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2018年高考数学考点通关练第八章概率与统计67变量间的相关关系与统计案例试题理


考点测试 67

变量间的相关关系与统计案例

一、基础小题 1.某商品销售量 y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( ^ A.y=-2x+100 ^ C.y=-2x-100 答案 A ^ 解析 B、D 为正相关,C 中y值恒为负,不符合题意. 2.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x/万元 销售额 y/万元 4 49 2 26 3 39 5 54 ^ B.y=2x+100 ^ D.y=2x-100 )

^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归方程y=bx+a中的b为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 C.67.7 万元 答案 B 解析 49+26+39+54 4+2+3+5 ^ ^ ^ ∵a= y -b x = -9.4× = 9.1 ,∴回归方程为y = 4 4 B.65.5 万元 D.72.0 万元

1

^ 9.4x+9.1.令 x=6,得y=9.4×6+9.1=65.5(万元). 3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi)(i=1,2,?,n),用最小二乘法建立的回归方程为 y=0.85x-85.71,则 下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 - - B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 答案 D 解析 由于线性回归方程中 x 的系数为 0.85,因此 y 与 x 具有正的线性相关关系,故 A 正确.又线性回归方程必过样本点中心( x , y ),因此 B 正确.由线性回归方程中系数的 意义知,x 每增加 1 cm,其体重约增加 0.85 kg,故 C 正确.当某女生的身高为 170 cm 时, 其体重估计值是 58.79 kg,而不是具体值,因此 D 不正确. 4.在一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,?,xn 不全相等) 1 的散点图中,若所有样本点(xi,yi)(i=1,2,?,n)都在直线 y= x+1 上,则这组样本数 2 据的样本相关系数为( 1 A.-1 B.0 C. 2 答案 D ^ 解析 样本点都在直线上时,其数据的估计值与真实值是相等的,即 yi=yi,代入相关 ) D.1

?
i=1

n

^ 2 ?yi-yi? =1.

系数公式 r=

1-

?
i=1

n

?yi- y ?

2

5. 设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样 本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是( )

A.直线 l 过点( x , y ) B.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率
2

C.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 D.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 答案 A 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值,它的绝对值越接 近 1,两个变量的线性相关程度越强,所以 B、C 错误;D 中 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样 本点的个数可以不相同,所以 D 错误;根据线性回归直线一定经过样本点中心可知 A 正确. 6.在一次对性别与说谎是否相关的调查中,得到如下数据: 说谎 男 女 合计 6 8 14 不说谎 7 9 16 ) 合计 13 17 30

根据表中数据,得到如下结论中正确的一项是(

A.在此次调查中有 95%的把握认为是否说谎与性别有关 B.在此次调查中有 99%的把握认为是否说谎与性别有关 C.在此次调查中有 99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 D.在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 答案 D 30×?6×9-7×8? 2 2 解析 由于 K = ≈0.0024,由于 K 很小,因此,在此次调查中没有 13×17×14×16 充分的证据显示说谎与性别有关.故选 D. 7. 如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉________组数据后,剩下的 4 组数据具有较强的 线性相关关系.
2

答案 D 解析 由散点图知呈带状区域时有较强的线性相关关系,故去掉 D. 8. 对 196 个接受心脏搭桥手术的病人和 196 个接受血管清障手术的病人进行了 3 年的跟 踪研究,调查他们是否又发作过心脏病,调查结果如下表所示: 又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计

3

心脏搭桥手术 血管清障手术 合计
2

39 29 68

157 167 324

196 196 392

试根据上述数据计算 K =________. 根据表中所给的数据, 能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为这两种手术对病人 又发作过心脏病的影响有差别? ________________________________________________________________________. 答案 1.779 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 解析 根据列联表中的数据, 392×?39×167-29×157? 2 2 可以求得 K = ≈1.779,而 K <2.072, 68×324×196×196 所以我们不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下, 作出这两种手术对病人又发作心脏 病的影响有差别的结论. 二、高考小题 9.[2015·全国卷Ⅱ]根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位: 万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )
2

