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电-力-声 类比


电-力-声

类比

引言:电-力-声类比是应用电路理论来解决力学与声学问题。 定义: 根据描述电振荡系统的微分方程和描述力学振动系统及声振动系统的微分方程在 形式上的相似性, 常将力学量和声学量与相应的电学量作类比, 以便借助电路理论来分析力 学振动和声振动的规律,称电-力-声类比。 类比方法有二种: 一种为阻抗型类比, 也称正类比; 另一种为导纳型类比, 也称反类比。 §5-1 电路元件及基本的电振荡器 在电学系统的分析中, 经常用电路图来描述元件与元件之间的关系, 从而研究电磁运动 的规律。通过电路分析,有时不必去求解微分方程,而能直接了解系统的工作情况和特点。 即使要作定量分析研究,通过形象的电路图,利用克希霍夫电路定律,再去建立微分方程, 也要简单得多。 电路图最容易应用于集中参数的系统, 因为集中参数元件的唯一变量是时间。 在电声学 研究的系统中(如电声换能器) ,在低频时,大都近似地等效成集中参数系统,只要采用类 比的办法, 把力学或声学系统画成等效类比线路图, 然后利用电路理论来研究系统的工作情 况和特点。 1.基本电路元件:

电容元件: I

瞬态:E=

1 I dt Ce ∫

dE I=Ce dt

Ce

E

电感元件:I E Le 电阻抗:Ze= 瞬态:E=

dI Le dt

1 I= L ∫ Edt e

E I

2.基本的电振荡器: (1)串联谐振电路: I E Ce Re Le 如左图:I-电流(安培) ,E-电压(伏特)

Le -电感(享利) , C -电容(法拉) , Re - 电阻 (欧姆) e

由上图可得:E=

dI 1 Re I + Le dt + C ∫ I dt e I0 e
jω t

对于作简谐变化的稳态电流值有:I= 则:E=ReI

1 1 + jωLeI + jωC I=(Re + jωLe + jωC ) I = ZeI e e
即为熟知的欧姆定律

式中 Ze 为串联回路的阻抗 I = E Ze

(2)并联谐振电路
I○ E
' '

I -为电流(安培) ,E -为电压(伏特) ,
Re
'

'

'

Le

'

C e

'

Le-为电感(享利) ,C -为电容(法特) , e Re- 为电阻(欧姆)
'

'

'



E 1 ' ' dE 由上图可得:I = ' + ' ∫ E dt +C e Le dt Re
'

'

'

对于作简谐变化的电压有:E =E0
' '

'

'

e

jωt

E 1 1 1 1 ' ' ' ' ' ' 则:I = ' + + ' E + jωCe E = ( ' 1 + jωCe )E = ' E Re jωLe Re jωLe Ze 1 1 ' =( ' Ze Re 1 1 1 ' ' + jωCe ) = ' + j(ωCe - ' + ' ) jωLe Re ωLe

§5-2 力学元件和基本的力学振动系统: 1.力学元件: F 表示外力 F
MM

FK 表示弹性力 MM 表示质点质量

CM MM RM

FR 表示阻力

KM 表示弹性系数 CM 表示顺性系数

1 CM = 又称为力顺 KM

RM 表示阻力系数,又称为力阻

由牛顿第二定律得:F = ma
即 MM

dv dt = F + FK + FR 1 CM ∫Vdt

其中:①弹性力:FK 根据虎克定律有:FK=-KMξ =-

ξ 为质点 MM 离开平衡位置的位移,V 为质点振动速度, 负号表示质点移的方向与弹性力方向相反 ②阻力:

dξ FR=-RM dt =-RMV 式中负号表示阻力总是与系统的运动方向相反。 dv 1 ∴M dt = F-C ∫ Vdt-RMV M dv 1 ∴F= MM dt + RMV + C ∫Vdt M
F 〇 I
'

V

MM

1 RM

CM

E

'

Re

'

Le

'

Ce

'

〇 并联谐振电路相比较:

E 1 ' 'dE 与并联谐振电路比较 I = ' + ' ∫ E dt + Ce dt Re Le
'

'

'

