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浙江省台州中学2010—2011学年第二学期第四次统练高三数学(理科)


2010— 台州中学 2010—2011 学年第二学期第四次统练试题 高三数学(理科) 高三数学(理科)
本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 选择题部分( 选择题部分(共 50 分) 参考公式:
如果事件 A , B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) 如果事件 A , B 相互独立,那么 P ( A ? B ) = P ( A) ? P ( B ) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k Pn ( k ) = Cn p k (1 ? p ) n?k

棱柱的体积公式 V = Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式
1 V = Sh 3 其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高
[

, ( k = 0,1, 2,L, n )

棱台的体积公式
1 V = h S1 + S1S2 + S2 3

球的表面积公式 S = 4π R 2
4 球的体积公式 V = π R 3 3 其中 R 表示球的半径

(

)

其中 S1 , S 2 分别表示棱台的上底、下底面积,
h 表示棱台的高

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1 . 已 知 全 集 U = R , 设 集 合 A = x y = ln( x ? 1) , 集 合 B = x x ≥ 2 , 则 A ∩ (CU B ) = A. [1, 2]
2

{

}

{

}

B. (1, 2)

C. (1, 2]

D. [1, 2 ) (

( )



2.若复数 ( a + i ) 对应点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是 A. ?1 B. 1 C. ? 2 D. 2

3. 在 ?ABC 中, a、b 分别是角 A、B 所对的边,条件“ a < b ”是使 “ cos A > cos B ”成立的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 的展开式中, x 的系数为 B. 9C10
4
6

A.充分不必要条件 C.充要条件 4. 在 x ? 3 A. ?9C10
6

(

)

10

( C. ?27C10
6



D. 27C10 ( )

4

5. α , β 是两个不重合的平面,在下列条件中,可判断平面 α , β 平行的是 A. m, n 是平面 α 内两条直线,且 m // β , n // β . B. α 内不共线的三点到 β 的距离相等 . C. α , β 都垂直于平面 γ .

D. m, n 是两条异面直线, m ? α , n ? β ,且 m // β , n // α . 6.设 b, c, k 是实数, 二次函数 f ( x ) = 3 x 2 + bx + c 满足: f ( k ? 1) 与 f ( k ) 异号, f ( k + 1) 与

f ( k ) 同号.在以下关于 f ( x ) 的零点的命题中, 假命题的序号为
① 该二次函数的两个零点之差一定大于 2 ; ② 该二次函数的零点都小于 k ; ③ 该二次函数的零点都大于 k ? 1 . A.①② B.②③





C.①③

D.①②③

开始

输入 f 0 ( x)

i=0

i=i+1 否

f i ( x) = f i ?1′ ( x)
i=2011? 是 输出 f i ( x)
x

结束 )

7.在上图的程序框图中,已知 f 0 ( x ) = x ? e ,则输出的是 A. ( x + 2011)e x B. xe
x



C. (1 + 2011x )e x

D. 2011(1 + x )e x

8.公差为 d ,各项均为正整数的等差数列中,若 a1 = 1 , a n = 51 ,则 n + d 的最小值等于 ( A. 10 2 + 1 B.16 C. )

106 7

D.15

x2 y2 9.已知 P 为双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 左支上一点, F1 , F2 为双曲线的左右焦点,且 a b

cos ∠PF1 F2 = sin ∠PF2 F1 =

1 10 ,

则此双曲线离心率是(



A.

10 2

B.

10 4

C.

5 2

D. 5

10.设 a1 ,a2 ,…,an 是 1,2,…, n 的一个排列,把排在 ai 的左边且比 ai 小的数的个数称为 ai 的顺序数( i = 1, , , ) 2 L n .如在排列 6,4,5,3,2,1 中,5 的顺序数为 1,3 的顺序数为
0.则在由 1、2、3、4、5、6、7、8 这八个数字构成的全排列中,同时满足 8 的顺序数为 2, 7 的顺序数为 4,4 的顺序数为 2,且 1、2 必须相邻的不同排列的种数为 ( ) A.180 B.28 C.24 D.14

非选择题部分( 非选择题部分(共 100 分)
二.填空题(本题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 把答案填在答题卡的相应位置) 11.已知 sin 31 = a ,则 cos 2011 =
0 0
2 2

. (结果用 a 表示)

