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河南省平顶山市11-12学年高二上学期期末调研考试(数学理)


高二数学(理)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 4 页.试卷满分 150 分.考 试时间 120 分钟. 。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列语句是命题的个数是 (1)空集是任何集合的子集;
2

( (2)求证 2 是无

理数 ; (4)面积相等的三角形是全等三角形.



(3)若 x ? R ,则 x ? x ? 1 ? 0 ;

A. 1

B. 2

C .3

D. 4

2.若向量 a ? ? 2,1, ?2 ? , b ? ? ?4, ?2, 4 ? ,则 a 与 b

?

?

?

?

( )

A .相交

B .平行

C .垂直

D .以上都不对

2 2 3. 已知集合 M ? x y ? lg(2 x ? x ) , N ? x x ? 2 x ? 3 ? 0 ,则 M ? N 等于

?

?

?

?





A.

? x 1 ? x ? 2?

B.

? x x ? ?3或0 ? x ? 2?
C . 2011
D . 2012

C.

? x ?3 ? x ? 2?

D . ? x 0 ? x ? 1?

4.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 30, 前 4 项和为 120,若 bn ? 1 ? log3 an ,则 b2011 ? ( )

A . 2009

B . 2010

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a ? 3, b ? 5, c ? 6 ,则 bc cos A ? ac cos B

? ab cos C 的值为
A . 35 B . 36

( )

C . 37

D . 38
0

6. 椭圆的两个焦点为 F1 , F2 ,短轴的一个端点为 A ,且 ?F AF2 是顶角为 120 的等腰三角形,则 1 此椭圆的离心率为 ( )

A.

1 3

B.

3 2

C.

3 3

D.

1 2

7. 正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AC 与 BD 的交点为 M ,设 A B1 ? a, A D1 ? b, AA ? c 1 1 1 则下列与 B1M 相等的向量是

???? ?

? ?????

? ???? ?


?????



1? 1? ? A .? a? b?c 2 2

B.

1? 1? ? a? b?c 2 2

1? 1? ? C . a? b?c 2 2

1? 1? ? D. ? a? b?c 2 2
( )

8.下列函数中最小值为 4 的是

A. y ? x?

4 x

B.

y?

2( x 2 ? 3) x2 ? 2
4 , (0 ? x ? ? ) sin x

C . y ? ex ? 4e? x

D . y ? sin x ?

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?x ? 0 ? 9.不等式组 ? x ? 3 y ? 4 ,所表示的平面区域的面积等于 ?3 x ? y ? 4 ?
3 4 2 B. D. 1 C. 2 3 3 10. ?ABC 中, a ? 2b cos C ,则此三角形一定是
A.

( )

( )

D .等腰或直角三角形 ??? ??? ? ? 11. AB 是平面上一定线段,点 P 是该平面内的一动点,满足 PA ? PB ? 2,

A .等腰三角形

B .直角三角形

C .等腰直角三角形

??? ??? ? ? PA ? PB ? 2 5 ,则点 P 的轨迹是
A .圆 B . 双曲线的一支

( )

C .椭圆的一部分

D . 抛物线
( )

12. 设等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn 、 Tn .若

a S n 2n ? 3 ,则 6 = ? b6 Tn 5n ? 2

A.

1 3

B.

9 32

C.

21 62

D.

23 67
.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 13. 若点 ?1,3? 和点 ? ?4, ?2? 在直线 2 x ? y ? m ? 0 的两侧,则 m 的取值范围为 14.已知数列 ?

?

1 ? ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S99 = ? n(n ? 1) ?
1 8
.

.

15. 抛物线 y ? ? x 2 的准线方程是 16.下列有关命题的说法

(1) 命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为: “若 x ? 1 ,则 x ? 3x ? 2 ? 0 ”;
2 2

(2)若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题; (3) “ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件;
2 2 (4) 命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 .

其中正确的说法有 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ?A ? 450 , a ? 6, b ? 3 . 求角 ? B 和 c .

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18. (本小题满分 12 分)

? 3x ? y ? 0 ? ? 已知点 A(3, 3) , O 为坐标原点,点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 , ?y ? 0 ? ? ??? ??? ? ? OA ? OP 求 z ? ??? 的最大值和最小值. ? OA

19. (本小题满分 12 分) 设 命 题 p : 函 数 f ( x) ? ? a ?

? ?

3? 2 ? 是 R 上 的 减 函 数 , 命 题 q : 函 数 f ( x) ? x ? 4 x ? 3在 2?
“ p ? q ”为真,求实数 a 的取值范围.

x

?0, a? 上的值域为 ??1,3? ,若“ p ? q ”为假,

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 23n ? 2n2 (1)求证: ?an ? 是等差数列; (2)求数列 an 的前 n 项和 Tn .

? ?

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21.(本小题满分 12 分) 如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的所有棱长都为 2 ,

A

A1

?1? 求证: AB1 ? 平面 A1BD ; ? 2 ? 求二面角 A ? A1D ? B 的正弦值; ? 3? 求点 C 到平面 A1BD 的距离.
B

D 为 CC1 的中点.

