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高中数学第一章集合与函数测试题及答案[1]


集合 A = {x | ?2 < x < 2}, B = {x | ?1 ≤ x < 3} ,那么 A ∪ B = A、 {x | ?2 < x < 3} B、 {x |1 ≤ x < 2} C、 {x | ?2 < x ≤ 1}





D、 {x | 2 < x < 3} ( ) D、 {0,1}

若集合 M = {?1, 0,1, 2}, N = {x | x( x ? 1) = 0} ,则 M ∩ N =
{ A、?1, 0,1, 2}

B、 2} {0,1,

C、?1, 0,1} { ( )

满足条件 M ∪ {1} = {1, 2, 3} 的集合 M 的个数是 A、4 B、3 C、2

D、1

设集合 A = {x ∈ Z | ?10 ≤ x ≤ ?1}, B = {x ∈ Z | x ≤ 5} ,则 A ∪ B 中元素的个数 是( A、11 ) B、10 C、16 ( ) C、 ∈ P ? D、0} ? P { ) D、15

如果集合 P = {x x > ?1},那么
0 A、 ? P

B、0}∈ P {

设全集 U = {a, b, c, d } ,集合 M = {a, c, d }, N = {b, d } ,则 (?U M ) ∩ N =( A、{ b } B、{ d } C、{ a, c }

D、{b, d } )

设全集 U = {1,2,3,4,5,6}, 集合 A = {1,2,3,}, B = {2,4,5} , ?U ( A ∩ B)等于 则 ( A、 {2} B、 {6} C、 {1,3, 5,} 4,6 D、 {1,4,5} 3,

设 全 集 S = {1, 2,3, 4, 5, 6, 7} , 集 合 A = {1,3,5, 7} , 集 合 B = {3,5} , 则 ( ) B、 = ( ?S A) ∪ B S C、 = A ∪ ( ?S B ) S D、 = ( 痧A) ∪ ( S B ) S S ) D、4

A、 S = A ∪ B

已知集合 A = {1, 2,3, 4} ,那么 A 的真子集的个数是( A、15 B、16 C、3

13、 已知集合 M = {( x, y ) | x + y = 2}, N = {( x, y ) | x ? y = 4} , 那么集合 M ∩ N 为 ( )

A、x = 3, y = ?1

B、(3, ?1)

C、{3, ?1}

D、{(3, ?1)} ) D、{4}

15、若 U = {1, 2, 3, 4}, M = {1, 2}, N = {2,3} ,则 ?U ( M ∪ N ) = ( A、{1, 2,3} B、{2} C、{1,3, 4}

16、设集合 P = {1, 2,3, 4, 5, 6}, Q = {x ∈ R | 2 ≤ x ≤ 6} ,那么下列结论正确的 是( ) B、P ∩ Q ? Q C、P ∪ Q = Q D、P ∩ Q ? P

A、P ∩ Q = P

17、设全集是实数集 R, M = {x | ?2 ≤ x ≤ 2} , N = {x| x < 1} ,则 ?R M ∩ N 等于( ) A、 {x| x < ?2} B、 {x|?2 < x < 1} C、 {x| x < 1} D、 {x|?2 ≤ x < 1}

18、已知集合 M = {x | x ? a = 0}, N = {x | ax ? 1 = 0} ,若 M ∩ N = N ,则实数 a 等于( )

A、1 B、 ?1 C、1 或 ?1 D、1 或 ?1 或 0 19、已知集合 A = {x | x ≤ 2, x ∈ R}, B = {x | x ≤ a}, 且 A ? B, 则实数 a 的取值 范围是 20、设集合 A = {5, (a + 1)} ,集合 B = {a, b} 。若 A ∩ B = {2} ,则 A ∪ B = 21、设集合 M = {x | ?1 ≤ x < 2}, N = {x | x ≤ a} ,若 M ∩ N ≠ ? ,则 a 的取值 范围是 22、增城市数、理、化竞赛时,高一某班有 24 名学生参加数学竞赛, 28 名学生参加物理竞赛,19 名学生参加化学竞赛,其中参加数、理、 化三科竞赛的有 7 名,只参加数、物两科的有 5 名,只参加物、化两 科的有 3 名,只参加数、化两科的有 4 名。若该班学生共有 48 名, 问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名? (二)映射与函数 一、选择题:1.下列对应是从集合 A 到集合 B 的映射的( A.A=R,B={x|x>0 且 x∈R},x∈A,f:x→|x| )

