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1.4.2 正弦、余弦函数的性质


1.4.2 正弦、余弦函数的性质(一)

X

1、周期性
?
?? ?

?

?? ?

?

? ?

1

?? ? ? ?

?? ?

??? ?

?? ??? ?

??? ? ?? ?? ?

?

-1

?? ?? ?

??

?? ?? ?

?? x

周期函数 :

对于函数f ( x), 若存在一个非零常数T , 使 得当x取定义域内的每一个值时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x)

称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.

sin(x ? 2k? ) ? sin x T ? 2k? (k ? Z , k ? 0)

若在周期函数f ( x)的所有周期中存在一个 最小的正数, 则这个最小正数就叫做f ( x)的最小 正周期.

正弦函数是周期函数,2k? (k ? Z , k ? 0)都 是它的周期, 最小正周期是2? ;
余弦函数是周期函数,2k? (k ? Z , k ? 0)都 是它的周期, 最小正周期是2? .

例1 求下列函数的周期 :

(1) y ? 3 cos x, x ? R; 若不加特别说明, 都指最小正周期. (2) y ? sin 2 x, x ? R; 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ), x ? R; 2 6 (4) y ? A sin( ?x ? ? ), x ? R.( A ? 0, ? ? 0)
y ? A sin( ?x ? ? ), x ? R.( A ? 0, ? ? 0) y ? A cos(?x ? ? ), x ? R.( A ? 0, ? ? 0) 2? T? ?

y = sin x ( x ? R ) 1 ?

y

?
?

-

-

-

- 3?

- 2?

-?

-

?

-1

o -

-

2?

3?

?
y = cos x ( x ? R ) 4?

1-

y

-

-

? o 2? 3? -1 例2 观察图象,写出满足下列条件的 x 的集合: (1) sinx > 0 (2) sinx = 0 (3) sinx < 0 - 3? - 2?

(4)sin2x>0 (6) cosx > 0

(5) sin (2x + ?/3) > 0 (7) cosx = 0 (8) cosx < 0

-

-?

4?

-

2、最大、最小值
正弦曲线:y ? sin x
?
?? ?

x?R
?
? ?

y
1

?

?? ?

?? ? ? ?

?? ?

??? ?? ??? ? ?

??? ? ?? ?? ?

?

-1

?? ?? ?

??

?? ?? ?

?? x

最高点: (

?
2

? 2k? ,1) k ? Z
x?R
??
?
?? ??? ?? ? ? ?

( 最低点: ?
y
1

?
2

? 2k? , ?1) k ? Z

y 余弦曲线: ? cos x
?
?? ??? ?? ? ? ?

???

?
? ?

??
?? ?? ?? ? ? ?? ?

?

? ?

-1

?? ?? ?

??

x

最高点: (2k? ,1) k ? Z

最低点:(? ? 2k? , ?1) k ? Z

练习: 1.下列各等式能否成立?说明理由。
(1) 2sinx = 3 (2) sin2x = 0. 5 (3) cosx = - ?/2 (4) sinx + cosx = 2 2. 已知 sinx = 1- 2m , 则 m 的取值范围是_________. 例2. 求使下列函数取得最大(小)值的 x 的集合, 并写出最大(小)值是多少?

(1) y = cosx +1
(4) y=3–5cos2x

(2) y = -3 sin2x

(3) y = 1- 2sinx

[小结]

(5) y= cosx (?/6?x?4?/3 ) 1 x (6) y = cos( - ? ) 2 2 6

1. sin(?x+?), cos(?x+?)与sinx, cosx 一样, 最大值最小值 都是 1、-1,但使函数取得这些值的 x 值却各不一样; 其求法是:换元法。 2. 注意: cos2x、sin2x ?[ 0、1]

练习:

1. (1)函数 y = a sinx– b 的最大值是____________________, 最小值是 ____________________.

(2)函数 y=asinx+b的最大值是3, 最小值是2,则a=__,b=__.

2.(1)求f(x)=sin2x-sinx+1的最大值、最小值及相应的x; (2)求f(x)=2cos2x+5sinx-4的最大值、最小值及相应的x ;

1.4.2 正弦、余弦函数的性质(二)

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
y=sinx (x?R) 图象关于原点对称

y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx
如果对于函数f(x)的定义域内的任意的一个x,都有f(-x)=-f(x) (或f(-x)=f(x)),则称f(x)为这个定义域内的奇函数(或偶函数), 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。

正弦、余弦函数的奇偶性
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

sin(-x)= - sinx (x?R)

y=sinx (x?R) 是奇函数 定义域关于原点对称

cos(-x)= cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

y=cosx (x?R) 是偶函数

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

例已知 f(x) = ax3+sinx+1,且 f(2) =7,则 f(- 2) = _____.

