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任意角的三角函数成功学案


2013-2014 学年下学期高一年级数学学科第二周限时练
§1.2.1 任意角的三角函数 命题人:黄慧娟 时间:2013-01-29

学习目标: 1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2. 已知角α 终边上一点,会求角α 的各三角函数值. 学习重点: 任意的三角函数的定义 学习难点: 根据定义求任意角的三角函数值 学习过程: (一)复习旧知

: 在 Rt△ABC 中,设 A 对边为 a,B 对边为 b,C 对边为 c,锐角 A 的正弦、余弦、正切 依次为_______________________________________________ (二)新课学习:

1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α 是一个任意角,α 终边上任意一点 P (除了原点)的 坐标为 ( x, y) ,它与原点的距离为 r(r ? | x |2 ? | y |2 ? x2 ? y2 ? 0) ,那么 (1)比值_______叫做α 的正弦,记作_______,即________ (2)比值_______叫做α 的余弦,记作_______,即_________ (3)比值_______叫做α 的正切,记作_______,即_________ 注:1.α 的始边与 x 轴的非负半轴重合,α 的终边没有表明α 一定是正角或负角,以及α
大小,只表明与α 的终边相同的角所在的位置; 2.对于确定的角α , 三个比值不以点 P ( x, y ) 在α 的终边上的位置的改变而改变大小; 3.当 ? ?

?
2

? k? (k ? Z ) 时,α 的终边在 y 轴上,终边上任意一点的横坐标 x 都为 0 , y 无意义; x
y ( x ? 0) . x

所以 tan ? ?

特别地,当 r=1 时: sin? ? y , cos? ? x , tan ? ? 可见,正弦、余弦、正切都是以

为自变量,以 为函数值的函数,我们将它们统称为 .

由于 函数可以看成是自变量为 2、三角函数的定义域: 三角函数 sin ? cos ? tan ?

与 的函数.

之间可以建立一一对应关系,三角

定 义 域

3.三角函数的符号

y ? sin ?
4.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值 sin(α+k· 2π)= , cos(α+k· 2π)= , tan(α+k·2π)= 其中 k∈Z. 角α sin α cos α tan α

y ? cos ?
,即:

y ? tan ?

0 0 1 0

利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. π π π π 2 3 5 π π π 6 4 3 2 3 4 6 1 1 2 3 3 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 3 2 2 3 0 - - - 2 2 2 2 2 2 3 3 1 无 -1 3 - 3 - 3 3

π 0 -1 0

3 π 2 -1 0 无

探究 1: 求

5? 的正弦、余弦和正切值。 3

探究 2: 已知角 ? 的终边经过点 P (?3,?4) ,求角 ? 的正弦、余弦和正切值。 0

探究 3:求证:当且仅当下列不等式组成立时,角 ? 为第三象限角。反之也对。 ?

?sin ? ? 0 ? tan ? ? 0

探究 4:确定下列三角函数值的符号 (1)cos250° (2) sin( ?

?
4

) 9? 4

(3)tan(-672° )

(4) tan(

11 ? ) 3

探究 5:求下列三角函数的值 (1) sin 1485
?

(2) cos

(3) tan(?

11 ? ) .? 6

?

二.巩固练习: 1.若 sin α<0 且 tan α>0,则 α 是( ) A.第一象限角 B.第二象限角

C.第三象限角

D.第四象限角

2.若三角形的两内角?,?满足 sin?cos? ? 0,则此三角形必为……( ) A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情况都可能

3.已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值.

4.求值: 7 17 1 π π 11 cos π-sin2 π- tan2 · 3 -cos2?- π? sin 3 4 3 3 2 ? 6 ?

三.课后作业: 17 1. tan 4 π=(

). B. ?
1 2

A.

1 2

C.

3 2

D. 1

2. 如果角α 的顶点在原点,始边在 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y ? 5x ( x ? 0) 的图象上,那么 tan ? 的值为( ). A. 5
3.函数 y ?

B. -5

C.

1 5

D. ?

1 5
( B. [2k? ? )

sin x ? ? cos x 的定义域是

A. (2k? , (2k ? 1)? ) , k ? Z C. [k? ?

?
2

, (2k ? 1)? ] , k ? Z

?
2

, (k ? 1)? ] , k ? Z

D.[2kπ , (2k+1)π ], k ? Z

4. 已知点 P(3a, ?4a) (a ? 0) 在角α 的终边上,则 sin?= 5.角
3? 与单位圆的交点坐标为 4

.
3? ? 4

, n 则 is

3? ? 4

, cos

, tan

3? ? 4

.

4 25π 13π 1 1 1 7π 6. 化简: a2· cos +3b2· 2 - b2· tan - a2sin2 3 3 6 2 3 3 29π cos 4


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