A.逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 答案 D 解析 由柱形图, 知 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势, 故其排放量与年份 负相关,故 D 错误. 10.[2015·福建高考]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该 社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 支出 y(万元) 8.2 6.2 8.6 7.5 10.0 8.0 11.3 8.5 11.9 9.8

^ ^ ^ ^ ^ ^ 根据上表可得回归直线方程y=bx+a,其中b=0.76,a= y -b x .据此估计,该社区 一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 B.11.8 万元
4

)

C.12.0 万元 D.12.2 万元 答案 B 解析 ∵ x = 8.2+8.6+10.0+11.3+11.9 =10, 5

y=

6.2+7.5+8.0+8.5+9.8 =8, 5

^ ∴a= y -0.76 x =8-0.76×10=0.4, ^ ∴y=0.76x+0.4. ^ 当 x=15 时,y=0.76×15+0.4=11.8. 11.[2014·江西高考]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量 的关系,随机抽查 52 名中学生,得到统计数据如表 1 至表 4,则与性别有关联的可能性最大 的变量是( ) 表1 成绩 性别 男 女 总计 表2 视力 性别 男 女 总计 表3 智商 性别 男 女 总计 偏高 8 8 16 表4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 正常 12 24 36 总计 20 32 52 好 4 12 16 差 16 20 36 总计 20 32 52 不及格 6 10 16 及格 14 22 36 总计 20 32 52

5

男 女 总计 A.成绩 B.视力 C.智商 答案 D

14 2 16 D.阅读量
2

6 30 36

20 32 52

n?ad-bc? 2 解析 根据 K = ,代入题中数据计算得 ?a+b??c+d??a+c??b+d?
52×?6×22-10×14? 2 表 1:K = ≈0.009; 16×36×20×32 52×?4×20-12×16? 2 表 2:K = ≈1.769; 16×36×20×32 52×?8×24-8×12? 2 表 3:K = ≈1.3; 16×36×20×32 52×?14×30-6×2? 2 表 4:K = ≈23.48. 16×36×20×32 ∵D 选项 K 最大, ∴阅读量与性别有关联的可能性最大,故选 D. 12.[2014·湖北高考]根据如下样本数据
2 2 2 2 2

x y

3 4.0

4 2.5

5 -0.5 )

6 0.5

7 -2.0

8 -3.0

^ 得到的回归方程为y=bx+a,则( A.a>0,b>0 C.a<0,b>0 答案 B

B.a>0,b<0 D.a<0,b<0

解析 把样本数据中的 x,y 分别当作点的横、纵坐标,在平面直角坐标系 xOy 中作出散 点图,由图可知 b<0,a>0.故选 B.

13. [2014·重庆高考]已知变量 x 与 y 正相关, 且由观测数据算得样本平均数 x =3, y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ^ A.y=0.4x+2.3 )

^ B.y=2x-2.4
6

^ C.y=-2x+9.5 答案 A

^ D.y=-0.3x+4.4

解析 由变量 x 与 y 正相关知 C、D 均错,又回归直线经过样本中心(3,3.5),代入验证 得 A 正确,B 错误.故选 A. 三、模拟小题 14.[2017·大连双基测试]已知 x,y 的取值如表所示:

x y

2 6

3 4

4 5 )

^ ^ 13 ^ 如果 y 与 x 线性相关,且线性回归方程为y=bx+ ,则b的值为( 2 1 1 1 1 A.- B. C.- D. 2 2 10 10 答案 A 1 ^ ^ 13 ^ 解析 将 x =3, y =5 代入到y=bx+ 中,得b=- .故选 A. 2 2

15. [2016·兰州、 张掖联考]对具有线性相关关系的变量 x, y 有一组观测数据(xi, yi)(i ^ 1 ^ =1,2,?,8),其回归直线方程是y= x+a,且 x1+x2+x3+?+x8=2(y1+y2+y3+?+y8) 3 ^ =6,则实数a的值是( A. 1 1 B. 16 8 1 C. 4 ) 1 D. 2