C
D

C1

B1

22. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 离心率为 ,且短轴长为 2. a b 2 ?1? 求椭圆的方程;

? 2 ? 若过点 P(0,

2) 与两坐标轴都不垂直的直线 l 与椭圆交于 A, B 两点, O 为坐标原点,且

??? ??? 2 ? ? OA? ? ,求直线 l 的方程. OB 3

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平顶山市 2011~2012 学年第一学期期末调研考试

高二数学(理)答案
一、选择题: CBADA, BACBA, BA 二、填空题: 13. ? 5 ? m ? 10 99 14. 100 15. y ? 2 16. (1)(3)(4)
17.解:由正弦定理得: ∴ ?B ? 60 或 120 .
0 0

a b b sin A 3 ? ,∴ sin B ? , ? sin A sin B a 2

b sin C 3sin 750 3 2 ? 6 当 ?B ? 60 时, ?C ? 75 , c ? . ? ? sin B sin 600 2
0 0

当 ?B ? 120 时, ?C ? 15 , c ?
0 0

b sin C 3sin150 3 2 ? 6 ? ? sin B sin 600 2

综 上 可 知 :

?B ? 600 , c ?
3 2? 6 . 2

3 2? 6 或 2

y

?B ? 1200 , c ?

18. 解:不等式组表示的平面区域如图所示: 其中 A(1, 3) , B(?2, 0)

x ? 3y ? 2 ? 0 A(1, 3)
B(?2, 0)
O x

??? ??? ? ? OA ? OP 3 1 由 z ? ??? = x? y ? 2 2 OA
得: y ? ? 3x ? 2 z , ∴ 2z 表示斜率为 ? 3 的直线在纵轴上的截距, ∴当直线过 A(1, 3) 时, z 有最大值 3 , 当直线过 B(?2, 0) 时, z 有最小值 ? 3 .

3x ? y ? 0

??? ??? ? ? OA ? OP ∴ z ? ??? 的最大值为 3 ,最小值为 ? 3 . ? OA
19.解:∵函数 f ( x) ? ? a ?

? ?

3? ? 是 R 上的减函数, 2?

x

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∴0 ? a ?

3 3 5 ? 1 ,得 ? a ? ; 2 2 2

∵函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2)2 ?1 在 ? 0, a ? 上的值域为 ? ?1,3? , ∴2 ? a ? 4; ∵“ p ? q ”为假, “ p ? q ”为真, ∴ p, q 为一真一假; 若 p 真 q 假,得

3 ?a?2, 2 5 ?a?4, 2

若 p 假 q 真,得

综上可知:实数 a 的取值范围是

3 5 ?a?2或 ?a?4 2 2

20.证明: (1)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 21 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 25 ? 4n ∵ 25 ? 4 ? 21 ? a1 ∴ an ? 25 ? 4n (n ? N ? ) ∴ n ? 2 时, an ? an?1 ? 4 ∴ ?an ? 是首项为 21 ,公差为 4 的等差数列. (2)由(1)知当 n ? 6 时, an ? 0 ; 当 n ? 7 时, an ? 0 .∴当 n ? 6 时, Tn ? a1 ? a2 ??? an ? a1 ? a2 ??? an ? Sn ? 23n ? 2n2 当 n ? 7 时, Tn ? a1 ? a2 ??? a6 ? a7 ??? an

? a1 ? a2 ??a6 ? a7 ??? an ? 2S6 ? Sn ? 2n2 ? 23n ?132
综上可知: Tn ? ?

21.解法一: ?1? 取 BC 中点 O ,连结 AO, B1O , ∵ ?ABC 为正三角形,∴ AO ? BC . ∵正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 平面 ABC ? 平面 BCC1B1 ∴ AO ? 平面 BCC1B1 ,∴ AO ? BD 在正方形 BCC1B1 中, O , D 分别为 BC , CC1 的中点, ∴ BD ? B1O ,∴ BD ? 平面 AB1O ,而 AB1 ? 平面 AB1O ∴ AB1 ? BD 又在正方形 ABB1 A 中, AB1 ? A1B 1 ∴ AB1 ? 平面 A BD . 1

?23n ? 2n 2 (n ? 6) ? . 2 ?2n ? 23n ? 132 (n ? 7) ?

? 2 ? 设 AB1 与 A1B 交于 G ,在平面 A1BD 中,作 GF ? A1D 于 F ,连 AF , 由 ?1? 知 AB1 ? 平面 A BD ,∴ AF ? A1D 1
∴ ?AFG 为二面角 A ? A D ? B 的平面角. 1
本卷第 6 页 平顶山市 2011~2012 学年第一学期期末调研考试

1 4 5 ,又 AG ? AB1 ? 2 , 2 5 AG 10 ∴ sin ?AFG ? , ? AF 4 10 ∴二面角 A ? A D ? B 的正弦值为 . 1 4 ? 3? ?A1BD 中, BD ? A1D ? 5, A1B ? 2 2
在 ?AA1 D 中, AF ? ∴ S?A BD ? 6, S?BCD ? 1 1 在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, A 到平面 BCC1B1 的距离为 3 , 1 设点 C 到平面 A BD 的距离为 d , 1 由 VA1?BCD ? VC ? A1BD 得: S ?BCD ? 3 ? ∴d ?

3S ?BCD S ABD1

1 3 2 ? 2

1 S ?A BD ? d , 3 1

∴点 C 到平面 A BD 的距离为 1

2 . 2
c 2 , ? a 2

22.解: ?1? 由题意可知: 2b ? 2, b ? 1, e ? 又a ?b ?c ,
2 2 2

所以 a ?

2, c ? 1 , x2 ? y 2 ? 1. ∴椭圆的方程为 2 ? 2 ? 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 (k ? 0) , A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
? y ? kx ? 2 ? 由 ? x2 消去 y 得: (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4 2kx ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

?4 2k 2 , , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 ??? ??? ? ? ∵ OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? 2k ( x1 ? x2 ) ? 2 ,
∴ x1 ? x2 ? ∴ (1 ? k )
2

2 ?4 2k 2 ? 2k ?2? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 3

即 k ?1 ∴ k ? ?1
2

所以直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,或 y ? ? x ? 2 .

本卷第 7 页 平顶山市 2011~2012 学年第一学期期末调研考试


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