ) ? y ? y0 ? vt

? x ? x0 ? t cos ? (7)(理)参数方程: ? (过 P( x0 , y0 ) ,倾斜角为 ? ) ? y ? y0 ? t sin ?
3、直线斜率 k 和倾斜角 ? 的关系:

k ? tan ? , ? ? [0, ) ? ( , ? ) ; 2 2

?

?

(k ? 0) ? arctank ?? (k不存在) ? =? 2 ? ? ? ? arctank (k ? 0)

? ? ? 4、已知直线的法向量为 n ? (a , b) ,则该直线的方向向量为 d ? (b , ? a) ,斜率为
k??

a (b ? 0 ) b

5、两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2
? k1 ? k 2 |b ?b | ;此时两平行直线 l1,l 2 间的距离 d ? 1 2 ; l1 // l 2 ? ? ? b1 ? b2 1? k 2

在。 l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1, 或一个为零另一个不存
(2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0

? A1 B1 ? 0即A1 B2 ? A2 B1 ? A B ? 2 2 ; 此 时 两 平 行 直 线 l1,l 2 间 的 距 离 l1 // l 2 ? ? A C 1 ? 1 ? A C ? 0即A1C2 ? A2C1 2 ? 2
d?

| C1 ? C 2 | A2 ? B 2



l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 。
6、两直线夹角公式: (1) tan ? = |
k2 ? k1 | ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 ) 1 ? k1k2

(2)cos ? =

| A1 A2 ? B1 B2 | A1 ? B1
2 2

A2 ? B2

2

2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ) 第 16 页

7、常见的直线系方程: (1)定点直线系方程:经过定点 P( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除 直线 x ? x0 ) ,其中 k 是待定的系数。 (2)共点直线系方程:经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 ,l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为 A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 (除 l2) ,其中 ? 是 待定的系数。 ( 3 ) 平 行 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 平 行 的 直 线 系 方 程 为

Ax ? By ? C ' ? 0 (C ' ? C) 。
( 4 ) 垂 直 直 线 系 方 程 : 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 垂 直 的 直 线 系 方 程 为

Bx ? Ay ? C ' ? 0 。
8、点 P( x0 , y0 ) 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d=
ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2 | Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2



9、 ? ?

的符号确定了点 P( x0 , y0 ) 关于直线 l : ax ? by ? c ? 0 的相对位

置。在直线同侧的所有点, ? 的符号是相同的,在直线异侧的所有点, ? 的符号 是相反的。 (填写“相同”或“相反” ) 10、点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 异侧

? ( Ax1 ? By1 ? C)( Ax2 ? By2 ? C) ? 0 。
11、点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 在直线 Ax ? By ? C ? 0 同侧

? ( Ax1 ? By1 ? C)( Ax2 ? By2 ? C) ? 0

直线与圆锥曲线联立勿忘△ 1、对于曲线 C 和方程 F ( x, y) ? 0 ,满足: (1)曲线 C 上的点的坐标都是方程
F ( x, y) ? 0 的解; (2)以方程 F ( x, y) ? 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上的点,我

第 17 页

们就把方程 F ( x, y) ? 0 叫做曲线 C 的方程,曲线 C 叫做方程 F ( x, y) ? 0 的曲线。 2、圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 。 (2)圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) 。

? x ? a ? r cos ? (3)圆的参数方程: ? ? ?[0 , 2? ),? 是参数 。 y ? b ? r sin ? ?
(4)圆的复数方程: | z ? z0 |? r 3、已知点 M ( x0 , y0 ) ,圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 。 点在圆外 ? | CM |? r ? ( x0 ?a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; 点在圆上 ? | CM |? r ? ( x0 ?a)2 ? ( y0 ? b)2 ? r 2 ; 点在圆内 ? | CM |? r ? ( x 0 ?a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 。 4、直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 相交 ? d ?
| Aa ? Bb ? Cc | a ?b
2 2

? r ;相切 ? d ?

| Aa ? Bb ? Cc | a 2 ? b2

? r;

相离 ? d ?

| Aa ? Bb ? Cc | a 2 ? b2

? r。

5、圆 C1 与圆 C2 位置关系: 外离 ?| C1C2 |? r1 ? r2 ;外切 ?| C1C2 |? r1 ? r2 ;相交 ?| r1 ? r2 |?| C1C2 |? r1 ? r2 ; 内切 ?| C1C2 |?| r1 ? r2 | (r1 ? r2 ) ;内含 ?| C1C2 |?| r1 ? r2 | (r1 ? r2 ) 。 6、圆的切线方程: (1)过圆 C: x 2 ? y 2 ? r 2 上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 。 (2)过圆 C: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆的切线方程为

