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广东省深圳市南山区2014届高三上学期期末考试数学(文)试卷


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南山区高 三 期 末 考 试 文 科 数 学

2014.01.08

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项:
1、答卷前,考生首先检查答题卡

是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自 己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用 2B 铅笔填涂相应的信息 点. 2、选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3、非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每 题答题空间,预先合理安排、如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案、不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4、考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损、考试结束后,将答题卡交回. 5、考试不可以使用计算器.

参考公式:独立性检验中的随机变量: K 2 =
量; 参考数据:

n(ad ? bc)2 ,其中 n=a+b+c+d 为样本容 (a + b)(c + d)(a + c)(b + d)

P(K≥k0) k0

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

第Ⅰ卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的,请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上 . .................. 1、已知全集 U=R,集合 P={x|x2≤1},那么?UP= A、(-∞,-1) B、(1,+∞) C、(-1,1) D、(-∞,-1)∪(1,+∞) 2、计算:

(2 ? i)(1 ? i) 2 ? 1 ? 2i

A、2 B、-2 C、2i D、-2i 3、下列函数中是偶函数,且又在区间(-∞,0)上是增函数的是 A、y=x2 B、y=x-2 C、 y ? ( ) ?|x|

1 4

D、 y ? log3 x 5

6

4、下列命题中的假命题是 A、?x∈R,x3<0 B、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件 C、?x∈R,2x>0 D、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件

2) , b ? (x, 1) ,且 (a ? 2b) //(2a ? b) ,则 x 的值为 5、已知 a ? (1,
A、1 B、2 C、

?

?

?

?

? ?

1 3

D、

1 2

6、已知 a,b,c 分别是△ABC 中角 A,B,C 的对边,且 A=60o,c=3b,

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a 的值为 c 3 5
B、

A、

6 3

C、

7 3

D、

5 3

?x ? 3 ? 2y ? x ? 7、已知 x,y 满足 ? ,则 z=2x-y 的最大值是 3x ? 2y ? 6 ? ? ?3y ? x ? 9
A、

15 2

B、

9 2

C、

9 4

D、2

8、点 P 是抛物线 y2=4x 上一动点,则点 P 到点 A(0,-1)的距离与到直线 x=-1 的距离和的最小值 是 A、 2 B、 3 C、2 D、 5 9、若对任意 a,b∈A,均有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭集合,下面正确的是 A、集合{-4,-2,0,2,4}为闭集合 B、集合{n|n=3k,k∈Z}为闭集合 C、若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合 D、闭集合 A 至少有两个元素

x 2 y2 10、双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1,F2,以过 F1 作倾斜角为 30o 的直线交双 a b
曲线的右支与 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为 A、 3 B、

3 3

C、

5 3

D、 6

第Ⅱ卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡上 . ......... (一)必做题:(11~13 题): 11、已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+n,(n∈N*),则 an=______. 12、如果执行右图程序框图,那么输出的 S=______. 是 i>5 结束 输出 S 否 13、命题“若空间两条直线 a,b 分别垂直平面 α,则 a∥b”,学生小夏这样证明:设 a,b 与平面 α 相交于 A,B,连结 A、B, ∵a⊥α,b⊥α,AB?α,…… ① ∴a⊥AB,b⊥AB, ……② ∴a∥b. ……③ 这里的证明有两个推理,即①?②和②?③,老师评改认为小夏的证明推理不正确,这两个推理中 不正确的是_________. (二)选做题:(14~15 题,考生只能从中选做一题): 开始 i=1,S=1 i=i+1 S=2(S+1)
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14、(坐标系与参数方程选做题) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? (α 为参数),以 O 为极点,x 轴的正半轴 ? y ? 1 ? sin ?

为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________________. A 15、(几何证明选讲选做题) 如图,在四边形 ABCD 中,EF∥BC,FG∥AD, F E D EF FG 则 ? ? __________. BC AD C B 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其中有 3 名女工人,现在采用分层 抽样方法(层内采用不放回的简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 人进行考核. (1)求甲、乙两组各抽取的人数; (2)求从甲组抽取的工人中恰有又 1 名女工的概率; (3)令 X 表示抽取的 3 名工人中男工人的人数,求 X 的分布列及数学期望.

