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2013高三数学综合测试(三) 函数与导数(提高卷)


2013 高三数学综合测试(三)

函数与导数(提高卷)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)
? 2 ? x , x ? 0, 1. 已知函数 f ( x ) ? ? 则 f [ f ( ? 4 )] ? 1 x ? ( ) , x ? 0, ? 2
1

(

)

A. ? 4

B. 4

C. ?

1 4

D.

1 4

2. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合,则称这两个函数为“同形”函数.给出 四个函数: f 1 ? x ? ? 2 log
f 4 ( x ) ? log
2

x , f 2 ? x ? ? log

2

?x

( ? 2 ? , f 3 ( x ) ? log

2

x) ,
2

2

? 2 x ? . 则“同形”函数是
B. f 2 ? x ? 与 f 3 ? x ? D. f 2 ? x ? 与 f 4 ? x ?

(

)

A. f 1 ? x ? 与 f 2 ? x ? C. f 1 ? x ? 与 f 4 ? x ?

3.设 f ? ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数,将 y ? f ( x ) 和 y ? f ? ( x ) 的图象画在同一个直角坐标系 中,不可能正确的是( )

4. 函 数 f ( x ) 在 定 义 域 R 内 可 导 , 若 f ( x ) ? f ( 2 ? x ), 且 ( x ? 1) f '( x ) ? 0 , 若
a ? f ( 0 ), b ? f ( 1 2 ), c ? f ( 3 ), 则 a , b , c 的大小关系是





A. a ? b ? c C. b ? a ? c
A. f ( x ) ? sin x

B. c ? b ? a D. a ? c ? b

x ?x

5.下列函数既是奇函数,又在区间 [ ? 1 ,1 ] 上单调递减的是 B. f ( x ) ? ? | x ? 1 | C. f ( x ) ?
1 2 (a ? a )


2? x 2? x

D. f ( x ) ? ln

6.如图,设点 A 是单位圆上的一定点,动点 P 从点 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 P 所旋转过的弧 AP 的长为 l , A P 的长为 d , 弦 则函数 d ? f ( l ) 的图象大致是( ) .

x 7. 函数 f ( x ) ? lo g a ( 2 ? b ? 1) ( a ? 0 , a ? 1) 的图象如图所示, a, b 满足的关系是( 则

)

A. 0 ? a C. 0 ? b

?1

? b ?1 ? a ? ?1

B. 0 ? b ? a D. 0 ? a
?1

?1

?1
?1

y O
?1

x

?1

? b

?1

?x ( x ? 0) ? 8.已知 f ( x ) ? ? 2 ,则 f [ f ( x )] ? 1 的解集是( ? x 2 (x ? 0) ?

)

A. ( ? ? , ? 2 ]

B. [ 4 2 , ? ? )

C. ( ? ? , ? 1] ? [ 4 2 , ? ? )

D. ( ? ? , ? 2 ] ? [ 4 , ? ? )

9.已知定义域为 R 的函数 y ? f ( x ) 满足 f ( ? x ) ? ? f ( x ? 4 ) , 当 x ? 2 时,
f ( x ) 单调递增,若 x 1 ? x 2 ? 4 且 ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 ) ? 0 ,则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) 的值





A.恒大于 0 10.若函数 是 A.[
1 4
f ( x ) ? log
a

B.恒小于 0
(x
3

C.可能等于 0 在区间 ( ?
1 2

D.可正可负

? ax ) ( a ? 0 , a ? 1 )

,0)内单调递增,则 a 的取值范围

( ,1) B.[
3 4

) ,1) C. (
9 4

, ??

)

D.(1,

9 4

)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)
2 11.若函数 f ( x ) ? x ? x ? a 为偶函数,则实数 a ?

12.若 f ( x ) ?

ax ? 1 x? 2

在区间 ( ? 2 , ? ? ) 上是增函数,则实数 a 的取值范围
3 2

13. 已知函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? a x ? 1 在区间 ( ? 1,1 ) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是 14.已知关于 x 的方程 4 x ? 2 x ? 1 ? 3 m ? 1 ? 0 有实根,则 m 的取值范围是 15.设曲线 y ? x
n ?1

( n ? N ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n ,令 a n ? lg x n , 1)
*

则 a 1 ? a 2 ? ? ? a 9 9 的值为 16.已知函数 f ? x ? 满足: f ? 1 ? ?
f
1 4

. , 4 f ? x ? f ? y ? ? f ? x ? y ? ? f ? x ? y ? ? x , y ? R ? ,则

? 2 0 1 0 ? =_____________.

17.定义在 ? ? ? , ?? ? 上的偶函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 1 ? ? ? f ? x ? ,且在 ? ? 1 , 0 ? 上是增函数,下 面是关于 f(x)的判断:

① f ? x ? 关于点 P(

1 2

,0 )对称

② f ? x ? 的图像关于直线 x ? 1 对称; ④ f ? 2 ? ? f ?0 ? .

