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映射的概念


在初中我们已学过一些对应的例子:

①高一1班的每一个学生与学号之间存在 对应 的关系. ②三角形和它的面积之间存在 对应 的关系.
③坐标平面内的点和有序实数对(x, y)之间存在着 一一对应 的关系.

下面我们将学习一种特殊的对应

映射的概念
主讲教师 孙永钊

例1、

设A,B分别是两个集合,为简明起见,设A,B

分别是两个有限集,观察下列三个对应: A乘2B A平方B A相反数B 1 2 -1 1 -1 -2 1 -1 2 4 -2 4 0 0 2 1 3 6 -3 9 1 2 3 (1) (2) (3)

这些对应的共同特点是什么? 答:对于左边集合A中的任何一个元素,在右边集合B中都 有唯一的元素和它对应。

映射 设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f,对于集合 A中的任何一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应, 这样的对应(包括集合 A、B以及 A到B的对应法则 f )叫做集 合A到集合B的映射。 记作:f:A ? B

象、原象
给定一个集合A到集合B的映射,且a属于A, b属于B,如果元素a和元素b对应,则元素b叫 做元素a的象,元素a叫做元素b的原象.

说明

1、映射三要素:二个集合 (即象集、原象集)、
一 种对应关系,三者缺一不可 2、集合 A中的元素一定有象,且唯一; 3、集合 B中的元素不一定有原象,即使有也未必唯一; 4、 A、B可以是数集,也可以是点集或其他集合; 5、 A到B 的映射与B 到A 的映射是两个不同的映射。

例2、下面的对应是不是映射?


1 4

开平方


1 -1 -2 2 -3 3

A

除以3



9
( 1)

6 8 9
( 2)

2 3

练习1、 下列对应是不是A到B的映射?

(1) A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,7,8,9} f:乘2加1
(2) A=N+,B={0,1} f: x 除以2得的余数

(3) A=R+,B=R,f:求平方根
(4) A={x|0≤ x<1},B={y|y≥1} f:取倒数 解(1) 是 (2) 是

(3)不是

B中有两个元素与A中一个元素对应。

(4) 不是 A中元素0在B中无元素与之对应。

思考:如果以对应来说,什么样的对应才是一个映射?

一对一,多对一是映射;一对多显然不是映射.

函数与映射的区别和联系

函数是一种特殊的映射,是从非空数集到非空 数集的映射。 函数也可叙述为:设A,B是两个非空数集,f是A 到B 的一个映射,那么映射f:A→B称为A到B的函数
函数中原象集合称为定义域,象的集合称为值域

特殊的映射——一 一映射 它满足下列条件 1.A中每一个元素在B中都有唯一的象与之对应; 2.A中的不同元素的象也不同; 3.B中的每一个元素都有原象。

练习2、判断下列对应是否映射,一 一映射?

a b
c (A)

d e
f

a b
c (B)

e f
g
d

a b
c
d

e f
g (C)

解: (A)是映射,并是一一映射; (B)是映射,不是一一映射;
(C)不是映射,因为元素d没有象。

小结:
映射的概念,特征,三要素; 一一映射的概念,与映射的区别 函数与映射的区别联系


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