17、(本小题满分 12 分) 如图所示,设 A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、第二象限. C 是圆 O 与 x 轴正半轴 的交点,△ABC 为等边三角形.记以 Ox 轴正半轴为始边,射线 OA 为终边的角为θ . (1)若点 A 的坐标为 ( , ) ,求

(2)设 f (?) ?| BC | ,求函数 f(θ )的解析式和值域.
2

??? ?

3 4 5 5

sin 2 ? ? sin 2? 的值; co s 2 ? ? co s 2?

18、(本小题满分 14 分) 如图所示,已知斜三棱柱(侧棱不垂直底面)A1ACC1 与底面 ABC 垂直, BC=2, AC ? 2 3 , AB ? 2 2 , AA1 ? A1C ?

6.

(1)求侧棱 B1B 在平面 A1ACC1 上的正投影的长度; (2)设 AC 的中点为 D,证明:A1D⊥底面 ABC; (3)求侧面 A1ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值. A1 B1 C1
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19、(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

x 2 y2 3 0) . ,其左焦点为 F(? 3, ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 D(1,0),直线 l:y=kx+m(k≠0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,若 △DAB 是以 AB 为底边的等腰三角形,试求 k 的取值范围.

20、(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ?

x (x>0),数列{an}满足 a1=0.5,an+1=f(an)(n∈N*). 1? x

(1)求 a2,a3 的值; (2)证明数列 {

1 } 是等差数列并求出数列{an}的通项公式; an

(3)设 b n

?

1 ? ? 1 (n∈N*),求证:b1+b2+……+ bn<5. ( ? 1)( ? 2) ? an an 4

=

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21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f (x) ?

x ? k (k 为常数,e=2.71828 是自然对数的底数). ln x ln x )在 x∈(1,+∞)上的零点个数(只要求写出结果); x

(1)求函数 f(x)的单调区间; (2)探究函数 g(x) ? f (x) ? (3)若函数 h(x) ?

f 2 (x) ? e 2k (k>2,x>1),求函数 h(x)的最小值. f (x)

高三数学(文)参考答案及评分标准 2014.1.8
一、选择题:(8×5′=40′) 1 2 题号 D A 答案 3 B 4 D 5 B 6 C
·5 ·

7 A

8 B

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二、填空题:(6×5′=30′) 9、2n; 10、94; 13、 3 ; 14、ρ =2sinθ ; 三、解答题:(80′) 16、(本题满分 12 分) 解:(1)

11、②?③; 15、1.

12、0.5 ;

3 3 ?10 = 2 , ×5 = 1 , 15 15
……2 分
1 1 C1 8 4 C 6 C5 = . ……6 分 2 1 C10C5 15

答:从甲组抽取 2 名,从乙组抽取 1 名. (2)从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工的概率为 (3)X 可取值:0,1,2,3,

P(X = 0) =

1 1 1 1 2 C2 C1 2 28 4 C3 6 C 4 C3 + C 2 C 4 = P(X = 1) = = , , 2 1 2 1 C10 C5 25 C10 C5 75

2 1 1 1 2 1 C6 C3 + C1 C6 C 31 2 2C6C 4 P(X = 2) = = = , , P(X = 3) = 2 2 2 1 1 C10 C5 75 C10 C5 15

X 的分布列为: X P 0 1 2 3

2 25

28 75

31 75

2 15
……10 分

E(X) ? 0 ?

2 28 31 2 8 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 25 75 75 15 5 . 3 5 4 5

……12 分

17、(本题满分 12 分) 解:(1)因为点 A 的坐标为 ( , ) ,故 sin ? ?

