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【师说】2015高考数学(理)一轮复习课后练习:7.1 命题及其关系、充分条件与必要条件


7.1 命题及其关系、充分条件与必要条件

一、选择题 1.命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga2<0”的逆否 命题是( ) A.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数

C.若 loga2<0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 解析:注意到命题“若函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga2< 0”的条件与结论,可知逆否命题为“若 loga2≥0,则函数 f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义 域内不是减函数”. 答案:B 2.若 a∈R,则“a=1”是“|a|=1”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:若 a=1,则|a|=1 是真命题,即 a=1?|a|=1,由|a|=1 可得 a=± 1,所以若|a| =1, 则有 a=1 是假命题, 即|a|=1?a=1 不成立, 所以 a=1 是|a|=1 的充分而不必要条件, 故选 A. 答案:A 3.命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( ) A.所有不能被 2 整除的整数都是偶数 B.所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D.存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 解析:否定原题结论的同时要把量词做相应改变,故选 D. 答案:D 4.设集合 M={1,2},N={a2},则“a=1”是“N?M”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 显然 a=1 时一定有 N?M, 反之则不一定成立, 如 a=-1.故是充分不必要条件. 答案:A 5.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1 B.a>b-1 C.a2>b2 D.a3>b3 解析:由 a>b+1 得 a>b+1>b,即 a>b;且由 a>b 不能得出 a>b+1.因此,使 a> b 成立的充分不必要条件是 a>b+1,故选 A. 答案:A 6.已知 a,b 为非零向量,则“a⊥b”是“函数 f(x)=(xa+b)· (xb-a)为一次函数”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:函数 f(x)=x2a· b-(a2-b2)x-a· b,当函数 f(x)是一次函数时必然要求 a· b=0,即 a⊥b,但当 a⊥b,|a|=|b|时,函数 f(x)不是一次函数,故选 B. 答案:B

二、填空题 7.函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是____________. 解析:若 a=b=0, ?x2 ?x≥0? ? 则 f(x)=x· |x|=? 2 , ?-x ?x<0? ? 图象为下图所示.

f(x)是奇函数,反之,若 f(x)是奇函数, 则 f(0)=0 知 b=0. f(x)=x|x+a|, f(-x)=-x|-x+a|=-f(x)=-x|x+a|, ∴对任意 x∈R 有 x(|x+a|-|x-a|)=0, 故必有|x+a|=|x-a|,即 a=0. 答案:a=b=0 8.有下列四个命题: ①“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若 q≤1,则 x2+2x+q=0 有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题的序号为__________. 解析:①逆命题是“若 x,y 互为相反数,则 x+y=0”,真; ②否命题是“不全等的三角形的面积不相等”,假; ③若 q≤1,则 Δ=4-4q≥0,所以 x2+2x+q=0 有实根,其逆否命题与原命题是等价 命题,真; ④逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”,假. 答案:①③ 9.下列结论中是真命题的是__________(填序号). b ①f(x)=ax2+bx+c 在[0,+∞)上是增函数的一个充分条件是- <0; 2a ②已知甲:x+y≠3,乙:x≠1 或 y≠2,则甲是乙的充分不必要条件; Sn? ③数列{an}(n∈N*)是等差数列的充要条件是 Pn? ?n, n ?是共线的. b 解析:①f(x)=ax2+bx+c 在[0,+∞)上是增函数,则必有 a>0,- ≤0,故①不正 2a 确. ②x=1 且 y=2,则 x+y=3.从而逆否命题是充分不必要条件,故②正确. ③若{an}是等差数列,则 Sn=An2+Bn, Sn 即 =An+B,故③正确. n 答案:②③ 三、解答题 10. 已知 P={x|a-4<x<a+4}, Q={x|x2-4x+3<0}, 且 x∈P 是 x∈Q 的必要条件. 求 实数 a 的取值范围. 解析:∵x∈P 是 x∈Q 的必要条件,∴Q?P. 又 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3}, ? ?a-4≤1, ∴? 得-1≤a≤5. ?a+4≥3. ?

11.已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,对命题“若 a+b≥0,则 f(a) +f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假并证明你的结论. 解析:(1)逆命题:若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0,是真命题. 用反证法证明:假设 a+b<0,则 a<-b,b<-a. ∵f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, 则 f(a)<f(-b),f(b)<f(-a), ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设相矛盾,所以逆命题为真. (2)逆否命题:若 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则 a+b<0,为真命题. 因为一个命题?它的逆否命题,所以可证明原命题为真命题. ∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a. 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a), ∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b). 所以逆否命题为真. ax-5 12.设函数 f(x)=lg 2 的定义域为 A,若命题 p:3∈A 与 q:5∈A 有且只有一个为真 x -a 命题,求实数 a 的取值范围. ? ?ax-5 ? ? ? 解析:A=?x? 2 >0?. ? ? ? ? x -a ? 3a-5 5 若 3∈A,则 >0,即 <a<9; 3 9-a 5a-5 若 5∈A,则 >0,即 1<a<25. 25-a 5 ? ?3<a<9 若 p 真 q 假,则? ,a 无解;

? ?a≤1或a≥25

5 ? ?a≤3或a≥9 5 若 p 假 q 真,则? ,1<a≤ 或 9≤a<25. 3 ? ?1<a<25 5? 综上,a∈? ?1,3?∪[9,25).


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