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高二数学向量的应用1


8.4(1)向量的应用(1)
一、教学内容分析 向量作为工具在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用。 本小节的重点是结合向量知识证明平面几何中的平行、垂直问题,以及不等式、有关三角 公式的证明、物理学中的应用. 本小结的难点是如何结合向量知识去解决有关问题,突破难点的关键是如何启发学生发现 问题和提出问题,学会分析问题和创造性地解决问题.

二、教学目标设计 运用平面向量的知识解决平面几何中的平行、垂直等问题;提高分析问题、解决问题的能 力. 三、教学重点及难点 教学重点:利用平面向量知识证明平行、垂直等问题; 教学难点:数形结合方法的渗透,思维能力的提高. 四、教学流程设计

概念辨析

证明平行

实例引入

证明垂直

例题解析、巩固练习

课堂小结并布置作业

五、教学过程设计

一、

复习与回顾

思考并回答下列问题 1.判断: (平行向量的理解) (1)若 A、B、C、D 四点共线,则向量 AB // CD ; ( (2)若向量 AB // CD ,则 A、B、C、D 四点共线; ( (3)若 AB ? CD ,则向量 BA ? DC ;
? ?

) ) ) )


?

(4)只要向量 a , b 满足 a ? b ,就有 a ? b ; ( 2.提问: (1)两个非零向量平行的充要条件是什么? (2)两个非零向量垂直的充要条件是什么? [说明]

?

?

?

教师可引导学生多写出一些两向量平行、垂直的表达形式.

二、学习新课
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例题分析

例 1、证明:菱形对角线互相垂直。 (补充) 证:设 AB = DC = a
?

, AD = BC = b

?

D

∵ABCD 为菱形 ∴| a | = | b | ∴ AC ? BD = ( b + a )( b ? a ) = b ? a
2

?

?

A a
? ? ?

C b

?

?

?

2

=

|b | ? |a | = 0
2 2

?

?

∴ AC ? BD D

B
C

证法二:设 B(b ,0),D(d1,d2), 则 AB = (b,0), AD = (d1,d2) O 于 是 AC = AB + AD = (b ,0) + (d1,d2)= (b +d1 ,d2) (A)

B

BD = AD ? AB = (d1 ?b ,d2)
∵ AC ? BD = (b +d1)(d1 ?b ) + d2d2 = (d1 + d2 )? b
2 2 2

= | AD | ? b
2

2

= | AB | ? b
2

2

= b

2

? b

2

= 0

∴ AC ? BD [说明]二种方法进行比较,开拓学生的解题思维,提高能力. 例 2、已知 A(1,2) , B(2,3) , C (?2,5) ,求证 ?ABC 是直角三角形.(补充)

证明 : ? AB ? (1,1), AC ? (?3,3), AB ? AC ? 0 ? ?BAC ? 900 , 即?ABC是直角三角形 .
例 3、 如图 . 在?ABC中,已知AH ? BC, BH ? AC. C

求证 : CH ? AB. (课本 P72 例 2)
A

H B

[小结]以上三题均是垂直问题的证明,请同学们注意它们间的区别与联系. 例 4、证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.(课本 P71 例 1)

三、课堂练习 例 5、用向量方法证明:对角线相等的平行四边形是矩形.(习题册 P39 习题 8.4 A 组 1)

四、课堂小结 1.用向量知识证明平行、垂直问题.

2.要注意挖掘平面图形本身的几何性质.

四、作业布置 1、书面作业:课本 P73, 练习 8.4 1, 2, 3 2、习题册 P39,习题 8.4 A 组/1;习题册 P40,习题 8.4 B 组/1 3、思考题: 如图,在 ?ABC 中,D,E 分别是边 AB、AC 的中点,F,G 分别 是 DB、EC 的中点, 求证:向量 DE 与 FG 共线.

A D F B E G
A E F H C

3、思考题: 如图,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高, 求证:AD、BE、CF 相交于一点. B 七、教学设计说明

D

1.注意区分两向量平行、垂直充要条件的差别.建议学生结合图形,这样理解较为深刻. 2.在用向量证明有关数学问题时,要注意利用平面图形的几何性质,找到解题的突破口. 3.学生要注重综合能力的训练,要会举一反三、融会贯通.


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