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2.4.1 函数的零点


2.4

函数与方程

2.4.1 函数的零点

方程解法史话:

花拉子米(约780~约850) 给出了一次方程和二次方 程的一般解法

阿贝尔(1802~1829) 证明了五次以上一般 方程没有求根公式

1.知识目标:理解函数零点的意义,能判断二次函数


零点的存在性问题,会求简单函数的零点;(重点)

2.能力目标:通过设置问题情境使学生掌握函数与
方程思想方法和数形结合的思想方法;(难点)

3.情感目标:通过新旧知识的认识冲突,激发学生的
求知欲,通过合作学习,培养学生团结协作的品质。

思考1

你能求下面几个一元二次方程的解吗?

(1)x ? 2x ? 3 ? 0
2 2

(2)x ? 2x ? 1 ? 0 (3)x 2 ? 2x ? 3 ? 0

方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 y= x2-2x-3

x2-2x+1=0
y= x2-2x+1
y
2 1
-1

x2-2x+3=0 y= x2-2x+3
y

.
-1

y
2

.
-1 -2

.

1

0

1

2

.

.
x

.

.
3 2 1
-1

.

5 4

3

.

-3 -4

0

.

1 2

.

.
x

.
1

.
2

.

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

x1=x2=1 (1,0)

无实数根 无交点

函数y=0的表达式就是相应的方程.

思考2

一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根

与二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象有什么
关系呢?

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0
有两个相等的 实数根x1 = x2

△<0

方程ax2 +bx+c=0 有两个不相等 的实数根x1 、x2 (a>0)的根
y

没有实数根

函数y= ax2 +bx +c(a>0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

y

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

【提升总结】
方程的根和相应的函数图象与x轴交点的横坐标相同
x0是方程f ? x ? ? 0的实数根

函数y ? f ? x ? 的图象与x轴 有交点(x 0 , 0)

思考3

函数零点的定义是怎样的?

答:如果函数y=f(x)在实数? 处的值等于零,即 f( ? )=0,则 ? 叫做这个函数的零点。

思考4

零点是不是点?

我们把f(x)=0成立的实数 ? 叫做y=f(x)的零点, 因此,函数的零点不是点,是函数y=f(x)的图象 与x轴交点的横坐标,即零点是一实数,当函数

的自变量取这一实数时,其函数值为零,函数的
零点实际上就是方程f(x)=0的实根,方程有几个

实根,函数f(x)就有几个零点。

思考5 二次函数零点如何判定?
方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两不相等实根 两相等实根 函数 y=ax2+bx+c ( a ≠0 ) 的零点 两个零点 一个零点 没有零点

判别式

?> 0 ?= 0 ?< 0

没有实根

例1.求函数 y ? x3 ? 2x2 ? x ? 2 并画出它的图象. 解:因为 x3 ? 2 x 2 ? x ? 2

的零点,

? x 2 ( x ? 2) ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)( x 2 ? 1) ? ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 1)
所以已知函数的零点为-1,1,2.

【变式训练】

函数 f ( x) ? x ? 1 的零点个数为( A )
x

A .0 C .2

B .1 D .3

解答:选A.函数的定义域为 ?x x ? R, 且x ? 0? , 当x>0 时,f(x)>0,当x<0时,f(x)<0,所以函数没有零点,

故选A.

【变式训练】 若函数f(x)=bx+a(a≠0)有一个零点-3,那么函
2 数g(x)=ax2+2bx的零点是________ 3 0或 -

解答:∵函数f(x)=bx+a的一个零点是-3, ∴x=-3是方程bx+a=0的根,
求函数零点的实 质就是求相应的 方程的根.

∴a=3b,

于是g(x)=ax2+2bx=3bx2+2bx=bx(3x+2),

令g(x)=0,得x=0或x=- 2 .
3

【提升总结】
y y

.
0
a 1

.
.
x
0

.

.
b

.
a

b

x

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,

函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在
c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程 f(x)=0的根。

2 1.函数 f ( x) ? Inx ? 的零点所在的大致区间是( B ) x 1 A. ?1, 2 ? B. ? 2 , 3 C . ( 1 , 和 ) ?3 , 4 ? ? D. ? e, ?? ? e
2.若方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 在 ? 0,1? 内恰有一解,则 a 的取值范围 ( B )

A. a ? ?1

B. a ? 1

C. ?1 ? a ? 1

D. 0 ? a ? 1

3.函数 f ( x) ? A.有3个零点 C.有1个零点

x

3

? x ? x ? 1 在[0,2]上(
2

C )

B.有2个零点 D.没有个零点

4.函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在一个零点,

则a的取值范围是( D
A. a ? 1 5 1 C. ?1 ? a ?

)
B. a ? -1
1 D. a ? -1或a ? 5

5

1.函数的零点的定义.

2.等价关系
方程 f(x)=0 有实数根

函数 y= f(x) 有零点

函数 y=f(x) 的图 象与x轴有交点

世间没有一种具有真正价值的东西可以不经
过艰苦辛勤的劳动而得到。


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