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计算方法习题2,3,4.5


计算方法习题
第二章
2.1 试构造收敛的迭代公式求解下列方程 (1) x ?

cos x ? sin x 4
3 2

(2) x ? 4 ? 2

x

2.2 方程 x ? x ? 1 ? 0 在 x ? 1.5 附近有根,把方程写成三种不同的等价形式: (1) x ? 1 ?

1 1 ,对应迭代公式 xk ?1 ? 1 ? 2 2 xk x
1
2

(2) x ? 1 ? x ,对应迭代公式 xk ?1 ? ?1 ? xk ? 3
3

(3) x ?
2

1 ,对应迭代公式 xk ?1 ? x ?1

1 xk ? 1

判断以上三种迭代公式在 x0 ? 1.5 的收敛性, 选一种收敛公式求出 x0 ? 1.5 附近的根到 4 位 有效数字。 2.3 已知 x ? ? ( x) 在 ? a , b ? 上一阶可微,且 ?x ? ? a, b ? ,有 ? ?( x ) ? 3 ? 1 ,试构造一个局 部收敛于 x 的迭代公式。
?

2.4 用 Newton 迭代法求方程 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 7 ? 0 在[3,4]中根的近似值。
3 2

第三章
3.1 设有方程组

? a11 x1 ? a12 x2 ? b1 ? ?a21 x1 ? a22 x2 ? b2

a1 1, a 2 ? 0 2

求证:利用 Jacobi 迭代方法计算上述方程组的所获的迭代序列 X

?

(k )

? 收敛的充要条件是

a12 a21 ?1 a11 a22

3.2 用选列主元 Gauss 消元法求解方程组

? 3 x1 ? x2 ? 4 x3 ? 7 ? 1 ?? x1 ?2 x2 ?2 x3 ? ? ? 2 x ? 3x ? 2 x ? 0 2 3 ? 1
3.3 用选主元消元法计算下列行列式

1 2 6 3 2 4 9 5 1

第四章
4.1 证明拉格朗日插值公式可表为

Ln ( x) ? ? ( x)?
i ?0

0

f ( xi ) ( x ? xi )? ?( xi )

其中 ? ( x) ?

? (x ? x )
k ?0 k

n

4.2 证明 (1)

?l
k ?0 n

n

k

( x) ? 1

(2)

?x l
k ?0

j k k

( x) ? x j , j ? 1, 2,?, n

4.3 给出概率积分 f ( x) ? x f(x)

2

?

?

x

0

e? x dx 的数据表
2

0.46 0.4846555

0.47 0.4937452

0.48 0.5027498

0.49 0.5116683

试用二次插值计算 f(0.472)。 4.4 构造适合下列数据表的三次样条插值函数 S(x) x y y’ -1 -1 4 0 1 1 3 3 31 28

4.5 用最小二乘法求一个形如 y ? a ? bx 2 的经验公式,使与下列数据相拟合 x y 19 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 41 97.8

第五章
5.1 已知数据表

x
ex

1.1 3.0042

1.3 3.6693

1.5 4.4817

试分别用 Simpson 法和复化梯形法计算积分

?

1.5

1.1

e x dx 。

5.2 用 Romberg 方法计算积分

? 1? x
0

1

4

2

dx ,要求相邻两次 Romberg 值的偏差不超过 10-5。

5.3 分别用 Simpson 公式与三点 Gauss 公式计算积分

?

1

?1

x2 cos xdx 。


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