答案 B 3 1 3 ^ 1 ?3 3? 解析 依题意可知样本中心点为? , ?,则 = × +a,解得a= . 8 3 4 8 ?4 8? 16.[2016·漳州二模]下列说法错误的是( ) A.在回归模型中,预报变量 y 的值不能由解释变量 x 唯一确定 B.在线性回归分析中,相关系数 r 的值越大,变量间的相关性越强 C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高 D.在回归分析中,R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好 答案 B 解析 对于 A,在回归模型中,预报变量 y 的值由解释变量 x 和随机误差 e 共同确定, 即 x 只能解释部分 y 的变化,∴A 正确;对于 B,线性回归分析中,相关系数 r 的绝对值越接 近 1,两个变量的线性相关性越强,反之,线性相关性越弱,∴B 错误;对于 C,在残差图中, 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高,C 正确;对于 D,在回归分析 中, 用相关指数 R 来刻画回归的效果时, R 取值越大, 说明模型拟合的效果越好, ∴R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好,D 正确.故选 B. 17.[2017·温州月考]为了检验某套眼保健操预防学生近视的作用,把 500 名做该套眼 保健操的学生与另外 500 名未做该套眼保健操的学生的视力情况作记录并比较, 提出假设 H0: “这套眼保健操不能起到预防近视的作用”,利用 2×2 列联表计算所得的 K ≈3.918.经查
7
2 2 2 2 2 2 2

对临界值表知 P(K ≥3.841)≈0.05.对此,四名同学得出了以下结论: ①有 95%的把握认为“这套眼保健操能起到预防近视的作用”;②若某人未做该套眼保 健操,那么他有 95%的可能得近视;③这套眼保健操预防近视的有效率为 95%;④这套眼保健 操预防近视的有效率为 5%. 其中所有正确结论的序号是________. 答案 ① 解析 根据查对临界值表知 P(K ≥3.841)≈0.05,故有 95%的把握认为“这套眼保健操 能起到预防近视的作用”, 即①正确; 95%仅是指“这套眼保健操能起到预防近视的作用”的 可信程度,所以②③④错误. 18.[2016·兰州一模]从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单 位:千元)与月储蓄 yi(单位:千元)的数据资料,计算得 ?xi=80, ?yi=20, ?xiyi=184,
i=1 i=1 i=1
10 10 10 10 2

2

i = 720.已知家庭的月储蓄 y ?x2 i=1

^ ^ ^ 关于月收入 x 的线性回归方程为y=bx+a,则变量 x 与

y________(填“正相关”或“负相关”); 若该居民区某家庭月收入为 7 千元, 预测该家庭的
月储蓄是________千元. 答案 正相关 1.7 解析 由题意, 知 n=10, x = ^ 1 10 1 10 ^ 184-10×8×2 x = 8 , y = yi=2,∴b= i 2 =0.3, ? ? 10i=1 10i=1 720-10×8

a=2-0.3×8=-0.4,
^ ^ ∴y=0.3x-0.4, ∵0.3>0, ∴变量 x 与 y 正相关. 当 x=7 时, y=0.3×7-0.4=1.7(千 元).

一、高考大题 1. [2016·全国卷Ⅲ]下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位: 亿吨) 的折线图.

8

(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01), 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量. 附注:
7 7 7

参考数据:∑ yi=9.32,∑ tiyi=40.17, i=1 i=1
n

∑ ?yi- y ? =0.55, 7≈2.646. i= 1 ,
2

2

参考公式:相关系数 r=

∑ ?ti- t ??yi- y ? i=1
n
2

n

i=1

∑ ?ti- t ? i ∑ ?yi- y ? =1

^ ^ ^ 回归方程y=a+bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
n

∑ ?ti- t ??yi- y ? ^ i=1 ^ ^ b= ,a= y -b t . n 2 ∑ ?ti- t ? i=1 解 (1)由折线图中数据和附注中参考数据得
7 2 t =4,∑ (ti- t ) =28, i=1 7 7 7