( x0 ? a)(x ? a) ? ( y0 ? b)( y ? b) 2 ? r 2 。
(3)过圆 C: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0( D 2 ? E 2 ? 4F ? 0) 上一点 M ( x0 , y0 ) 的圆 的切线方程为 x0 x ? y 0 y ? D
x0 ? x y ?y ?E 0 ? F ? 0。 2 2

第 18 页

(4)斜率为 k 的圆 C: x 2 ? y 2 ? r 2 的切线方程为 y ? kx ? r k 2 ? 1 。 7、圆的弦 AB 的长度= 2 R2 ? d 2 (圆半径为 R,圆心到 AB 距离为 d) 8、 椭圆的定义是平面内到两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数 2a (2a 大于|F1F2|) 的点的轨迹。焦点在 x 轴的椭圆标准方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,长轴长为 2a, a2 b2

短轴长为 2b, 焦点坐标为 (? a 2 ? b2 , 0) , 对称轴为 x 轴、 y 轴, 对称中心为 (0 , 0) 。

? x ? a cos ? x2 y2 9、椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? ? ?[0 , 2? ), ?是参数 ; a b ? y ? b sin ?
复数方程是 | z ? z1 | ? | z ? z2 |? 2a , 2a ?| Z1Z2 | 。 10、点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆
x y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 内部 ? 02 ? 02 ? 1 。 2 a b a b
2 2

11、双曲线的定义是平面内到两个定点 F1,F2 的距离之差等于常数 2a(2a 小于
x2 y2 |F1F2|)的点的轨迹。焦点在 x 轴的双曲线标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , a b

实轴长为 2a,虚轴长为 2b,焦点坐标为 (? a 2 ? b2 , 0) ,对称轴为 x 轴、y 轴, 对称中心为 (0 , 0) 。 12 、 双 曲 线
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2













? x ? a sec ? ? ?[0 , 2? ), ?是参数 ; ? ? y ? b tan ?
复 数 方 程 是

|| z ? z1 | ? | z ? z2 ||? 2a , 2a ?| Z1Z2 | 。
13、 (1)双曲线
b x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐进线方程为 y ? ? x 。 2 a a b

x y x2 y2 (2)渐进线为 ? ? 0 的双曲线方程可设为 2 ? 2 ? ?,? ? 0 。 a b a b

14、抛物线的定义是平面内到一个定点 F 和到一条定直线 l (F 不在 l 上)距离相 等的点的轨迹。 第 19 页

p p 15、抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,焦点坐标为 ( ,0) ,准线方程为 x ? ? , p 的几何 2 2

意义是焦点到准线的距离。 16 、( 1 ) 曲 线 F ( x, y? ) 关 0 于 点 M ( x0 , y0 ) 成 中 心 对 称 的 曲 线 是

F (2x0 ? x, 2 y0 ? y) ? 0 。
( 2 ) 曲 线 F ( x, y? )
F (? y ? c , ? x ? )c 。 ?0

关 0 于 直 线 x? y? C ? 0 成轴对称的曲线是

*****(3)曲线 F ( x, y) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的点是
F (x ? 2 A( Ax ? By ? C ) 2 B( Ax ? By ? C ) ,y? )。 2 2 A ?B A2 ? B 2

排列组合二项式定理概率统计公式 1、排列数公式: Pnm ? __ n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) __ ? __ 2
m Cn ?_

n! ___(n, m ? N * , m ? n) (n ? m)!






? ) n ? ?


? ( m _ m!
*


n _ (n 1


?N _ m) ) n


! m? _ ! N

n( ? ? n 1 _ m!

m n?m m m?1 m 3、组合数性质: Cn = Cn ? _ Cn _ ; Cn ? Cn ?1 。

4、组合数恒等式:
r r ?1 (1) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn = Cn ?1 ;

0 1 2 n (2) Cn = 2n ; ? Cn ? Cn ? ?? Cn 0 2 4 1 3 5 (3) Cn ? Cn ? Cn ? ?= 2 n ?1 = Cn ? Cn ? Cn ? ?。

1 k (4) nPnk?? 1 ? _P n _;

n m ?1 m Cn ?1 ? _ Cn _. m

m m m 5、排列数与组合数的关系: P n ?_P m _ Cn 0 n 1 n?1 r n ?r r n n 6、二项式定理 (a ? b)n = Cn a ? Cn a b ? ?? Cn a b ? ?? Cn b (n ? N ? ) ,

r n?r r 其中通项公式 Tr ?1 = Cn a b 。

7、二项式系数,当 n 是偶数时,中间一项 C 取得最大值,当 n 是奇数时,中间

n 2 n

第 20 页

两项 C

n ?1 2 n

?C

n ?1 2 n

取得最大值。

8、记必然事件为 ? ,不可能事件为 ? ,随机事件为 A
P(?) ? _1__; P(?) ? _ 0 __; P( A) ? __[0 ,1] ___

设 E、F 是两个随机事件(填写独立、对立、互斥) (1)满足 E ? F ? ? 且 E ? F ? ? 的 E 和 F 叫做对立事件; (2) (理)E、F 不可能同时出现,则 E 和 F 叫做互斥事件;此时
P( E ? F ) ? P( E ) ? P( F )