12.已知圆 x + y + x ? 6 y = 0 和直线 2 x + 3 y ? m = 0 交于不同 的 P,Q 两点,若 OP⊥OQ(O 为坐标原点) ,则 m=____ . 13.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个 等边三角形,则这个几何体的体积为____ . 14.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,

uuur uuu r OD = 3OA ,点 P 为△BCD(含边界)内的一个动点,
2 则 2 设 OP = xOC + yOD , x + 9 y 的最小值等于

C

B

uuu r

uuur

uuur


O A D

14 题

15.已知随机变量 ξ

B (2, p ),η


B (4, p ) ,当 Dξ 值最大
P

时, P (η ≥ 2) 的值为

16.已知平面向量 α , β (α ≠ β ) 满足 α = 2 ,且 α 与

u ur ur r

ur

u r

u r

ur ur β ? α 的夹角
_.
A C F B

为 120°,则 (1 ? t )α + t β ( t ∈ R )的最小值是___

ur

ur

17.如图,在三棱锥 P-ABC 中, AC=BC=CP=1,且 AC ⊥ BC , PC ⊥ 面 ABC ,过 P 作截面分别交 AC,BC 于 E、F,且二面 角 P-EF-C 为 60°,则三棱锥 P-EFC 体积的最小值为____ .

E

三、解答题(本题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) ( 小题, 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤) 应写出文字说明、 18. (本小题满分 14 分) 已知向量 m =(sinA ,sinB), n =(cosB,cosA), m ? n = sin 2C 且 A、B、C 分别为△ABC 的 三边 a、b、c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A, sin C , sin B成等差数列, 且CA ? ( AB ? AC ) = 18 ,求 c 边的长.

?1 ? a n + n, n为奇数 19.(本题 14 分)已知数列{an}满足:a1=1,an+1= ? 2 ?a n ? 2n, n为偶数 ?
(1)求 a2、a3、a4、a5; (2)设 bn=a2n-2, n ∈ N ,求证{bn}是等比数列,并求其通项公式;
*

(3)在(2)条件下,求证数列{an}前 100 项中的所有偶数项的和 S 100 <100。

20. (本小题满分 14 分)如图所示, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BB1,AC1⊥平面 A1BD,D 为 AC 的中点. (1)求证:B1C1⊥平面 ABB1A1; (2)在线段 CC1 上是否存在一点 E,使得直线 A1E 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为

B1 A1

C1

3 ,若存在, 3

B D A

C

试确定 E 的位置,并判断平面 A1BD 与平面 BDE 是否垂直?若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 15 分)设椭圆 T :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) ,直线 l 过椭圆左焦点 F1 且不与 x a2 b2
4 3
, F2 为椭圆的右焦点, M 为椭

、 轴重合, l 与椭圆交于 P、Q ,当 l 与 x 轴垂直时, | PQ |=
圆 T 上任意一点,若 ?F1 MF2 面积的最大值为 2 。 (1)求椭圆 T 的方程;

(2) 直线 l 绕着 F1 旋转, 与圆 O :x 2 + y 2 = 5 交于 A、B 两点, | AB |∈ [4, 19 ] , ?F2 PQ 若 求 、 的面积 S 的取值范围。

22.(本题满分 15 分)已知函数 f (x)=x(x-a)(x-b),点 A(m, f(m)),B(n, f(n)). (1)设 b= a,求函数 f(x)的单调区间; 3 ( 2)若函数 f(x)的导函数 f’(x)满足:当|x|≤l 时,有| f’(x)|≤ 恒成立,求函数 f(x)的表达式; 2 → → (3)若 0<a<b,函数 f(x)在 x=m 和 x=n 处取得极值,且 a+b≤2 3.问: 是否存在常数 a、 b,使得OA·OB=0? 若存在,求出 a,b 的值;若不存在,请说明理由.

2010— 学年第二学期第四次统练 台州中学 2010—2011 学年第二学期第四次统练 高三 数学(理科) 数学(理科)参考答案

选择题:(本大题共 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一. 选择题 本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的.) 题目 选项 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 D 7 A 8 B 9 A 10 B

二.填空题:(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. ) 填空题: 本大题共 小题, 11. ? 1 ? a
2

12.

8

13.

(8 + π ) 3 6

14.

9 10

15.

11 16

16.

3

17.