4 3 , cos ? ? ,……3 分 5 5
……6 分

所以

sin 2θ + sin2θ sin 2θ + 2sinθcosθ = = 20 . cos 2θ + cos2θ 2cos 2θ ? sin 2θ

(2)因为以 OA 为终边的角是 ? ,且△AOB 为等边三角形,所以以 OB 为终边的角为 θ + 的坐标是 (cos(θ + ),sin(θ + )) .……8 分 而 C(1,0).所以 f(θ) =| BC | = [cos(θ + ) ? 1] + sin (θ + )
2 2 2

π ,所以点 B 3

π 3

??? ?

π 3

π 3

π 3

π = 2 ? 2cos(θ + ) . 3

……10 分

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因为点 A、B 分别在第一、二象限,所以 θ ? (2kπ + 所以 (θ + ) ? (2kπ +

π π , 2kπ + ) ,k∈z, 6 2
……11 分

π 3

π 5π , 2kπ + ) ,k∈z. 2 6

所以 cos(θ +

3 π , 0) ,所以 | BC |2? (2 ,2 + 3) . ) 的值域为 (? 2 3
……13 分

因此函数 f(θ) ?= 2 ? 2cos(θ + ) ,f(θ)的值域是 (2, 2 ? 3) .

π 3

……14 分

18、(本题满分 14 分) 解:(方法一)(1)∵ABC-A1B1C1 是斜三棱柱,∴BB1∥平面 A1ACC1,故侧棱 B1B 在平面 A1ACC1 上的 正投影的长度等于侧棱 B1B 的长度.……2 分又 BB1 = AA1 = 故侧棱 B1B 在平面 A1ACC1 的正投影的长度等于 6 . (2)证明:∵ AC ? 2 3 , AA1 = A1C ?

6,
……3 分 C1 B1

6,

A1

∴AC2= A1A2+ C1A2, ∴三角形 AA1C 是等腰直角三角形, ……5 分 D 又 D 是斜边 AC 的中点,∴A1D⊥AC, A ……6 分 E ∵平面 A1ACC1⊥平面 ABC, B ∴A1D⊥底面 ABC, (3)作 DE⊥AB,垂足为 E,连 A1E, ∵A1D⊥面 ABC,得 A1D⊥AB.∴AB⊥平面 A1ED, 从而有 A1E⊥AB, ∴∠A1ED 是面 A1ABB1 与面 ABC 所成二面角的平面角. ∵BC=2, AC = 2 3 , AB = 2 2 ,∴AC2=BC2+AB2, ∴三角形 ABC 是直角三角形,AB⊥BC, ∴ED∥BC ,又 D 是 AC 的中点,BC=2, AC = 2 3 , ∴DE=1, A1D = AD = 3 , A1E = ∴ cos?A1ED =

C ……7 分 ……8 分 ……9 分

……10 分 ……11 分 ……12 分 ……13 分 ……14 分

A1D 2 + DE 2 = 2 ,

DE 1 = , A1E 2

即侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值为 0.5. (方法二)(1)同方法一 ;(2)同方法一.
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(3)∵BC=2, AC = 2 3 , AB = 2 2 ,∴AC2=BC2+AB2, ∴三角形 ABC 是直角三角形,过 B 作 AC 的垂线 BE,垂足为 E, 则 BE =

AB ? BC 2 ? 2 2 2 6 8 2 3 , EC = BC 2 ? BE 2 = 4 ? = , = = 3 3 AC 3 2 3

∴ DE = CD ? EC =

3?

2 3 3 , = 3 3

……8 分

以 D 为原点,A1D 所在的直线为 z 轴,DC 所在的直线为 y 轴,平行于 BE 的直线为 x 轴,建立空间 z 直角坐标系, A1 C1 , 0) , 如图所示,则 A(0,? 3 B1

A1 (0, 0, 3) , B(

2 6 3 , , 0) , 3 3
A x

???? ? A1A ? (0,? 3,? 3) ,

D B

E

C

y

???? ? 2 6 3 A1B ? ( , ,? 3) , 3 3

? ? ???? ? ? ?n ? A1A = 0 y, z) ,则 ? ? ???? 设平面 A1ABB1 的法向量为 n = (x, , ? n ? A B = 0 ? ? 1
?? 3y ? 3z = 0 ? ? ?z = ? y 即 ?2 6 ,化简得 ? 3 ? x+ y ? 3z = 0 ?2 2x + y ? 3z = 0 ? 3 ? 3
令x = 量.