B.A=N,B=N+,

A=Q, x∈A, x→|x-1| C. f: A={x|x>0 且 x∈R}, B=R, x∈A, x→x2D. f:

B=Q,f:x→

1 x

2.已知映射 f:A B,其中集合 A={-3,-2,-1,1,2,3,4}, 集合 B 中的元素都是 A 中的元素在映射 f 下的象,且对任意的 a∈A,在 B 中和它对应的元素是|a|,则集合 B 中的元素的个数 是( )A.4 B.5 C.6 D.7 3.设集合 A 和 B 都是自然数集合 N,映射 f:A→B 把集合 A 中的 元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n+n,则在映射 f 下,象 20 的原 象( A.2 ) B.3
2x + 3

C.4

D.5

5.函数 y= 2 x ? 3 的值域() A.(-∞,-1 )∪(-1,+∞) B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞, 0 )∪(0,+∞) D.(-∞,0)∪(1,+∞) )
? x, x ∈ (0,+∞) ?? x, x ∈ (?∞,0)

6.下列各组中,函数 f(x)和 g(x)的图象相同的是 ( A.f(x)=x,g(x)=( x )2 C.f(x)=|x|,g(x)= x 2 B.f(x)=1,g(x)=x0 D.f(x)=|x|,g(x)= ? (

7.函数 y= 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的定义域为 1≤x≤1}B.{x|x≤-1 或 x≥1}C.{x|0≤x≤1} A.(-1,0)B.[-1,1]C.(0,1)D.[0,1] 10.函数 y=2- ? x 2 + 4 x 的值域是 12.已知函数 f( A.f(x)=x2
x +1)=x+1,则函数

) A . {x| - )

D.{-1,1}

8.已知函数 f(x)的定义域为[0,1],则 f(x2)的定义域为( ( ) )

f(x)的解析式为(

B.f(x)=x2+1(x≥1) D.f(x)=x2-2x(x≥1) 中元素 y=3x _, k =__ _______. .

C.f(x)=x2-2x+2(x≥1)

二、填空题:13.己知集合 A ={1,2,3,k} ,B = {4,7,a4,a2 +3a},且 a∈N*,x∈A,y ∈B,使 B +1 和 A 中的元素 x 对应,则 a=__ 15.设 f(x-1)=3x-1,则 f(x)=__

三、解答题:17. (1)若函数 y= f(2x+1)的定义域为[ 1,2 ],求 f (x)

的定义域. 2) ( 已知函数 f(x)的定义域为 [- 1 ,3 ] 求函数 g(x)=f(3x) , +f( x )的定义域. 18. (1)已 f ( )=
3 2 2

x+1 (2) y = x ? 1 ? 2 x x?1 21.如图,动点 P 从单位正方形 ABCD 顶点 A 开始,顺次经 B、C、 D 绕边界一周,当 x 表示点 P 的行程,y 表示 PA 之长时,求 y 关于 x 5 的解析式,并求 f( )的值. 2 22.季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始 时定价为 10 元,并且每周(7 天)涨价 2 元,5 周后开始保持 20 元的 价格平稳销售;10 周后当季节即将过去时,平均每周削价 2 元,直 到 16 周末,该服装已不再销售.
19.求下列函数的值域: (1)y = (1)试建立价格 P 与周次 t 之间的函数关系式.(2)若此服装每件进 t∈[0, t∈N*, 16], 价 Q 与周次 t 之间的关系为 Q=-0.125(t-8)2+12, 试问该服装第几周每件销售利润 L 最大?

且有 f [f(x)]=9x+8,求此一次函数的解析式.