正弦函数的单调性
y
1 -3?
? 5? 2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=sinx (x?R)
? ? ?? ? ? +2k?, +2k?],k?Z 其值从-1增至1 增区间为 [[ ,2 ] 2 2 2 3? ? ? 3? 减区间为 [[ +2k?, +2k?],k?Z 其值从 1减至-1 , ] 2 2 2

余弦函数的单调性
y
1 -3?
5? ? 2

-2?

3? ? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

y=cosx (x?R)
增区间为 [ ?? +2k?, 2k?],k?Z 减区间为 [2k?, 2k? + ?], k?Z , 其值从-1增至1 其值从 1减至-1

例3 不通过求值,指出下列各式大于0还是小于0: (1) sin( ?
?

) – sin( ? 18
? ?

?

?
10

) 又 y=sinx 在[? )
, ] 上是增函数 2 2 ? ?

解:? ? 2 ? ? 10 ? ? 18 ? sin( ?
?
10

?
2

? ?

) < sin(?

?
18

即:sin(? 18 ) – sin(? 10 )>0

(2) cos(? 23? ) - cos(?
5

解: cos( ? 23? )=cos 23? 5 5 ?
0?

从而 cos(? 23? ) - cos(?
5

?

?

17? ) 4

=cos

3? 5

17? cos( ? 17? )=cos 4 4

=cos

? 4

?
4

?

3? ?? 5

又 y=cosx 在 [0, ? ] 上是减函数 即: cos
17? 4

cos

3? 5

<cos

? 4

3? 5

– cos

?
4

<0

) <0

例4 求下列函数的单调区间:
? (3) y=2sin(-x ) (2) y=3sin(2x- 4 ) (1) y=sin2x ? ? ? ? 3? ? k? ? ? x ? k? ? 解(2) 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? 2 4 2 8 8 ? ? 3? 3? 7? 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8

3? 所以: 单调增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8 3? 7? [ k? ? , k? ? ]( k ? Z ) 单调减区间为 8 8

?

y=2sin(-x ) = -2sinx 解(3): ? ? [ ? +2k?, +2k?],k?Z 上单调递减 函数在 ? 函数在 [
2 ? 2
2 3? +2k?, 2

+2k?],k?Z上单调递增

例求函数

? y = -| sin(x+ )| 4
4

的单调区间:

? 解: 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下:
y
1

y=|sinu|
? 2

?2?

?

3? 2

??

?

? 2

O -1

?

3? 2

2?

u

y=sinu y=- |sinu|

即: 增区间为 减区间为 ?

2 ? u ? [k? , k? ? ], k ? Z 2 3? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为增函数 4 4 ? ? x ? [k? ? , k? ? ], k ? Z y为减函数 4 4

u ? [k? ?

?

, k? ], k ? Z

正弦、余弦函数的对称性
正弦曲线:y ? sin x
?
?? ?

x?R
?
? ?

y
1

?

?? ?

?? ? ? ?

?? ?

??? ? ?? ??? ?

??? ? ?? ?? ?

?

-1

?? ?? ?

??

?? ?? ?

?? x

对称轴: x ?

?
2

? k? , k ? Z
x?R
??
?
? ?

对称中心: (k? ,0) k ? Z
y
1

y 余弦曲线: ? cos x
?
?? ??? ?? ? ? ?

???
?

?
? ?

??
?? ?? ?? ? ? ?? ?

?? ??? ?? ? ? ?

-1

?? ?? ?

??

x

对称轴: x ? k? , k ? Z

对称中心:(

?
2

? k? , 0) k ? Z

例求下列函数的对称轴和对称中心: (1) y ? sin 2 x x ? (2) y ? 2 cos( ? ) 2 3

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
小 结:
奇偶性 [? 正弦函数 奇函数 单调性(单调区间)
? ? +2k?, +2k?],k?Z 单调递增 2 2 ? 3? [ +2k?, +2k?],k?Z 单调递减 2 2

函数

余弦函数

偶函数

[ ?? +2k?, 2k?],k?Z [2k?, 2k? + ?], k?Z

单调递增

单调递减

求函数的单调区间: 1. 直接利用相关性质 2. 复合函数的单调性 3. 利用图象寻找单调区间


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