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近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--不等式选讲(解析版大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)


2011 (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集 (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

?

,求 a 的值。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 的

x ? a ? 3x ? 0
此不等式化为不等式组

?x ? a ?x ? a 或? ? ? x ? a ? 3 x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0
?x ? a ? a 即 ? x? ? ? 4 ?x ? a ? a 或? a?? ? ? 2
a 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ?
a 由题设可得 ? = ?1 ,故 a ? 2 2

?

2012
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 | 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (Ⅱ)若 f ( x) ? | x ? 4 | 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围. 【解析】 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
? x ? 1或 x ? 4
(2)原命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立
? ?3 ? a ? 0

2013
24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.

(2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2? ? a 1? , ? 都成立. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3. 所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

a 4 ≥a-2,即 a ? . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
故?

2014
24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(I) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由. 【解析】(Ⅰ) 由 ab ?

1 1 2 ,得 ab ? 2 ,且当 a ? b ? 2 时等号成立, ? ? a b ab

b ?4 2, 故a ?b ? 3 a ? 且当 a ? b ?
3 3 3 3

2 时等号成立, ∴ a 3 ? b3 的最小值为 4 2 .…5

分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知: 2a ? 3b ? 2 6 ab ? 4 3 , 由于 4 3 >6,从而不存在 a, b ,使得 2a ? 3b ? 6 . ……………10 分

2015 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数错误!未找到引用源。=|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围


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