? , 1) 是平面 A1ABB1 的一个法向 2 ,得 y=-1,z=1,所以 p = ( 2,? 1
……11 分

0, 1) , 由(1)得 A1D⊥面 ABC,所以设平面 ABC 的一个法向量为 q = (0,
……12 分 设向量 p 和 q 所成角为 θ,则 cosθ = ? ? =

?

?

?

? ? p?q p q

1 2 +1+1 ?1
2

=

1 , 2
……14 分

……13

分 即侧面 A1 ABB1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值为 0.5. 19、(本题满分 14 分)

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解:(1)由题意知,

c 3 , c = 3 ,∴a=2,b=1, = a 2

……1 分

所以,椭圆 C 的方程为

x2 + y2 = 1 . 4

……4 分

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),

? y = kx + m ? 由 ? x2 ,得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 2 ? + y =1 ?4
据△ >0,得 4k2+1>m2 (※), 有 x1 =

……6 分

……7 分

?8km + Δ ?8km ? Δ 8km , x2 = ,∴ x1 + x 2 = ? 2 , 2 2 2(4k +1) 2(4k +1) 4k +1

∴ x0 = ?

4km m , y0 = , 2 4k +1 4k 2 +1

……10 分

又由题意知,DM 垂直平分 AB,则 DM 的方程为:x=-ky+1,……11 分

4k 2 +1 将点 M 的坐标代入,得 m = ? , (☆) 3k
由(※),(☆)得, 4k +1 >
2

……12 分

(4k 2 +1)2 , 9k
……14 分

解得 k ? (??,?

5 5 ) U ( ,+ ?) 所求. 5 5

20、(本题满分 14 分) 解:(1)易求得 a 2 = (2)∵ f(x) =

1 1 , a3 = . 3 4

……2 分 ……3 分

a x (x ? 0) ,则 a n+1 = f(a n ) = n , 1+ a n 1+ x
……5 分 即



1 a n+1

=

1 ?1 , an

1 a n+1

?

1 = 1, an

……6 分

∴数列 {

1 } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, an

……7 分



1 1 = n +1 , 即 a n = . an n +1
·9 ·

……9 分

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(3)由(2)知,b1=4,

……10 分

bn =

1 n(n ? 1) + 1 4

?

1 1 1 = ? (n≥2), n(n ? 1) n ? 1 n
1 2 1 1 2 3

……12 分

则 b1 + b2 + b3 + ...+ b n < 4 + (1 ? ) + ( ? ) +... + (

1 1 ? ) n ?1 n
……14 分

= 5?

1 < 5 ,故 b1+b2+b3+…+bn<5. n

21、(本题满分 14 分) 解:(1)已知 f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞), f(x) =

lnx ? 1 . ……2 分 (lnx)2

令 f′ (x)>0,得 x∈(e,+∞),f′ (x)<0,得 x∈(0,1)、(1,e), ……3 分 ∴f(x)的单调增区间为(e,+∞);单调减区间为(0,1)、(1,e). ……5 分 (2)①当 k > ③当 k <

1 1 ? e 时,g(x)没有零点;②当 k = ? e 时,g(x)有一个零点; e e
……8 分

1 ? e 时,g(x)有两个零点. e

(3)设 F(k)=ek-e-k(k≥2), 则 F′(k)=ek-1>0, ∴F(k)在[2, +∞]上单调递增, ∴当 k>2 时, F(k)= F(2)= 2 k e -e-2>0,即当 k>2 时,e >e+k, ……10 分 由(1)知,当 x>1 时,f(x)≥f(e)=e+k, ……11 分

h(x) =

f 2 (x) + e 2k e 2k = f(x) + ? 2 e 2k = 2e k , f(x) f(x)