1 x

x ,求 1? x

f(x)的解析式.(2)已知 y=f(x)是一次函数,

参考答案一、 一 选择题: CACBB 选择题: <f(-1)

CDBAC

CC 二、 填空题: 13.a=2, k=5, 14.12 , 15.3x+2, 16.f(1)<f( 填空题:

3)

(1)f(2x+1)的定义域为[1,2]是指 x 的取值范围是[1,2], 三、解答题:17.解析: 解答题:

1 ≤ x ≤ 2,∴ 2 ≤ 2 x ≤ 4,∴ 3 ≤ 2 x + 1 ≤ 5,∴ f ( x) 的定义域为[3, (2) 5] ∵f(x)定义域是 [-
3 ? 1 ? 1 ?? 2 ≤ 3 x ≤ 2 ?? 6 ≤ x ≤ ? ? 即? ?∴g(x)中的 x 须满足 ? 1 x 3 ?? ≤ ≤ ?? 3 ≤ x ≤ ? 2 3 2 ? 2 ? ? 1 1 , ]. 6 2 1 2 9 2 1 1 ≤x≤ 6 2

1 3 , ] 2 2

∴?

∴g(x)的定义域为[-

1 1 1 1 1 18.解析: (1)设 t = , 则x = 代入, 得f (t ) = t = , ∴ f ( x) = x ? 1 (x≠0 且 x≠1) 1 t ?1 x t 1? t
(2)设 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=9x+8

?a 2 = 9 ?a = 3或 ? 3 ∴? ?? ,∴ f ( x)的解析式为f ( x) = 3x + 2或f ( x) = ?3x ? 4 19 ab + b = 8 ?b = 2或 ? 4 ?
1 1 1 ? ( x ? ) 2 ,∵ 1 ≤ x ≤ 3,∴ 0 ≤ y ≤ . (2)可采用 4 2 4 x +1 2 2 分离变量法. y = = 1+ , ∵ ≠ 0,∴ y ≠ 1 ∴值域为{y|y≠1 且 y∈R.}(此题也 x ?1 x ?1 x ?1 1 2 1 可 利 用 反 函 数 来 法 ) ( 3 ) 令 u = 1 ? 2x ( u ≥ 0 ) , 则 x = ? u + , 2 2 1 1 1 1 y = ? u 2 ? u + = ? (u + 1)2 + 1 , 当 u ≥ 0 时, y ≤ ,∴函数 y = x ? 1 ? 2 x 的值 2 2 2 2 1 b 域为 ( ?∞, ] .20.解析: (1)设 f(x)=ax,g(x)= ,a、b 为比例常数,则 ? (x)=f(x)+g(x)=ax x 2
.解析: (1)由 y=-x2+x ? y =

? 1 ?1 ?a = 3 b 5 ?? ( ) = 16, ? a + 3b = 16 + 由? 3 得? 3 ,解得 ? ∴ ? (x)=3x+ ,其定义域为(-∞, x x ?b = 5 ?? (1) = 8 ?a + b = 8 ? ?
0)∪(0,+∞)(2)由 y =3x+

5 ,?得 3x2-yx+5=0(x≠0)∵x∈R 且 x≠0,?∴?=y2-60≥0, x

∴y≥2 15 或 y≤-2 15 ∴ ? (x) 的值域为(-∞,-2 15 ] ∪[2 15 ,+∞)
21.解析:当 P 在 AB 上运动时,y =x,0≤x≤1,当 P 在 BC 上运动时,y= 当 P 在 CD 上 运 动 时 , y=

1 + ( x ? 1) 2

,1<x≤2

1 + (3 ? x) 2

, 2 < x≤3 当 P 在 DA 上 运 动 时 , y=4 - x , 3 <

x≤4∴y=

?x ? 2 ? 1 + ( x ? 1) ? ? 1 + (3 ? x) 2 ? ?4 ? x

( 0 ≤ x ≤ 1) (1 < x ≤ 2) (2 < x ≤ 3) ( 3 < x ≤ 4)

∴f(

5 2

)=

5 2

22 . 解 析 : (1)P =

?10 + 2t ? ?20 ?40 ? 2t ?

t ∈ [0,5)且t ∈ N * t ∈ [5,10]且t ∈ N * t ∈ [10,16]且t ∈ N *
8

(2)因每件销售利润=售价-进价,即 L=P-Q 故有:当 t∈[0,5)且

t∈N*时,L=10+2t+0.125(t-8)2-12= 1 t2+6 即,当 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[5,10)时 t∈N*时,L =0.125t -2t+16 即 t=5 时,Lmax=9.125 当 t∈[10,16]时,L=0.125t2-4t+36 即 t=10 时,Lmax=8.5 由以上得,该服装第 5 周每件销售利润 L 最大.
2