③ f ? x ? 在[0,1]上是增函数;

其中正确的判断是_____________________(把你认为正确的判断都填上) 三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? | x ? 1 | ? | x ? 1 | , (Ⅰ) 判断函数 f ( x ) 奇偶性; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的值域. 19. (本小题满分 14 分) 已知函数 y ?
2 ? a
x

2 ?1
x

为 R 上的奇函数

(1)求 a 的值 (2)求函数的值域 (3)判断函数的单调区间并证明 20. (本小题满分 14 分) 已知 x 满足不等式 (log
x? 1 2
2

x)

2

? log
2

2

x

2

? 0 ,

求函数 y ? 4

? a ?2

x

?

a

? 1 ( a ? R )的最小值.

2

21. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x ) ? x ln | x | ,
2

(Ⅰ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? k x ? 1 在 ( 0 ,?? ) 上有实数解,求实数 k 的取值范围.

22.(本题满分 14 分)已知函数 f ( x ) 满足 ? x ? R 均有 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) .用 Ik 表示区间 ,即 Ik = ( 2 k ? 1, 2 k ? 1] ( k ? Z) ,当 x ? I0 时, f ( x ) ? x .(Ⅰ) ( 2 k ? 1, 2k ? 1]( k ? Z)
2

求 I0, I1; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 Ik 上的解析式; (Ⅲ)若关于 x 的方程 f ( x ) ? a x 在 Ik ( k ? N*)上有两个不相等的实数根,试求实数 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) B D 二、填空题: 11. 0 D C D C A D B B

12. a ?

1 2

13.

a ? ?

4 3

或a ? 7

14. m ?

2 3

15.

-2



16.

1 2

17. (1)(2)(4) ; 三、解答题:本大题共 5 小题,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 18. (Ⅰ)因定义域为全体实数,关于原点对称,且 f ( ? x ) ? f ( x ) ,从而函数是偶函数; (Ⅱ)用绝对值的几何意义(或零点分段法)可知,函数的值域为 [ 2 , ? ? ) .

19.(1) a ? 1 (2)(-1,1) (3)R 上递增 20、解:解不等式 (log
x? 1 2
2

x)
2

2

? log

2

x

2

? 0 ,得 1 ? x ? 4 ,所以 2 ? 2
2

x

? 16

y ? 4

? a ?2

x

?

a

?1?

1 2

(2 )

x

2

? a ?2

x

?

a

?1?

1 2

(2

x

? a)

2

?1

2

2
2

当 a ? 2 时 , ym
y min ? 1 2 (16 ? a )
2

i n

?

1 2

(2 ? a )

? 1 ; 当 2 ? a ? 16 时 , y m

i n

? 1 当 a ? 16 时 ,

?1

21、 解: (Ⅰ)函数 f ( x ) 的定义域为{ x | x ? R 且 x ? 0 }
f ( ? x ) ? ( ? x ) ln | ? x | ? x
2 2

ln x ? f ( x )

∴ f ( x ) 为偶函数

(Ⅱ)当 x ? 0 时, f ? ( x ) ? 2 x ? ln x ? x 2 ? 若0 ? x ? e 若x ? e
? 1 2 ? 1 2

1 x

? x ? ( 2 ln x ? 1 )

,则 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递减; 则 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递增.



再由 f ( x ) 是偶函数, 得 f ( x ) 的递增区间是 ( ?? , ? e 递减区间是 ( ? e
? 1 2
? 1 2

) 和(e

?

1 2

, ? ?);
1 2

, 0) 和(0 , e
1 x ? k

?

).

(Ⅲ)由 f ( x ) ? kx ? 1 ,得: x ln | x | ?
1 x
2

令 g ( x ) ? x ln | x | ?
x
2

1 x

当 x ? 0 , g ? ( x ) ? ln x ? 1 ?

? ln x ?

?1
2

显然 g ? (1 ) ? 0

x

0 ? x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) ?

x ? 1 时, g ? ( x ) ? 0 , g ( x ) ?

∴ x ? 0 时, g ( x ) min ? g (1 ) ? 1 ∴若方程 f ( x ) ? kx ? 1 有实数解,则实数 k 的取值范围是[1,+∞) .

22. (Ⅰ) I0 = ( - 1, 1], I1 = (1, 3] ; (Ⅱ) (注意到函数是以 2 为周期的函数,易求得: )
f ( x )? (x ? 2k ),
2

x ? I k ; (Ⅲ) (用根的分布或数形结合法----数形结合非常简单



求: )

0 ? a ?

1 2k ? 1

, k ? N.


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