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高一数学平面与平面垂直的判定1


课题:平面与平面垂直的判定(新授课)
1.教学任务分析:通过教学活动, (1)使学生了解、感受二面角的概念,感受到生活中处处有数学、数学用途广泛 ,增强学数 学的兴趣. (2)在二面角的概念教学中,让学生体会以下几点: a.二面角的大小是用平面角来度量的. b.二面角的平面角的大小由二面角的两个面的位置唯一确定. c.平面角的两边分别在二面角的两个平面内,且两边都与二面角的棱垂直,由这个角所 确定的平面和二面角的棱垂直. (3)了解平面与平面垂直的定义,通过探究掌握平面与平面垂直的判定定理. (4)通过例题教学,探究确定二面角的平面角的方法,会求特殊二面角的大小. 2.教学难点、重点: (1)重点: 确定二面角,面面垂直判定定理的应用. (2)难点: 各种情景下确定二面角的平面角. 3.教学方式与手段: 采用“启发式” 、 “探究式” 、 “讲练结合”法. 借助多媒体电脑平台. 4.教学基本流程(总体设计): 从生活实例让学生感性认识二面角 ↓ 二面角的概念 ↓ 二面角的平面角 ↓ 定义两平面垂直 ↓ 面面垂直的判定 ↓ 应用、探究 ↓ 课堂小结、作业 5.页面设计(相应内容逐步演示): 课题:平面与平面垂直的判定 1.二面角概念 2.确定二面角的平面角的方法 3.平面与平面垂直的定义 4.平面与平面垂直的判定定理 5.应用举例

6.小结与作业 6.教学情景设计: 引言:通过前面的学习,同学们已经知道:空间几何问题一般从两方面去研究:(1)从“形” 去研究,即图形中点、线、面位置关系 ;(2)从“数量”去研究位置关系,即空间角与距离 . 这节课我们从“数”去研究两平面的位置关系. 课题:平面与平面垂直的判定(电脑屏幕显示课题) 问题 设计意图 师生活动 1. 利用课本 “修筑 1. 从实际背景出 教师通过结合问题 1 的两个例子, 实际 水坝、发射人造卫星” 发, 增加学生对二面角 上就是水坝面与水平面所成的角, 卫星轨道 两个实例,实际是两个 的感性认识. 平面与地球赤道平面所成的角.给我们两个 平面相交,它们的相对 2. 让学生感受生 平面成一个“角”的形象,让学生在此基础 位置可由两个平面所成 活中处处有数学,数学 上再举一些平面成角的例子.如教室的门在 的“角”确定 .( 借助多 用途广泛,增强学数学 打开的过程中与墙面成一定的角度; 书本翻 媒体动态演示) 的兴趣. 开的过程中,两张纸面呈一定的角度等.如 何定义“二面角” ,组织学生思考、讨论, 注意引导学生从实际背景 “两个面相交成一 定角度”出发来分析、归纳“二面角”,顺 便得到“半平面”和棱的概念. 2. 二面角反映了两 引导学生用 “平面 教师通过提问的方式引导学生讨论: 个 平 面 相 交 的 位 置 关 化”的思想来思考问 ① 前面学的两条异面直线所成的角的 系,如何度量二面角的 题. 定义,角的顶点位置的选择是否影响到角 大小呢?让学生回忆定 义两条异面直线所成角 的做法得到启发,能否 用 “平面角” 来度量 “二 面角”? 说明 “唯一性” 时, 利用多媒体动态演示 , 必须使 OA , OB 垂直棱 l .拖动点 O ,说明 ?AOB 的大小与棱上点 O 的位置无关. 的大小(即考虑“唯一性” )? ② 当我们选择某种方式度量一个量 时,必须考虑“唯一性”问题.用什么样的 平面角来度量才能保证唯一性呢?如果在 二面角的棱上任找一点,从这点出发分别 在两个半平面内任作一条射线,虽然它们 可构成一个平面角,但这样的角的大小会 由于所作的射线的位置不同而改变,因而 不具有“唯一性”. ③ 那么,从二面角的棱上任一点出发 分别在两个半平面内作一条射线, 射线与棱 如何时, 所作的 “平面角” 才具有 “唯一性” ? (垂直具有唯一性)
β l B O

α

A

3.如何定义二面角 学生数学表达、 归 的平面角? 纳能力.