1 ' ' ' ' F-I ,V-E ,MM-Ce ,RM- ' ,CM-Le Re
对简谐作用力 F=F0

e

jωt

1 1 F=MMjωv + RMV + jωC V = ( RM + jωMM + jωC )V = ZMV M M 1 式中 ZM= RM + jωMM + jωCM 称为力阻抗
1 RM 为力阻,jωMM 称为质量抗,jωC
M

称为弹性抗

§5-3 两种力电类比及其相互转换:

串联谐振回路

并联谐振回路

dI 1 Le dt +ReI + C ∫ I dt = E = ZeI e

dE E 1 Ce dt + R + L ∫ Edt = I = e e 1 Ze E
- 导纳型类比

+ 阻抗型类比

dv 1 MM dt + RMV + C ∫ Vdt = F = ZMV 力学系统 M
1.阻抗型类比: 比较上面三个方程式:若把力阻抗 ZM 类比于电阻抗 Ze,称为阻抗型类比。对应类 比关系:F-E,RM-Re,MM-Le,CM-Ce 由此可得出力学振动系统的阻抗型类比线路图。 由图运用电路克希霍夫定律可直接列出方程。 而不必用力平衡的方法来得出。 2.导纳型类比 对并联谐振电路有: F(I)
E(V)

V (I)

RM(Re)

MM(Le)

F(E) 串联谐振回路

CM(Ce)

dE E 1 1 Ce dt +Re +Le ∫ Edt = I= Z E e


Ce(MM)
1 Re( ) R M

Le(CM)

1 1 1 ' ' ' I=( ' + ' + jωCe )E = Ze E Re jωLe

并联谐振回路

对力学振动系统有:MM


dv 1 + R Vdt =F = ZMV MV+ dt CM ∫ 1 E=(RM + jωMM + jωC )V= ZMV M
1 ' 称为导纳型类比 Ze
' 1 ' ,MM-C Le ' e , CM - Re

把力阻抗 ZM 类比于电导纳
' '

即 F-I ,V 类比于 E ,RM-

由此可得出力学振动系统的导纳型类比线路图:

I E
'

'

F Re Le
' '

C e

'

V

CM

1 RM

MM

3.转换法则: 一个力学振动系统,既可以画成阻抗型的类比线路,也可以画成导纳型的类 比线路,而这两种类比线路所描述的却是同一物理事实。 其转换法则: (1)一种类比图中的串(并)联元件,变为另一种类比图中的并(串)联元件。 (2)一种类比图中的电阻(电导)性元件,变为另一种类比图中的电导(电阻) 性元件。 一种类比图中的电感(电容)性元件,变为另一种类比图中的电容(电感) 性元件。 电压(电流)源变为电流(电压)源。 (3)一种类比线路的网孔中,各串联元件上各降落之和,相当于另一种类比线 路中一个分支点的流量之和。 §5-4 力学线路图的画法 阻抗型电路图 ①电流线把各个元件贯穿 在一起,形成电路图; ②电位的相对性:跨在元 件两端的量是电位差,其 零电位端即接地端; 导纳型力学线路图 ①力线把各个元件贯穿起来形 成力学线路图 ②速度的相对性:跨在力学元 件两端的量是速度差,因为 力学系统的运动速度相对于 惯性坐标系的,因此,速度 为零的一端是接地端。 ③在电流分叉点Σ
n i=1

Ii=0 符

③在力的作用点,符合动力 学平衡条件,即:Σ
n i=1

合克希霍夫第一定律。

Fi=0

根据以上三点分析,可仿效电路图的画法来画出力学系统的类比线路图。应当指 出,用力线和电流线的类比作出的力学线路图,必然是导纳型的。如果需要作出阻抗 型的力学线路,则当需按法则进行转换。 【例 1】单振子强迫振动系统在外力 F 作用下,试求解这个系统的运动。 F
1 RM