(3) (理)E、 F 互相之间没有影响,则 E 和 F 是互相独立事件;此时
P( EF ) ? P( E ) P( F )

9、 (理)概率加法公式: P( A ? B) = P( A) ? P( B) ? P( AB) 。 10、设总体有 N 个个体,它们分别是 x1 , x2 , x3 ,? xN ,且它们的平均数为 ? 则总体方差 ? 2 =
1 [( x1 ? ? ) 2 ? ( x2 ? ? ) 2 ? ? ? ( xn ? ? )2 ] N

? 叫做总体标准差,反映总体中各个个体之间的差别的大小。

11、抽样方法: (1)随机抽样:抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入 样本。 (抽签、利用随机数抽样等) (2)系统抽样:把总体的每一个个体编号,按某种相等的间隔抽取样本的方法。 (3)分层抽样:把总体分成若干个部分,然后再每个部分进行随机抽样的方法。 将总体个数 N 分成 k 层, 每层的个体数分别记作 N1 , N2 , N3 ,? Nk , 在每层中分别随机抽取 n1 , n2 , n3 ,?nk 个个体组成容量为 n 的样 本。
n n n1 n n ? 2 ? 3 ?? ? k ? N1 N 2 N3 Nk N

12、样本为 x1 , x2 , x3 ,? xn ,样本容量为 n ,则 总体均值的点估计值为 x =
x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn n

第 21 页

总体标准差的点估计值为 s ?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n ?1

均值的 ? 估计区间为 [ x ? ? , x ? ? ] 。 13、 (理)取离散值的随机变量叫做离散型随机变量,其取值概率可用下表给出

xi P(? ? xk )

x1 p1

x2
p2

…… ……

xn
pn

随机变量所有的取值 x1 , x2 ,?, xn 对应的概率所成的数列 p1 , p2 ,?, pn 叫做随机变 量的概率分布律。 随机变量 ? 的数学期望为 E? = x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn 随机变量 ? 的方差 D? = ( x1 ? E? )2 p1 ? ( x2 ? E? )2 p2 ? ?? ( xn ? E? )2 pn 数学期望是随机变量的加权平均数,表示随机变量取值的平均水平,因此也叫做 随机变量的均值;随机变量的方差或标准差刻画了随机变量取值的离散程度。 14、 (理)把直角坐标系的远点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,并且取相同的 单位长度。 设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标为 ( x, y ) ,极坐标为 ( ? ,? )

? x ? ? cos ? 则? , ? y ? ? sin ?

? ? 2 ? x 2? y 2 ? ? y ? ? x(? ?t a n x ?

。 0)

15、 (理) ? ? ?0 ? a? 对应的曲线叫做等速螺线(阿基米德螺线)

立体几何公式 1、如果直线 l 上有两个点在平面 ? 上,那么直线 l 与平面 ? 的关系是直线 l 在平 面? 上 如果平面 ? 与平面 ? 相交,那么它们所有的交点构成的图形是直线 确定平面的条件是不在同一直线上的三点确定一个平面,或直线和直线外一

第 22 页

点确定一个平面, 或两条相交直线确定一个平面, 或两条平行直线确定一个平面。 平行与同一直线的两条直线平行。 如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行,那么这两个角相等或互补。 2、 空间直线 l1 与直线 l2 所成角是指在直线 l1 上任取一点 M, 过 M 作 l2 的平行线 l3 ,

l1 与 l3 的夹角就是直线 l1 与直线 l2 所成角,范围是 [0 ,

?
2

]。

空间直线 l 与平面 ? 所成角是指当直线 l 与平面 ? 不垂直时,直线 l 与平面 ? 所成角是指直线 l 与其在平面上 ? 的投影 l ' 所成的角,范围是 [0 ,

?
2

]。

空间平面 ?1 与平面 ? 2 所成角是指在两平面的交线 l 上任取一点 O,过点 O 分 别在两平面上作垂线 OM、ON, ?MON 就是平面 ?1 与平面 ? 2 所成角,范围是
[0 , ? ) 。