由学生归纳出二面角的平面角的定义: 在二面角 ? ? l ? ? 的棱上任取一点 O ,以点

O 为垂足,在半平面 ? 和 ? 内分别作垂直于

4.观察教室里相邻 两个墙面与地面可以构 成几个二面角 ? 指出其 中一个二面角的面、 棱、 平面角及其度数.

棱 l 的射线 OA 和 OB ,则射线 OA 和 OB 构成 的 ?AOB 叫做二面角的平面角. ①认识实际情景 学生合作、讨论、交流后,由学生代表 中二面角的面、棱、平 发言 , 教师归纳 , 引出平面与平面垂直的定 面角、直二面角. 义 : 两个平面相交 , 如果它们所成的二面角 ②为了引出平面 是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 与平面垂直的定义. 两个平面垂直的画法如下:
β β

α

α

5.如何判定两个平 ①如何用 定义判 在教师指导下,学生合作、 讨论、 探究 : 面垂直? 定平面与平面垂直. ①定义法: 即要证明两个平面所成的二 ②为了引出平面 面角是直二面角——作平面角——求证平 与平面垂直的判定定 面角是 90? ——需知平面角所在的三角形的 理. 几何量的数据或边角的大小关系, 否则难以 判定. ②教师引导学生观察教室的相邻两块 墙面的位置关系. ③让学生动手:将书脊所在直线固定与 桌面垂直 , 把书本打开 , 观察每页书所在的 平面与桌面的关系 ( 或课室门的转动 , 门所 在的平面与底面的位置关系).由学生小结, 教师讲解时抓住 “线(书脊)与面(桌面)垂直 固定,每页书所在的平面与桌面垂直” ,引出 面面垂直的判定定理:一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个垂直. 这个定理说明,可以由直线与平面垂直 证明平面与平面垂直,即 “线面垂直” → “面 面垂直”. AB 6. 例题教学 ( 启发 例 3.如图, 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是 P 式、讲授结合)(应用判 圆周上不同于 A , B 的任意一点. 定定理解决数学内部问 求证:平面 PAC ? 平面 PBC . 题 , 及探究确定二面角 分析:(1)目标:面面垂直,关键是找什么? 的平面角的方法) (线面垂直) C (2)在其中一个平面找另一个平面 A B O 的垂线,图中哪条直线? (3)如何证明此直线于平面垂直 ?( 逐步由学生回答 ,教师 纠正) 证明:设在⊙ O 所在平面为 ? ,由已知条件,

PA ? ? , BC 在 ? 中,所以 PA ? BC . 因为 C 是圆周上不同于 A , B 的任意一点, AB 是⊙ O 的直径, 所以 ?BCA 是直角,即 BC ? AC . 又因为 PA 与 AC 是△ PAC 所在平面内的两条相交直线, 所以, BC ? 平面 PAC , 又因为 BC 在平面 PBC 内, 所以, 平面 PAC ? 平面 PBC . 解题方法小结 ( 师生共同完成 ): ①明确目标 ( 即化归为何种问 题); ②面面垂直转化为线面垂直 , 关键是证明一个平面内有一条直 线与另一个平面垂直. 引伸探究: (1)若 E 在 PB 上 , AE ? PB , F 在 PC 上 , AF ? PC .证明面 PBC ? 面 AEF . (2) 若 PA ? AC ? 2 , AB ? 4 , 求二面角 A ? PB ? C 的正弦值 和二面角 P ? BC ? A 的大小. (3)证明 P , A , B , C 四点在同一球面上.

7.课堂小结: 教师提出下列问题让学生思考: (1) 请归纳确定二面角的平面角的方法. (2) 平面与平面垂直的判定定理体现的数学思想是什么?应用定理的关键是找什么? 师生共同就上述问题进行讨论、交流、总结,让学生充分发表自己的意见. 8.作业:课本 P77 习题 2.3A 组:2、3、6 题.


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