1 9

三.解答题 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)Q m = (sin A,sin B ), n = (cos B, cos A), m n = sin 2C

ur

r

ur r

∴ sin A cos B + sin B cos A = sin 2C

∴ sin( A + B ) = sin 2C

∴ sin C = 2 sin C cos C ∴ cos C =
(2)Q CA ( AB ? AC ) = 18

1 2

∴C =

π
3

……7 分

uuu uuu uuur r r

uuu uuu r r π 1 ∴ CA CB = ab cos = ab = 18 3 2 Q 2sin C = sin A + sin B ,即 2c = a + b

∴ ab = 36

∴ 4c 2 = a 2 + 2ab + b 2 = a 2 + b 2 + 72 ,即 a 2 + b 2 = 4c 2 ? 72 ……………12 分
又Q c = a + b ? 2ab cos
2 2 2

π
3

= a 2 + b 2 ? ab = 4c 2 ? 108

∴ c 2 = 36, 即c = 6 …………………………………………………14 分
(19). 解: (1) a 2 =

(2)∵

bn +1 bn

3 5 7 25 , a3 = ? , a 4 = , a 5 = ? ………… 2 2 4 4 1 a + 2n + 1 ? 2 a 2 n+ 2 ? 2 2 2 n +1 = = a2n ? 2 a2n ? 2

4分

1 1 ( a 2 n ? 4 n) + 2n ? 1 a2n ? 1 1 2 2 = = = …………………… 8分 a2n ? 2 a2n ? 2 2 1 1 又∵ b1 = a 2 ? 2 = ? b1 = a 2 ? 2 = ? 2 2 1 1 n ?1 1 = ?( ) n ………………… 10 分 ∴数列{ bn }是等比数列,且 bn = ( ? )( ) 2 2 2 1 n (3)由(2)得: a 2 n = bn + 2 = 2 ? ( ) (n=1,2,…,50) 2 1 1 × (1 ? 50 ) 2 =99+ 1 <100 …………14 分 ∴ S100 = a 2 + a 4 + L + a100 = 2 × 50 ? 2 1 2 99 1? 2
20、 (本小题满分 14 分)解: (1)∵AB=B1B ∴四边形 ABB1A1 为正方形, ∴A1B⊥AB1 又∵AC1⊥面 A1BD, ∴AC1⊥A1B, ∴A1B⊥面 AB1C1, ∴A1B⊥B1C1 又在直棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥B1C1, ∴B1C1⊥平面 ABB1A1…………………………………………6分 (2) 证法 1: 假设在线段 CC1 上存在点 E , 使得直线 A1E 与平面 A1BD 所成的角的正弦值为 设 AB=BB1=2,CE=x, 过点 E 作 EF / / AC1 交直线 A1 D 于 F , EF ⊥ 面A1 BD , 则 所以 ∠EA1 F 就是直线 A1E 与平 面 A1BD 所成的角, 所以 sin ∠EA1 F =

3 , 3

EF 1 , EF = 而 ( x + 2) , A1 E 3

A1 E = 8 + (2 ? x) 2

所以得 x = 1 [来源:学。科。网] 即 E 是 C1C 的中点 …………………………12 分 ∵D、E 分别为 AC、C1C 的中点,∴DE∥AC1 ∵AC1⊥平面 A1BD,∴DE⊥平面 A1BD 又∵PE ? 平面 BDE,∴平面 ABD⊥平面 BDE…………………………14 分 证法 2:设 AB=BB1=2,CE=x, ∴A1B=A1C1= 2 2 ∵D 为 AC 的中点,且 AC1⊥A1D, ∴B1C1=2,

又∵B1C1⊥平面 ABB1A1,B1C1⊥A1B1

以 B 为坐标原点,分别以 BA, BC , BB1 为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系,则

B (0, 0, 0) , D (1,1, 0) , A1 (2, 0, 2) , E (0, 2, x) ,

uuur uuur uuu r r BD = (1,1, 0) , BA1 = (2, 0, 2) , A1 E = (?2, 2, x ? 2) ,则平面 A1 BD 的法向量 n = (1, ?1, ?1) ,
由 cos n , A1 E =

r uuur

x+2 3

( x ? 2)

2

+8

=

3 3

得 x =1

即 E 是 C1C 的中点

∵D、E 分别为 AC、C1C 的中点,∴DE∥AC1 ∵AC1⊥平面 A1BD,∴DE⊥平面 A1BD 又∵PE ? 平面 BDE,∴平面 ABD⊥平面 BDE…………………………14 分 21. (1)设椭圆半焦距为 c =

a ? b ①,将 x = ? c 代入椭圆方程得 y = ±
2 2

b2 ,∴ a

2b 2 4 1 ②;又由已知得 b ? 2c = 2 ③;由①②③解得 a 2 = 3 、 b 2 = 2 、 = a 2 3
c 2 = 1 。所求椭圆方程为: x2 y2 + = 1。 3 2

(2)设直线 l : x = my ? 1 即 x ? my + 1 = 0 ,圆心 O 到 l 的距离 d =

1 1 + m2

,由圆性质:

| AB |= 2 r 2 ? d 2 = 2 5 ?