∑ ?yi- y ? =0.55, i=1
7

2

∑ (ti- t )(yi- y )=∑ tiyi- t i ∑ yi i=1 i=1 =1 =40.17-4×9.32=2.89, 2.89 ≈0.99. 0.55×2×2.646

r≈

因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线 性回归模型拟合 y 与 t 的关系.
7

∑ ?ti- t ??yi- y ? 2.89 9.32 ^ i=1 (2)由 y = ≈1.331 及(1)得b= = ≈0.103, 7 7 28 2 ∑ ? t i- t ? i=1 ^

a= y -b t =1.331-0.103×4≈0.92.
^ 所以 y 关于 t 的回归方程为y=0.92+0.10t. 将 2016 年对应的 t=9 代入回归方程得
9

^

^

y=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨. 2.[2015·全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费

x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2,?,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

8 8 8 2

8

x
46.6

y
563

w
6.8

i=1

∑ (xi- x ) 289.8

i=1

∑ (wi- w ) 1.6

2

∑ (xi- i=1

∑ (wi- i=1

x )(yi- y )
1469

w )(yi- y )
108.8

18 表中 wi= xi, w = i ∑wi. 8 =1 (1)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费

x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (3)已知这种产品的年利润 z 与 x, y 的关系为 z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),?,(un,vn),其回归直线 v=α +β u 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为
n

∑ ?ui- u ??vi- v ? ^ i=1 ^ β = ,α = v -β n 2 ∑ ?ui- u ? i=1
^

u.

解 类型.

(1)由散点图可以判断, y=c+d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程

10

(2) 令 w= x,先建立 y 关于 w 的线性回归方程.
8

∑ ?wi- w ??yi- y ? 108.8 ^ i=1 由于d= = =68, 8 1.6 2 ∑ ? w - w ? i i=1 ^

c= y -d w =563-68×6.8=100.6,
^ ^ 所以 y 关于 w 的线性回归方程为y=100.6+68w,因此 y 关于 x 的回归方程为y=100.6 +68 x. (3)①由(2),知当 x=49 时,年销售量 y 的预报值 ^

^

y=100.6+68 49=576.6,
年利润 z 的预报值 ^

z=576.6×0.2-49=66.32.
②根据(2)的结果,知年利润 z 的预报值 ^

z=0.2×(100.6+68 x)-x=-x+13.6 x+20.12,
13.6 ^ 所以当 x= =6.8,即 x=46.24 时,z取得最大值, 2 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 二、模拟大题 3.[2016·石家庄模拟]班主任对班级 22 名学生进行了作业量多少的调查,数据如下: 在喜欢玩电脑游戏的 12 人中,有 10 人认为作业多,2 人认为作业不多;在不喜欢玩电脑游 戏的 10 人中,有 3 人认为作业多,7 人认为作业不多. (1)根据以上数据建立一个 2×2 列联表; (2)试问喜欢玩电脑游戏与认为作业多少是否有关系.

n?ad-bc? 2 参考公式:K = ,其中 n=a+b+c+d. ?a+b??c+d??a+c??b+d?
参考数据:

2

P(K2≥k0) k0


0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

(1)根据题中所给数据,得到如下列联表: 认为作业多 喜欢玩 电脑游戏 不喜欢玩 电脑游戏 总计
2

认为作业不多 2 7 9

总计 12 10 22

10 3 13

22×?10×7-3×2? 2 (2)K = ≈6.418, 12×10×13×9
11

∵3.841<6.418, ∴有 95%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多少有关. 4.[2016·广东模拟]2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策,为了解适龄民众 对放开生育二胎政策的态度,某市选取 70 后和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得 到数据如下表: 生二胎 70 后 80 后 合计 30 45 75 不生二胎 15 10 25 合计 45 55 100

(1)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后 公民中随机抽取 3 位,记其中生二胎的人数为 X,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (2)根据调查的数据,是否有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由.

n?ad-bc? 2 参考公式:K = ,其中 n=a+b+c+d ?a+b??c+d??a+c??b+d?
参考数据:

2

P(K2≥k) k


0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

2 (1)由已知得 70 后“生二胎”的概率为 , 3

? 2? 并且 X~B?3, ?, ? 3?
k?2?k?1? 3-k 所以 P(X=k)=C3? ? ? ? (k=0,1,2,3), ?3? ?3?