CM

MM

F

MM

MM

V=0 导纳型类比图

我们从外力 F(即恒流源)出发,引出一条力线,力线到达 MM 时分成三支,分别 与三个力相平衡:一支穿过 MM,与惯性力相平衡终止于刚性壁(因元件的速度都是 相对于惯性坐标系的,所以力线穿过元件 MM 到达零速度的刚性壁) 另一支穿过力阻元件 RM,与摩擦力相平衡,终止于刚性壁(力阻 RM 与质量 MM 一起运动,因而其速度也是相对于惯性坐标系的) ;还有一支穿过弹簧 CM 与弹性力 相平衡,终止于刚性壁(力顺元件 CM 的速度也是相对于惯性坐标系的)这三条分支 线最后都汇合于刚性壁,即都联接于“接地端” 。 从物理上来看,质量 MM,力阻 RM,力顺 CM 三个元件的速度都相同,因此它们 在导纳型类比线路图中应是并联的。 由导纳型类比图可得:

V 1 jωMM

+

V 1 RM

V + jωC = F M

1 V MM(jωv) + RMV + C jω = F M dv 1 jωt MM dt + RMV + C ∫ V dt = F0e M
由类比线路图得到的是代数方程组,求解代数方程比解微分方程容易得多。 【例 2】隔振系统 F CM
MM

外力 F 作用弹簧的一端,从 F 出发引 MM RM 一条力线,穿过 CM 到达 MM,此时, 力线将分为两个分支,分别与惯性力和 摩擦力相平衡,其一穿过 MM 而终止于 惯性系统(地)另一条则穿过 RM 终止 刚性地面,此二条分支共同汇合于地 MM
1 R M

F

V.

CM

端。

V1-V jωCM =

V 1 jωMM

+

V 1 RM

1 1 jωMMV + RMV + jωC V = jωC V1 M M

dv 1 1 ∴MM dt + RMV+ C ∫ Vdt = C ∫ V1dt M M
§5-5 声学元件及基本的声振动系统 1.赫姆霍兹共鸣器:
p s

V

赫姆霍兹共鸣器是最基本的声振动系统。 该共鸣器必须符合下列条件:

①a、l、V

1/3

《λ

a 为开口半径, l 为开口长度,V 度
S=π a2

1/3

为腔体线

②开口管内体积 Sl《V 其中 S 为开口的截面积蓄 ③器壁为刚性的,它不会把腔内媒质的疏密过程传递到腔外去 根据条件①短管内媒质可以看作一个质点 根据条件②短管可以看成是一个质量元件

根据条件③体腔内压强的变化相当于作用在管内质量上的弹性力,亦即起了力学系统 弹簧的作用. 设开口管中媒质的质量为 MM V 腔体内媒质的力顺 CM= 2 2 ρC S 开口管内媒质运动的摩擦力阻为 RM 若在开口处有声压 P=PAe 的作用,则该振动系统的运动方程为:
jωt

则 MM=ρ

lS

d2ξ dξ 1 jωt MM dt = SPAe -RM dt -C ξ M dv 1 jωt ∴MM dt + RMV+ C ∫ Vdt = SPAe M
V 为开口管空气柱的运动速度

MM dv RM 1 jωt + V + ∫ V dt = P Ae S dt S CMS
若令 U=VS U 为体积速度 则运动方程为:

MM du RM 1 jωt + U dt = P 2 2 U+ 2∫ Ae S dt S CMS du 1 jωt MA dt + RAU+ C ∫ Udt = PAe A

其 MA=

ρ 0l MM 2 = S S

为声质量

V0 CA=CMS2= ρ C2

为声容(或声顺)

P 1 ZA=U = RA+ j(ωMA- ωC )为声阻抗 A
ZA 为声欧姆 1 声欧姆=1 牛顿·秒/米 5 与串联谐振电路比较:E=ReI

dI 1 + Ledt + C ∫ Idt e du 1 P = RAU+ MA dt + C ∫ Udt A
U P RA MA CA

I

Re

Le

E

Ce

串联谐振电路

等效声学线路

MA P RA

CA

类比的声学系统(同电学、力学线路图一样,声学线路图也有类似的)特点: ①声流线:流过各个声学元件的是声流线即体积速度流线; ②压强的相对性:在元件两端是压强差,对于大气压强 PO 端,可接地; ③在元件交界处∑Ui=0 注意用声流线与电流线相类比画出的图是阻抗型的。 [例] MA1 CA1 CA2 U M A1 RA1 MA2 RA2

