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1.4.1-2 全称量词与存在量词


1.4.1-2 全称量词与存在量词
学习目标 1. 掌握全称量词与存在量词的的意义; 2. 掌握含有量词的命题:全称命题和特称命题真假的判断. 学习过程 一、课前准备 (预习教材 P21~ P23,找出疑惑之处) 复习 1:写出下列命题的否定,并判断他们的真假: (1) 2 是有理数; (2)5 不是 15 的约数 (3) 8 ? 7 ? 15

习 2:判断下列命题的真假,并说明理由: (1) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (2) p ? q ,这里 p : ? 是无理数, q : ? 是实数; (3) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 ; (4) p ? q ,这里 p : 2 ? 3 , q : 8 ? 7 ? 15 . 二、新课导学 1.探究 1:全称量词的意义 问题 1:下列语句是命题吗?(1)与(3) , (2)与(4)之间有什么关系? (1) x ? 3 ; (3)对所有的 x ? R, x ? 3 ; 观察以下命题: (1)对任意 x ? R , x ? 3 ; (2)所有的正整数都是有理数; (3)若函数 f ( x) 对定义域 D 中的每一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数; (4)所有有中国国籍的人都是黄种人. 问题 2: (1)这些命题中的量词有何特点? (2)上述 4 个命题,可以用同一种形式表示它们吗? 填一填: 短语“ 符号“ 为: ” “ ” 表示,含有 ,读作: ”在逻辑中通常叫做全称量词,并用 的命题,叫做全称命题。其基本形式 (2) 2 x ? 1 是整数; (4)对任意一个 x ? Z , 2 x ? 1 是整数.

你能否举出一些全称命题的例子?
1

2.探究 2:存在量词的意义 问题 3:下列语句是命题吗?(1)与(3) , (2)与(4)之间有什么关系? (1) 2 x ? 1 ? 3 ; 观察以下命题: (1)存在一个 x0 ? R, 使 2 x0 ? 1 ? 3 ; (2)至少有一个 x0 ? Z , x 0 能被 2 和 3 整除; (3)有些无理数的平方是无理数.[来源:学科 网问题 4:这些命题中的量词有何特点?与全称量词有何区别? 填一填: 短语“ 符号“ 为: ” “ ”表示,含有 ,读作: ”在逻辑中通常叫做存在量词,并用 的命题,叫做特称命题。其基本形式
(2) x 能被 2 和 3 整除; (3)存在一个 x0 ? R ,使 2 x0 ? 1 ? 3 ; (4)至少有一个 x0 ? Z , x0 能被 2 和 3 整除

你能否举出一些特称命题的例子? 三、例题分析 例1 判断下列全称命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2) ?x ? R, x2 ? 1 ? 1 ; (3)对每一个无理数 x , x 2 也是无理数. 变式 1:判断下列命题的真假: (1) ? x∈R,f(x)=x2 的值域是(0,+∞); (2)任意两个面积相等的三角形是全等三角形; (3)每一个平行四边形的对角线都互相平分. (4) ?x ? (5,8), f ( x) ? x2 ? 4x ? 2 ? 0 小结:要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合 M 中每一个元素 x 验证
p( x) 成立;但要判定全称命题是假命题,却只要能举出集合 M 中的一个

x ? x0 ,使得 p ( x0 ) 不成立即可。

例2

判断下列特称命题的真假: (1)有一个实数 x0 ,使 x02 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ; (2)存在两个相交平面垂直于同一条直线; (3)有些整数只有两个正因数
2

变式 2:判断下列命题的真假:
1 =0; x ?1 (2)存在一组 m、n 的值,使 m-n=1;

(1)存在一个 x∈R,使

(3)至少有一个集合 A,满足 A {1,2,3}. (4) ?a ? 3, a 2 ? 3a ? 2 . 小结: 要判定特称命题 “ ?x0 ? M , p( x0 ) ” 是真命题只要在集合 M 中找一个元素 x0 , 使 p( x0 ) 成立即可;如果集合 M 中,使 P( x) 成立的元素 x 不存在,那么这 个特称命题是假命题。 变式 3:判断下列命题是全称命题还是特称命题?并判断其真假 (1)对数函数都是单调函数; (2)至少有一个整数,它既能被 2 整除,又能被 5 整除. (3) ? x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; (4) ? x∈{x|x∈Z},log2x>0. 课后作业 1. 下列命题为特称命题的是( A.偶函数的图像关于 y 轴对称 B.正四棱柱都是平行六面体 C.不相交的两条直线都是平行线 D.存在实数大于等于 3 2.下列特称命题中真命题的个数是( (1) ?x ? R, x ? 0 ; A.0 个
2

).

).

(2)至少有一个整数它既不是合数也不是素数; C.2 个 ). D.3 个

(3) ?x ? {x | x 是无理数}, x 2 是无理数. B.1 个 3.下列命题中假命题的个数( (3) ?x ? Z , x 能被 2 和 3 整除; (4) ?x ? R, x2 ? 2 x ? 3 ? 0 A.0 个 4.下列命题中 (1)有的质数是偶数; (2)与同一个平面所成的角相等的两条直线平行; (3)有的三角形三个内角成等差数列;
3

(1) ?x ? R, x ? 1 ? 1 ; (2) ?x ? R, 2 x ? 1 ? 3 ;

B.1 个

C.2 个

D.4 个

(4)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线, 其中:全称命题是 特称命题是 (1)实数的平方大于等于 0: (2)存在一对实数使 2 x ? 3 y ? 3 ? 0 成立: 6. 判断下列全称命题的真假: (1)末位是 0 的整数可以被子 5 整除; (2)负数的平方是正数; (3)有些三角形不是等腰三角形; (4)有的菱形是正方形. 7.若命题“ ? x∈R,关于 x 的不等式(a2-1)x2+(a-1)x-1<0 都成立”为真命题,求实 数 a 的取值范围 . 5. 用符号“ ? ”与“ ? ”表示下列含有量词的命题.

4


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