(三)函数的基本性质
一、选择题:1.在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是(



A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y= D.y=2x2+x+1 2. 函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间 [-2, +∞] 上是增函数, 在区间(- ∞,-2)上是减函数,则 f(1)等于( A.-7 B.1 C.1D.25 )

2 x

3.函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( A.(3,8) 4.函数 f(x)= 围是 A.(0, )
1 2

) D.(0,5)

B.(-7,-2) C.(-2,3)

ax + 1 在区间(-2,+∞)上单调递增,则实数 a 的取值范 x+2



) B.(
1 ,+∞) C.(-2,+∞) 2

D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 5.已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( A.至少有一实根 C.没有实根 ) B.至多有一实根 D.必有唯一的实根 )

如果 g(x)=f( 2-x2 ), 那么函数 g(x) ( 6. 已知函数 f(x)=8+2x-x2, A.在区间(-1,0)上是减函数 C.在区间(-2,0)上是增函数

B.在区间(0,1)上是减函数 D.在区间(0,2)上是增函数

7.已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,-1)、B(3,1)是其图象上的 两点,那么不等式 |f(x+1)|<1 的解集的补集( )

A.(-1,2) C.(-∞,-1)∪[4,+∞)

B.(1,4) D.(-∞,-1)∪[2,+∞)

8.已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间(-∞,5)上单调递减,对任意 实数 t,都有 f(5+t)=f(5-t),那么下列式子一定成立的( A.f(-1)<f(9)<f(13) C.f(9)<f(-1)<f(13) B.f(13)<f(9)<f(-1) D.f(13)<f(-1)<f(9) ) )

9.函数 f ( x) =| x | 和g ( x) = x(2 ? x) 的递增区间依( A. (?∞,0], (?∞,1] C. [0,+∞), (?∞,1] B. (?∞,0],[1,+∞) D [0,+∞), [1,+∞)

10.已知函数 f ( x ) = x 2 + 2 ( a ? 1) x + 2 在区间(? ∞,4] 上是减函数,则实数 a 的取 值范围是( A.a≤3 ) B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3

11.已知 f(x)在区间(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R 且 a+b≤0,则下 列不等式中正确的是( )

A.f(a)+f(b)≤-f(a)+f(b)] B. f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)C. f(a) +f(b)≥-f(a)+f(b)] D.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)

12.定义在 R 上的函数 y=f(x)在(-∞,2)上是增函数,且 y=f(x+2)图象的对 称轴是 x=0,则 ( )

A.f(-1)<f(3) B.f (0)>f(3) C.f (-1)=f (-3) D.f(2)<f(3) 二、填空题: 13.函数 y=(x-1)-2 的减区间是___ 14.函数 y=x-2
1? x

_. ___.

+2 的值域为__

15 、 设 y = f ( x ) 是 R 上 的 减 函 数 , 则 y = f ( x ? 3 ) 的 单 调 递 减 区 间 为 .

16、函数 f(x) = ax2+4(a+1)x-3 在[2,+∞]上递减,则 a 的取值范 围是__ 三、解答题: 17.f(x)是定义在( 0,+∞)上的增函数,且 f( ) = f(x)-f(y) (1)求 f(1)的值. (2)若 f(6)= 1,解不等式 f( x+3 )-f( ) <2 . 18.函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它 在 R 上是增函数还是减函数?试证明你的结论. 19.试讨论函数 f(x)= 20.设函数 f(x)=
1? x2



x y

1 x

在区间[-1,1]上的单调性. a 取什么值时,函

x 2 + 1 -ax,(a>0),试确定:当

数 f(x)在 0,+∞)上为单调函数. 22.已知函数 f(x)= x
2

+ 2x + a x

,x∈[1,+∞](1)当 a= 1 时,
2

求函数 f(x)的最小值;(2)若对任意 x∈[1,+∞ ) ,f(x)>0 恒成 立,试求实数 a 的取值范围

一、选择题: CDBBD ADCCA BA 选择题:
1 二、填空题:13. (1,+∞), 14. (-∞,3),15. [3, +∞ ) , ? ? ∞,? ? 填空题 ? ? ? 2?