RA1
CA2

RA2

p

CA1

§5-6 变量器 MM F1 F2 p

V

MM

S=1

F1 CA

F2

CA

如果存在由力学振动策动声振动的系统(如扬声器箱等) ,则从力学线路的输出端,应 当连结着声学线路。但由于力阻抗和声阻抗的量纲不一致,因而这两种线路不能直接相连, 必须经过一个变量器,才能把它们连接起来。 设有一个如上图所示的力学一声学综合系统, 有一简谐力 F1 作用在质量 MM 为的活塞上, 活塞受力振动,其振动速度为 V,腔体内的声压为 P,容积速度为 U,活塞面积为 S 在外力(简谐力)作用在面积为 S,质量为 MM 的活塞上,使活塞振动,振速为 V,活 塞振动时压迫空气进入腔内,单位时间流入腔内的流量为 U,形成的逾压为 P 1.活塞与腔体接触的界面处的力学与声学特性: 设活塞振动时,推动腔内空气的力为 F2 F2 从腔体向活塞方向看去,活塞这个力学系统呈现的力阻抗为 ZM= V 从活塞向腔体方向看去,腔体这个声学系统呈现的声阻抗为 ZA= P P = U V·S

又因为活塞作用于腔中气体的力,在数值上等于腔中逾压作用在活塞上的力即 F2=PS

F2 S P F2 1 ∴ = = · U VS V S2
2.与电路中变压器比较 I1 E1 1:n E2 I2

即 ZA=

ZM S2

V

F2

S:1

p

U

E2 nE1 Z2= I = I =n2Z1 2 n F2 1 P ZM= V =PS·U =U ·S2=ZAS2 S 1 ZA=S2 ·ZM

1 力声变量器相当于 n= 的“变压器” ,于是我们把力学线路和声学线路通过变量器统一 S 画在一张图上了。根据所讨论问题的性质,可把力学端的元件等效到声学端,把图变成一个

等效的声学线路,也可以把声学端元件等效到力学端,它们之间的转换关系,符合理想变压 器的运算法则。 MM F1 F2 CA

MM S2

MM

S:1

F2

p

CA

F1 S

F2 P= 错误!未定义书签。 S

CA

V MM 面 F1 F2 去掉变量器, 将力学线路反映到后
CA S2

声学线路

中去,只要将力学元件换成 相应声学元件即可 力学元件通过变量器等效致声 学 声学端元件通过变量器,变成等效力学线路图 端,变成等效声学线路图

如果希望把变量器去掉,把后面的声学线路反映到前面来的力阻抗

1 1 ZM=S2ZA=S2 = jω CM jω CM CA CM= S2
声学端元件通过变量器,变成等效力学线路图。 【例 1】闭箱式扬声器 电-力-声类比的方法在声学,特别在电声器件的分析和设计中得到广泛的应用。 现代在设计高音质扬声器系统时,为了改善低频辐射效果,常常把扬声器单元放在

一只密闭的木质箱子中,组成一个闭箱式扬声器系统。 设由于电-力换能结果作用在纸盆振动系统上的简谐力为 F ①首先考虑力学系统, 因为 纸 盆振动系统具有质量 MM, 力阻 RM 及力顺 CM。由力 F 流出的力线作 用 RM MM CM 在纸盆上分成三支, 分别与惯性力、 阻尼力、弹性力相平衡,因而画出 的导纳型力学线路图里 MM、RM、 CM 是并联的。

F

MM

RM

CM

MM

1

RM

CM

F

导纳型力学线路图

阻抗型力学线路图

②再考虑声学部分,因纸盆振动产生了体积流,声流线从纸盆出发,穿过附加在膜前, 膜后的声辐射阻抗 ZA1 和 ZA2,再穿过由于腔体贡献的声容 CA 中止于刚性壁,声学部分的 阻抗型线路图为: 其中 P 为由于纸盆振动在 紧靠纸盆处产生的声压 ZA1 p P0 声学部分阻抗型力学线路图 ③在阻抗型力学线路图和阻抗型声学线路图之间加进一个力声变量器,就可以得到闭箱 系统的阻抗型力-声线路图,其中 S 为振盆有效面积。 MM RM CM S:1 ZA1 ZA2 ZA2 CA ZA1 为振盆前的声辐射阻抗 ZA2 为振盆后的声辐射阻抗