其分布列如下:

X P

0 1 27 2 所以 E(X)=3× =2. 3

1 2 9

2 4 9

3 8 27

n?ad-bc?2 (2)K = ?a+b??c+d??a+c??b+d?
2

100×?30×10-45×15? = 75×25×45×55 = 100 ≈3.030>2.706, 33

2

所以有 90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”. 5.[2017·成都诊断]PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物(也称可入肺 颗粒物), 为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关, 现采集到某城市周一至周五某时间段车 流量与 PM2.5 浓度的数据如下表: 时间 周一 周二 周三 周四 周五
12

车流量 x(万辆) 浓度 y(微克/立方米)

100 78

102 80

108 84

114 88

116 90

(1)根据上表数据,用最小二乘法求出 y 与 x 的线性回归方程; (2)若周六同一时段车流量是 200 万辆, 试根据(1)求出的线性回归方程, 预测此时 PM2.5 的浓度为多少?

?
^ 参考公式:b=
i=1

n

?xi- x ??yi- y ? ^ ^ ,a= y -b· x .
n

?
i=1

?xi- x ?

2

15 540 解 (1)由条件可知 x = ?xi= =108, 5i=1 5 15 420 yi= =84, ? 5i=1 5

y=
5

? (xi- x )(yi- y )=(-8)×(-6)+(-6)×(-4)+0×0+6×4+8×6=144,
i=1

? (xi- x )2=(-8)2+(-6)2+02+62+82=200,
i=1

5

?
^
i=1

5

?xi- x ??yi- y ?
5

b=

?
i=1

144 = =0.72, 200 ?xi- x ?
2

^

a= y -b x =84-0.72×108=6.24,
^ 故 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.72x+6.24. ^ (2)当 x=200 时,y=0.72×200+6.24=150.24. 所以可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 150.24 微克/立方米. 6.[2017·厦门质检]某单位共有 10 名员工,他们某年的收入如下表: 员工编号 年薪(万元) 1 3 2 3.5 3 4 4 5 5 5.5 6 6.5 7 7 8 7.5 9 8 10 50

^

(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数; (2)从该单位中任取 2 人, 此 2 人中年薪高于 5 万的人数记为 ξ , 求 ξ 的分布列和期望; (3)已知员工年薪与工作年限成正线性相关关系, 若某员工工作第一年至第四年的年薪分 别为 3 万元、4.2 万元、5.6 万元、7.2 万元,预测该员工第五年的年薪为多少.
13

?
^ ^ ^ ^ 附:线性回归方程y=bx+a中系数计算公式b=
i=1

n

?xi- x ??yi- y ? ^ ^ , a = y -b
n

?
i=1

?xi- x ?

2

x ,其中 x , y 表示样本均值.
解 (1)平均值为 10 万元,中位数为 6 万元.

(2)年薪高于 5 万的有 6 人,低于或等于 5 万的有 4 人,所以从该单位中任取 2 人,此 2 人中年薪高于 5 万的人数记为 ξ ,ξ 的可能取值为 0,1,2. C4 C10
2 2

P(ξ =0)= 2 = ,P(ξ =1)= P(ξ =2)= 2 = ,
所以 ξ 的分布列为: ξ 0 2 15 C6 1 C10 3

2 15

C4C6 8 , 2 = C10 15

1 1

1 8 15 8 15 1 3 6 5

2 1 3

P

E(ξ )=0× +1× +2× = .
(3)设 xi,yi(i=1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪,则 x =2.5, y =5,

2 15

? (xi- x )2=2.25+0.25+0.25+2.25=5,
i=1

4

? (xi- x )(yi- y )=-1.5×(-2)+(-0.5)×(-0.8)+0.5×0.6+1.5×2.2=7,
i=1

4

?
^
i=1

4

?xi- x ??yi- y ?
4

b=

?
i=1

7 = =1.4, 5 ?xi- x ?
2

^

a= y -b x =5-1.4×2.5=1.5,
^ 所以线性回归方程为y=1.4x+1.5. ^ 当 x=5 时,y=8.5. 故可预测该员工第五年的年薪为 8.5 万元.

^

14


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