……13 分

当且仅当 f(x)= ek 时取等号,∴h(x)最小值为 2ek. 16、(本题满分 12 分) 解:(1)依题意得 ? =

三、解答题:(80′)
……2 分由 f(2π)=2,得

2π 2π 1 x π = ? ,∴ f(x) = Asin( + ) , T 6π 3 3 6 2π π 5π Asin( + ) = 2 ,即 Asin = 2 ,∴A=4, ……4 分 3 6 6 x π ∴ f(x) = 4sin( + ) . 3 6 16 1 π 16 (2)由 f(3α + π) = ,得 4sin[ (3α + π) + )] = , 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ,∴ cos? ? , 2 5 5 π 3 又∵ α ? [0, ] ,∴ sin? ? , 2 5 5π 20 1 5π π 20 由 f(3? + ) = ? ,得 4sin[ (3? + ) + )] = ? , 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ,∴ sinβ ? , 13 13
·10·

……5 分

……6 分 ……7 分

……9 分

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12 , 13 4 12 3 5 63 cos(α-β)= cosαcosβ+ sinαsinβ ? ? . ? ? ? 5 13 5 13 65
又∵ β ? [0, ] ,∴ cosβ ? 17、(本题满分 12 分) 解:(1) 甲班 乙班 合计 优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75

π 2

……10 分 ……12 分

总计 55 50 105 ……3 分

(2)根据列联表中的数据,得到

k=

105(10 ? 30 ? 20 ? 45)2 ? 6.109 ? 3.841 , 55 ? 50 ? 30 ? 75

……5 分

因此有 95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……6 分 (3)设“抽到 6 或 10 号”为事件 A,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(x,y). 所有的基本事件有(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、 (2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(2,6)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)、 (4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)、 (5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(5,5)、(5,6)、(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)、(6,6), 共 36 个. ……8 分 事件 A 包含的基本事件有:(1,5)、(2,4)、(3,3)、(4,2)、(4,6)、 (5,1)、(5,5)、(6,4),共 8 个, ……10 分 ∴ P(A) ?

8 2 ? , 39 9

……11 分

故抽到 6 或 10 号的概率是

C1 18、(本题满分 12 分) 解:(1)取线段 A1B1 中点 M,连结 C1M, ∵C1A1=C1B1,点 M 为线段 A1B1 中点, ∴C1M ⊥A1B. 又三棱柱 ABC-A1B1C1 为直三棱柱, ∴A1A⊥平面 C1A1B1,∴A1A⊥C1M, ∵A1A ∩A1B1= A1,∴C1M⊥ 平面 ADB1A1,C ∴ VC1 -ADB1A1 =

2 . 9

A1

……12 分 B1 M

1 (2a + a) ? 2a ? ? 3a = 3a 3 . 3 2
……5 分 C1

B ……2 分 D A B1 A1 E

(2)连结 BC1,B1C 交于点 E, 则点 E 是 B1C 的中点,连结 DE, 因为 D 点为 AB 的中点, 所以 DE 是△ABC1 的中位线, 所以 AC1∥DE, ……7 分 因为 DE? 平面 CDB1,AC1 ?平面 CDB1, C 所以 AC1∥平面 CDB1. ……9 分
·11·

B D A

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(3)因为 AC1∥DE, 所以∠EDB1 是异面直线 AC1 与 DB1 所成的角, 因为棱长为 2a,所以 DE = EB1 =

……10 分

2a , DB1 = 5a ,

取 DB1 的中点 F,连接 EF,则 EF⊥DB1,且 DE =

5 , 2

……12 分

所以 cos?EDB1 =

DF 10 , = DE 4

即异面直线 AC1 与 DB1 所成的角的余弦值为 19、(本题满分 14 分) 解:(1)由题意知,

10 . 4

……14 分

c 3 = , c = 3 ,∴a=2,b=1, a 2

……1 分

所以,椭圆 C 的方程为

x2 + y2 = 1 . 4

……4 分

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点 M(x0,y0),

? y = kx + m ? 由 ? x2 ,得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 2 ? + y =1 ?4
据△ >0,得 4k2+1>m2 (※), 有 x1 =

……6 分

……7 分

?8km + Δ ?8km ? Δ 8km , x2 = ,∴ x1 + x 2 = ? 2 , 2 2 2(4k +1) 2(4k +1) 4k +1

∴ x0 = ?

4km m , y0 = , 2 4k +1 4k 2 +1
4k 2 +1 , (☆) 3k

……10 分

又由题意知,DM 垂直平分 AB,则 DM 的方程为:x=-ky+1,……11 分 将点 M 的坐标代入,得 m = ? ……12 分

由(※),(☆)得, 4k +1 >

2

(4k 2 +1)2 , 9k
……14 分

解得 k ? (??,?

5 5 ) U ( ,+ ?) 所求. 5 5
·12·

20、(本题满分 14 分)

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供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

解:(1)易求得 a 2 = (2)∵ f(x) =

1 1 , a3 = . 3 4

……2 分 ……3 分

a x (x ? 0) ,则 a n+1 = f(a n ) = n , 1+ a n 1+ x
……5 分 即



1 a n+1

=

1 ?1 , an

1 a n+1

?

1 = 1, an

……6 分

∴数列 {

1 } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列, an

……7 分



1 1 = n +1 , 即 a n = . an n +1

……9 分

(3) ∵ [f(x)]' =

1 , (1+ x) 2

……10 分

∴函数 f(x)在点(n,f(n))(n∈N*)处的切线方程为:

y?

n 1 = (x ? n) , 1+ n (1+ x) 2
n n n2 ? = . 1+ n (1+ n) 2 (1+ n) 2

……11 分

令 x=0,得 b n =

……12 分

bn ? λ 2 λ2 2 ? ? n + λ (n +1) = (n + ) + λ ? ∴ 2 , an an 2 4
仅当 n=5 时取得最小值,只需

9 λ 11 ? ? ? ,解得-11<λ <-9, 2 2 2
……14 分

故λ 的取值范围为(-11,-9). 21、(本题满分 12 分)

1 1 时,f(x)的定义域为 ( , ? ?) , 2 2 1 ?2(x + )(x ? 1) 1 ' 2 又 f (x) = ? 2x = 1 1 x? x? 2 2 1 ∴ x ?( , 1) 时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 2 1 所以 f(x)的递增区间为 ( , 1) ,递减区间为(1,+∞). 2
解:(1)当 a = (2)当 x∈[1,2]时,x-a>0 恒成立,即 a<1;
·13·

……1 分

……2 分

……3 分 ……4 分 ……5 分

HLLYBQ 整理

供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

当 x∈[1,2]时, f ' (x) =

1 1 恒成立, ? 2x ? 0 恒成立,即 a ? x ? x ?a 2x
……6 分

又 x∈[1,2]时, 0 ? (x ? 所以 a ?

1 1 )min ? , 2x 2

……8 分 ……9 分

1 . 2

? y0 = x 0 ? (3)设切点为(x0,y0),则 ?f ' (x 0 ) = 1 , ? y = f(x ) 0 ? 0
所以 ln(x0-a)-x02=x0,且

……10 分

1 1 = 1+ 2x 0 ,即 x 0 ? a ? . x0 ? a 1? x0
……11 分

所以 ln

1 ? x 0 2 = x 0 ,所以 x 0 2 + x 0 + ln(1+ 2x 0 ) = 0 1+ 2x 0
2

(1+ 2x) 2 +1 1 ' > 0, 设 g(x)=x +x+ln(1+2x), x > ? ,则 g (x) = 1+ 2x 2
所以 g(x)在 (? ,? ?) 上为增函数,又 g(0)=0, 所以 g(x)=0 有唯一解 x=0,故 x0=0,于是 a=-1.

1 2

……13 分 ……14 分

·14·


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