3、与平面上任何直线都垂直的直线叫做平面的垂线。如果一条直线与平面上的 两条相交直线垂直,那么它与平面上的任意直线都垂直。 4、已知平面 ? 与平面 ? 互相平行,平面 ? 与它们的交线分别为直线 a,b,那么 直线 a,b 的位置关系是 a // b 。 已知直线 l 平行于平面 ? , 平面 ? 经过 l 且与平面 ? 相交于直线 l ' , 那么直线 l 与 l ' 的位置关系是 l // l ' 。 5、请写出定理“在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影垂 直,那么它也和这条斜线垂直”的逆定理在平面内的一条直线,如果和这个平面 的一条斜线垂直,那麽它也和这条斜线的射影垂直。 6、斜二测法规定在 x 轴方向上线段的长度是其表示的真实长度的一半,在 y 轴 和 z 轴方向上线段的长度与其表示的真实长度相等。 斜二测画法中原图形和直观图的面积比为 1:

2 。 4

7、祖暅原理是:体积可以看成是由面积叠加而成,用一组平行平面截两个空间 图形,若在任意等高处的截面面积都对应相等,则两空间图形的体积相等。 8、圆柱是由长方形绕其一条边所在直线旋转形成的,圆锥是由直角三角形绕其 第 23 页

一条直角边所在直线旋转形成的,球是由半圆绕其直径所在直线旋转形成的。

9、设几何体的底面周长为 C,母线或斜高长为 h ' ,则圆柱或直棱柱的侧面积为
1 Ch ' ;圆锥或正棱锥的侧面积为 Ch ' ;半径为 R 的球的表面积为 4? R 2 。 2
1 4 10、柱体体积公式为 Sh ,锥体体积公式为 Sh ,半径为 R 的球的体积为 ? R 3 。 3 3

11、半径为 R 的球的小圆半径为 r = R2 ? d 2 (球心到小圆所在平面距离为 d) 12、球面距离是指联结球面上两点的路径中,通过该两点的大圆劣弧的长度。 13、 (理)已知空间中,直线 l1 , l 2 方向向量分别为 d1 , d 2 ,平面 ? 、 ? 分别法 向量为 n1 , n2 ,则
?? ? ?? ? d1 ? d 2 ? ?? ? | 直线 l1 与 l 2 所成角 ? 满足: cos ? ?| ?? | d1 || d 2 | ?? ? ?? d1 ? n1 ? ?? | 直线 l1 与平面 ? 所成角 ? 满足: sin ? ?| ?? | d1 || n1 |

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 n1 ? n2 ? 或 cos ? ? ?? ?? ? 平面 ? 与平面 ? 所成二面角 ? 满足: cos ? ? ?? ?? | n1 || n2 | | n1 || n2 | ???? ? ?? AM ? n1 点 A 到平面 ? 的距离 d= | ?? | | n1 |

第 24 页


相关文章:
高中数学文科公式汇总(上海版)
高中数学文科公式汇总(上海版)_数学_高中教育_教育专区。集合命题不等式公式 1、 CU ( A ? B) =___ CU A ? CU B ___; CU ( A ? B) =___ CU ...
上海高中高考数学所有公式汇总
上海高中高考数学所有公式汇总 - 上海高考高三数学所有公式汇总 集合命题不等式公式 1、 CU ( A ? B) =___ CU A ? CU B ___; CU ( A ? B) ...
上海教材高中数学知识点总结(最全)
上海教材高中数学知识点总结(最全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。目录 一...递推公式 v0=an v2=v1x+an-2 vn=vn-1x+a0 V 柱=S 底 h S 圆锥...
2016上海高中数学公式口诀汇总
2016 上海高一高二数学公式口诀汇总数学公式是做数学试题的基础,但是数学公式很难记住,将数学公式变成口诀,这样就能 很快记住了,下面为大家提供欧高二数学公式口诀,供...
上海高中高考数学知识点总结(大全)
上海高中高考数学知识点总结(大全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海高中...r 4.符号 “一正全、二正弦、三正切、四余弦” 5.诱导公式: “奇变偶不...
上海高中数学习题、公式及方法文集
上海高中数学习题、公式及方法文集_数学_高中教育_教育专区。第 1 课时 椭圆 1...高中数学公式汇总(上海版... 20页 5下载券 高中数学必修四公式及例... 4...
上海教材高中数学知识点总结(最全)
上海教材高中数学知识点总结(最全)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。上海教育...加法公式 加法公式:若事件 A 和 B 互斥,则 加法公式 P ( A + B ) = ...
上海高中数学知识点总结
上海高中数学知识点总结_数学_高中教育_教育专区。一、集合与常用逻辑 1.集合...na1 ? n(n ? 1)d 2 2 中点公式: AB ? AC ? 2 AD ? D 是 BC ...
上海数学高二知识点总结
上海数学高二知识点总结_高二数学_数学_高中教育_教育专区。数列: 1.数列的有...0 (A,B 不同时为 0) 3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两直线的...
上海市高中数学知识点总结
上海市高中数学知识点总结。中国特级教师高考复习方法指导〈数学复习版〉 高中数学...(平移变换、伸缩变换) 平移公式:中国教育开发网 中国特级教师高考复习方法指导〈...
更多相关标签: