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高三一轮复习教案30


直线、平面平行的判定与性质
2014 高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定;2.解答题中证明或 探索空间的平行关系. 复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质,会把空间问题转化

为平面问题,解答过程的叙述步骤要完整,避免因条件书写不全而失分;2.学会应用“化归 思想”进行“线线问题、 线面问题、 面面

问题”的互相转化, 牢记解决问题的根源在“定理”.

知识点梳理 1. 直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 a∥α,a?β,α∩β =b a∥b 定理 性质

条件 结论

a∩α=? a∥α

a?α,b?α,a∥b b∥α

a∥α a∩α=?

2. 面面平行的判定与性质 判定 定义 图 形 条 件 结 论 α∩β=? a?β, b?β, a∩b =P,a∥α,b∥α α∥β α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b α∥β,a?β 定理 性质

α∥β

a∥α

[难点正本 疑点清源] 1.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平 行.但一定要说明一条直线在平面外,一条直线在平面内. 2.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定定理和性质定理外,切不可丢弃 定义,因为定义既可作判定定理使用,亦可作性质定理使用. 3.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往 需要作辅助线(面). 基础自测

1. 已知不重合的直线 a,b 和平面 α, ①若 a∥α,b?α,则 a∥b; ②若 a∥α,b∥α,则 a∥b; ③若 a∥b,b?α,则 a∥α; ④若 a∥b,a∥α,则 b∥α 或 b?α. 上面命题中正确的是________(填序号). 2. 已知 α、β 是不同的两个平面,直线 a?α,直线 b?β,命题 p:a 与 b 没有公共点;命 题 q:α∥β,则 p 是 q 的____________条件. 3. 已知平面 α∥平面 β,直线 a?α,有下列命题: ①a 与 β 内的所有直线平行;②a 与 β 内无数条直线平行;③a 与 β 内的任意一条直线都 不垂直. 其中真命题的序号是________. 4. (2011· 浙江)若直线 l 不平行于平面 α,且 l?α,则 A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 5. (2012· 四川)下列命题正确的是 A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 题型分类 题型一 直线与平面平行的判定与性质 例1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 BCE. 思维启迪:证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理,也可利用面面平 行的性质. ( ) ( )

如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 是菱形, ∠BAD =60° ,AB=2,PA=1,PA⊥平面 ABCD,E 是 PC 的中点,F 是 AB 的中点.求证:

BE∥平面 PDF. 证明 取 PD 中点为 M,连接 ME,MF,

题型二 平面与平面平行的判定与性质 例2 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 思维启迪:要证四点共面,只需证 GH∥BC;要证面面平行,可证一个 平面内的两条相交直线和另一个平面平行.

探究提高 证明面面平行的方法: (1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这 两个平面平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.

题型三 平行关系的综合应用 例3 如图所示, 在四面体 ABCD 中, 截面 EFGH 平行于对棱 AB 和 CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大?

思维启迪:利用线面平行的性质可以得到线线平行,可以先确定截面形状,再建立目标 函数求最值.

探究提高 利用线面平行的性质, 可以实现与线线平行的转化, 尤其在截面图的画法中, 常用来确定交线的位置,对于最值问题,常用函数思想来解决. 如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什 么位置时,平面 D1BQ∥平面 PAO?

立体几何中的探索性问题

典例:(12 分)如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 DD1 的 中点.

(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1 所成的角的正弦值; (2)在棱 C1D1 上是否存在一点 F,使 B1F∥平面 A1BE?证明你的结论. 审题视角 (1)可过 E 作平面 ABB1A1 的垂线、作线面角;(2)先探求出点 F,再进行证明

B1F∥平面 A1BE.注意解题的方向性. 规范解答

方法与技巧 1. 平行问题的转化关系

2. 直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3. 平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. 失误与防范 1.在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误. 2.在解决线面、面面平行的判定时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平 行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也 要注意,转化的方向总是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”. 3.解题中注意符号语言的规范应用.

随堂练 A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 若直线 m?平面 α,则条件甲:“直线 l∥α”是条件乙:“l∥m”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( )

2. 已知直线 a,b,c 及平面 α,β,下列条件中,能使 a∥b 成立的是

A.a∥α,b?α C.a∥c,b∥c

B.a∥α,b∥α D.a∥α,α∩β=b

3. 在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的 位置关系只能是 A.平行 C.平行和相交 B.平行和异面 D.异面和相交 ( ) ( )

4. 设 m、n 表示不同直线,α、β 表示不同平面,则下列结论中正确的是 A.若 m∥α,m∥n,则 n∥α B.若 m?α,n?β,m∥β,n∥α,则 α∥β C.若 α∥β,m∥α,m∥n,则 n∥β D.若 α∥β,m∥α,n∥m,n?β,则 n∥β 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

5. 过三棱柱 ABC—A1B1C1 的任意两条棱的中点作直线,其中与平面 ABB1A1 平行的直线共 有________条. 6. 如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是下 a 底面的棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= , 3 过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 7. 如图所示,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点,N 是 BC 的中点,点 M 在四边 形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足条件______________时,有 MN∥平面 B1BDD1.

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外一点, M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面,交平面 BDM 于 GH. 求证:PA∥GH.

9. (12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 中,BC=6,正方形 ADEF 所在 平面与平面 ABCD 垂直,G,H 分别是 DF,BE 的中点. (1)求证:GH∥平面 CDE; (2)若 CD=2,DB=4 2,求四棱锥 F—ABCD 的体积.

B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 1. 设 m,n 是平面 α 内的两条不同直线;l1,l2 是平面 β 内的两条相交直线,则 α∥β 的一 个充分而不必要条件是 A.m∥β 且 l1∥α C.m∥β 且 n∥β B.m∥l1 且 n∥l2 D.m∥β 且 n∥l2 ( )

2. 下面四个正方体图形中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥平面 MNP 的图形是 ( )

A.①②

B.①④

C.②③

D.③④

3. 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题: ①若 l 与 m 为异面直线,l?α,m?β,则 α∥β; ②若 α∥β,l?α,m?β,则 l∥m; ③若 α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则 m∥n. 其中真命题的个数为 A.3 m∥n,正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知平面 α∥平面 β,P 是 α、β 外一点,过点 P 的直线 m 与 α、β 分别交于 A、C,过点 B.2 C.1 D.0 ( )

P 的直线 n 与 α、β 分别交于 B、D 且 PA=6,AC=9,PD=8,则 BD 的长为________.

5. 一个正方体的展开图如图所示,B、C、D 为原正方体的顶点,A 为 原正方体一条棱的中点.在原来的正方体中,CD 与 AB 所成角的 余弦值为________. 6. 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,下列结论中,正确的结论是________(只填序号). ①AD1∥BC1;②平面 AB1D1∥平面 BDC1; ③AD1∥DC1;④AD1∥平面 BDC1. 三、解答题 7. (13 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为 矩形,PD=DC=4,AD=2,E 为 PC 的中点. (1)求三棱锥 A—PDE 的体积; (2)AC 边上是否存在一点 M, 使得 PA∥平面 EDM?若存在, 求出 AM 的长;若不存在,请说明理由.


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