三、解答题:17.解析:①在等式中 令x = y ≠ 0 ,则 f(1)=0.②在等式 解答题: 中令 x=36,y=6 则
36 f ( ) = f (36) ? f (6),∴ f (36) = 2 f (6) = 2. 6

故原不等式为:

1 f ( x + 3) ? f ( ) < f (36), 即 f[x(x+3)]<f(36),又 f(x)在(0,+∞)上为增函 x

?x + 3 > 0 ?1 153 ? 3 数,故不等式等价于: ? > 0 ?0< x< . 18.解析: f(x) ? 2 ?x ?0 < x( x + 3) < 36 ?

在 R 上具有单调性,且是单调减函数,证明如下:设 x1、x2∈(-∞, +∞), x1<x2 ,则 f(x1)=-x13+1, f(x2)=-x23+1.f(x1)-f(x2)=x23 -x13=(x2-x1)(x12+x1x2+x22)=(x2-x1)[(x1+ ∴x2-x1>0 而(x1+
x2 2 ) + 3 x22] .∵x1<x2, 2 4

x2 2 ) + 3 x22>0,∴f(x1)>f(x2).∴函数 2 4

f(x)=-x3

+1 在(-∞,+∞)上是减函数.19.解析: 设 x1、x2∈-1,1]且 x1 < x2 , 即 - 1≤x1 < x2≤1 . f(x1) - f(x2)=
1 ? x2
2

1 ? x1

2



=

(1 ? x1 ) ? (1 ? x 2 )
2 2

1 ? x1 + 1 ? x 2
2 2

2

=

( x 2 ? x1 )( x 2 + x1 ) 1 ? x1 + 1 ? x 2
2 2

∵x2 - x1 > 0 ,

1 ? x1 + 1 ? x 2
2

>0, ∴当 x1>0,2>0 时,1+x2>0, x x 那么 f(x1)>f(x2). 当
1? x2

x1<0,x2<0 时,x1+x2<0,那么 f(x1)<f(x2).故 f(x)= [-1,0]上是增函数,f(x)=
1? x2

在区间

在区间[0,1]上是减函数.20.
x1 + 1 - x 2 + 1
2 2

解析:任取 x1、x2∈0,+ ∞ ) 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= - a(x1 - x2)=
x1 ? x 2
2 2 2 2

x1 + 1 + x 2 + 1

- a(x1 - x2)=(x1 - x2)( <1,

x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2



a)(1)当 a≥1 时,∵

x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2

又∵x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2)∴a≥1 时,函数 f(x) 在区间[0,+∞)上为减函数.(2)当 0<a<1 时,在区间[0,+∞] 上存在 x1=0,x2=
2a 1? a2

,满足 f(x1)=f(x2)=1∴0<a<1 时,f(x)在[0,

+ ∞ ) 上不是单调函数注: ①判断单调性常规思路为定义法;②变形 过程中
x1 + x 2 x1 + 1 + x 2 + 1
2 2

<1 利用了

x1 + 1 >|x1|≥x1; x 2 + 1 >x2; ③从
2 2

a

的范围看还须讨论 0<a<1 时 f(x)的单调性,这也是数学严谨性的体 现. 21.解析: ∵f(x)在(-2,2)上是减函 .

(三)函数奇偶性 8.若 A. C. ,且 且 为奇函数 ,则函数 B. D. ( 且 ) 为偶函数

为增函数且为奇

为增函数且为偶函数 ) B. D.

7.下列函数中,定义域为[0,∞]的函数是( A. C. 12、设偶函数 , A C. , 的定义域为 R,当 的大小关系是(

时, ) B.

是增函数,则

D.

已知 f{x}是定义在{-2,2}上的奇函数,且在{-2,2}上单调递减,并且 f{m-1}+f{2m-1}>0,则实数 m 的取值范围为________. 判断函数 f(x)=[(a^x) -1] / [(a^x)+1](a〉0,a≠1)的奇偶性,说明理由


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