1 ,又 | AB |∈ [4, 19 ] ,得 m 2 ≤ 3 。 2 1+ m

? x = my ? 1 ? 联立方程组 ? x 2 ,消去 x 得 ( 2m 2 + 3) y 2 ? 4my ? 4 = 0 。 y2 + =1 ? 3 2 ?
设 P ( x 1 , y1 )、Q ( x 2 , y 2 ) ,则 y1 + y 2 =

4m ?4 , y1 y 2 = 。 2 2m + 3 2m 2 + 3
16m 2 16 + 2 2 ( 2m + 3 ) 2m 2 + 3

S=

1 | F1 F2 || y1 ? y 2 |= ( y1 + y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 2

=

48( m 2 + 1) = ( 2m 2 + 3 ) 2

48 (令 t = m 2 + 1 ∈ [1,4] ) 。 1 4t + + 4 t

设 f ( t ) = 4t +

1 1 1 ( t ∈ [1,4]) , f ′( t ) = 4 ? 2 > 0 对 t ∈ [1,4] 恒成立, f ( t ) = 4t + 在 [1,4] 上 t t t 65 8 3 4 3 ] ,所以, S ∈ [ , ]。 4 9 3

为增函数, 4t + ∈ [5,

22.解(1) f ( x) = x3 ? 2ax 2 + a 2 x 令 f ′( x) = 3 x 2 ? 4ax + a 2 = 0 , 得: x1 =

a , x2 = a .…..……………..……………2 分 3

1o 当 a > 0 时, x1 < x2 (表可删)

a a ∴ 所求单调增区间是 (?∞, ) , (a, +∞) , 单调减区间是( , a ) 3 3 a a 2o 当 a < 0 时,所求单调增区间是 (?∞, a ) , ( , +∞) , 单调减区间是( a , ) 3 3

3o 当 a = 0 时, f ′( x) = 3x 2 ≥ 0

所求单调增区间是 (?∞, +∞) .……………………5 分

(2) f ( x ) = x3 ? ( a + b ) x 2 + abx

∴ f ′ ( x ) = 3x 2 ? 2 ( a + b ) x + ab, …………6 分

Q 当 x ∈ [ ?1,1] 时,恒有 f ′ ( x ) ≤ 3

2 3 3 3 3 3 3 ∴? ≤ f ′ (1) ≤ , ? ≤ f ′ ( ?1) ≤ , ? ≤ f ′ ( 0 ) ≤ , 2 2 2 2 2 2 3 ? 3 ?? 2 ≤ 3 ? 2 ( a + b ) + ab ≤ 2 , 3 ? ? ab = ? , 即 ?? 3 ≤ 3 + 2 ( a + b ) + ab ≤ 3 , 得 ? 2 ? ? 2 ?a + b = 0, ? 2 ? 3 ? 3 ? ≤ ab ≤ , ? 2 2 ?

…………8 分

此时,满足当 x ∈ [?1,1] 时 | f ′( x) | ≤

3 3 恒成立.∴ f ( x ) = x 3 ? x .……………………10 分 2 2

→ → → → (3)存在 a, b ,使得OA·OB=0. 若OA·OB=0,即 m ? n + f (m) ? f (n) = 0

∴ mn + mn(m ? a )(m ? b)( n ? a)(n ? b) = 0
由于 0 < a < b ,知 mn ≠ 0

∴ (m ? a)(m ? b)(n ? a )(n ? b) = ?1 ∴m + n =



2(a + b) ab , mn = ② ……………12 分 3 3 9 将②代入①得: ab(a ? b) 2 = 9 ∴ (a + b)2 = (a ? b)2 + 4ab = + 4ab ≥ 2 36 = 12 ,……14 分 ab 3 当且仅当 ab = 时取“=” ∴ a + b ≥ 2 3 2
由题设, m, n 是 f ′( x) = 0 的两根

Qa + b ≤ 2 3

∴a + b = 2 3

又Q ab =

3 ,0< a <b 2

∴a =

2 3? 6 2 3+ 6 , b= . 2 2

………………………………15 分

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