F

CA

阻抗型力-声线路图 为计算方便,可去掉变量器,得到总的阻抗型力学线路图 MM RM CM ZA1·S2 ZA2·S2 CA S2

由上图再结合电路部分就可以对闭箱的电声性能进行详细的讨论,由于闭箱空气弹性贡 CA 献的力顺 2 将附加在纸盆本身的顺性以 CM 上,并且它们是串联的,它们的等效力顺就决 S 定了闭箱系统的固有共振频率 【例 2】倒相箱式扬声器 所谓倒相箱式扬声器,实际上就是在闭箱安装扬声器的面板上再开一个与扬声器纸 盆面积差不多的孔。 ZA1 ZA2 MA3

C

MA

p

CA

ZA3

由于扬声器纸盆振动在前后方引起的空气振动是反相的, 但是向箱内辐射的声波, 经过 箱体的作用,再通过孔向外辐射时,它的位相与纸盆前面所辐射声波的位相可以非常接近, 于是扬声器向外辐射的声波可以得到加强。 声流线穿过膜片前面与后面的辐射阻抗 ZA1 与 ZA2 以后分成两支,一支穿过腔体贡献的 声容 CA 终止于箱壁,另一支穿过开孔的声质量 MA3 和辐射阻抗 ZA3,汇合于大气压强 PO, 因而倒相箱的声学部分线路如上右图。 §5-7 电-力-声线路类比关系 1.类比关系:

串联电路

并联电路

dI 1 Le dt + ReI + C ∫ I dt = E e

dE E 1 Ce dt + R + L ∫ Edt = I e e

阻抗型

导纳型

du 1 MA dt + RAU+ C ∫ Udt = P A
声学系统 2.电-力-声线路图的分析 阻抗型电路图 电流线 (流经各元件的量是电流 I) 电位的相对性 (跨越元件两端的 是电位差,零电位接地)

dv 1 MM dt + RMV+ C ∫ V dt = F M
力学系统

导纳型力学线路图

阻抗型声学线路图

力学(流经各元件的量是力 F) 声流线 (流经各元件的量是体 积速度 U) 速度的相对性 (跨越元件两端的 是速度差,零速度接地) 压强的相对性 (跨越元件两端 的是压强差,对大气压强 PO 端接地)

在分支点Σ

n i=1

Ii=0

在力点Σ

n i=1

Fi=0

在元件交界处Σ

n i=1

Ui=0

3.阻抗型和导纳型类比线路图的互相转换: (1)互相转换的必要性: 对力学振动系统, 用力线方法直接画出导纳型比较合适, 对声学振动系统用声流线方 法画出阻抗型比较合适。 但对电、力、声共存的系统,混杂的线路处理很困难。一般是将力学振动系统的导纳 型转换成阻抗型。统一线路类型后再进行运算,因此互相转换是完全必要的。 (2)转换规律 导纳型线路(阻抗型) 电感符号 电容符号 阻抗型线路(导纳型) 即:CM

CM 名称不变

CM

恒流源符号

F 名称不变

恒压源符号 即:F

F

电导名称

元件符号不变

电阻名称

即:GM

RM

串联元件 串联元件两端“电压”之和 串联元件两端“降落” 之和 (3)转换步骤:

并联元件 分支点的“电流” 总和 分支点的“流量”总和

①在每个元件的两侧画一个“0”点,用虚线连接各“0”点,使每根虚线都要通过且只 能通过一个元件上,形成闭合回路。 ②按转换规律改变元件符号或名称 [例]

V1 F CM1 MM1

V2 CM2

XXXXXXX

XXXXXXX

F CM1

导 纳 型 线 路 图

MM1

GM1

MM2

GM2

CM2

V0

V1

MM1

RM1

V2 V1-V2

MM2

RM2

F

GM1

GM2

P0 阻抗型线路图


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