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广东省2010高中青年教师命题大赛(16)(数学艺体类)


高中青年教师命题大赛(16) 广东省 2010 高中青年教师命题大赛(16) 数
本试卷共 4 页,21 题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式: 参考公式:

艺体类) 学 (艺体类)

1 sh ,其中 s 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A, B 互斥,那么 P ( A + B ) = P

( A) + P ( B ) .
锥体的体积 V = 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出 选择题: 题 的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.函数 f ( x) = 2 cos 2 x sin 2 x 的最小正周期为 A. 2π B.

2.已知集合 A = x y = x 2 1 , B = y y = x 2 + 2 x 1 ,则 A I B = A.A B. B C. R D.φ

{

π 2

C. π

D. 4π

}

{

}

3.已知 z1 = 4 5i, z 2 = A.第一象限

1 ( i 为虚数单位),则复数 z1 z 2 在复平面内所对应的点位于 (1 + i ) 2
C. 第三象限 D. 第四象限

B. 第二象限

4. 如图 1,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向该正方形内随 机投一点,则该点落在空白区域的概率为 A.

4 π 2

B.

π 2
2

C.

4 π 4

D.

π 2
4
图1
开始

5.已知过 A( 2, m ), B ( m,4) 两点的直线与直线 y =

1 x 垂直,则 m 的值为 2

A.4 B.-8 C. -2 D.-1 6. 已知 a , b 为非零实数,且 a < b ,则下列命题成立的是 A、 a 2 < b 2 B、 a 2 b < ab 2 C、

1 1 < 2 2 ab ab

D、

b a < a b


输入两个数 a 和

7. 定义某种运算 S = a b ,运算原理 如图 2 所示,则式子:

5π 1 2 tan ln e + lg 100 4 3
的值是 A、0 B、4 C、-2

1

a≥b



输出

a ×( b

输出 a ×( b –

D、8
结束

3 2 8. 命题“对任意的 x ∈ R, x x + 1 ≤ 0 ”

图2

的否定是

A.不存在 x ∈ R, x 3 x 2 + 1 ≤ 0 C.存在 x ∈ R, x x + 1 > 0
3 2

B.存在 x ∈ R, x 3 x 2 + 1 ≥ 0 D. 对任意的 x ∈ R, x x + 1 > 0
3 2

9. 已知 m , n 为两条不同的直线, α , β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的是 A . m // n, n ⊥ α m ⊥ α C. m ⊥ α , m ⊥ n n // α B. α // β , m α , n β m // n D. m α , n α , m // β , n // β α // β

10.在区间(0,1)上任意取两个实数 a,b,则 a + b < A.

6 5

的概率为

12 25

B.

18 25

C.

16 25

D.

17 25

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 填空题: (一) 必做题 (11~13 题) 11.抛物线 y 2 = 2 x 的焦点坐标为 .

12.已知数列{ a n }为等差数列,且 a 5 + a 9 =

8π ,则 tan a 7 = _____, 3
.

2 x y ≤ 2 13. 设变量 x 、 y 满足约束条件 x y ≥ 1 ,则 z = 2 x + 3 y 的最大值为 x + y ≥ 1

(二)选做题 (14~15 题,考生只能从中选做一题)二题在全答的,只计算第一题的得分. 选做题 考生只能从中选做一题)二题在全答的,只计算第一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中,点 (1,0) )到直线 ρ (3 cos θ + 4 sin θ ) = 2 的距离 是 . . 15. (几何证明选讲选做题) 已知⊙ O 的直径 AB = 6cm , P 是 AB 延长线上的一点,过 P 点作⊙ O 的切 几何证明选讲选做题) 线,切点为 C ,连结 AC ,若∠ CPA =30°,则 PC =

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 现有编号分别为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九道不同的数学题。某同学从这九道题中一次随机抽 取两道题, 每题被抽到的概率是相等的, 用符号 ( x, y ) 表示事件 “抽到两 题的编号分别为 x, y ,且 x < 。 y” (1)共有多少个基本事件?并列举出来。 (2)求该同学所抽取的两道题的编号之和小于 17 但不小于 11 的概率 17.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,已知 AC = 2 , BC = 3 , cos A = (2)求 sin 2 B +

4 . 5

(1)求 sin B 的值;



π 的值. 6

18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ABC 中,

AC = BC = 2, ∠ ACB =90°, AP = BP = AB , PC ⊥ AC .
(Ⅰ)求证: PC ⊥ AB ; (Ⅱ)求三棱锥 P ACB 的体积.

19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆与双曲线

4y2 3 4 x 2 = 1 有相同的焦点,且椭圆过点 P ( ,1) , 3 2

(1)求椭圆方程; (2)直线 l 过点 M (1,1) 交椭圆于 A, B 两点,且 AB = 2 MB ,求直线 l 的方程。 20. (本小题满分 14 分)

2ax a 2 + 1 ( x ∈ R ) ,其中 a ∈ R . x2 + 1 (Ⅰ)当 a = 1 时,求曲线 y = f ( x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ≠ 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.
已知函数 f ( x ) =

21. (本小题满分 14 分) 在数列{an}中, a1 = 1 ,当 n ≥ 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S 2 n = a n ( S n ) (1) 求: a n ; (2) 设 bn =

1 2

Sn ,求数列{ b n }的前项和 Tn 2n + 1

数学(艺体类) 数学(艺体类)参考答案
小题, 一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分, 选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 B 6 C 7 D 8 C 9 A 10 D

小题, 二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 本大题共 5 小题,每小 填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算. 题为选做题,考生只能选做一题. 题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题为选做题,考生只能选做一题. 第十二题的第一个空 2 分,第二个空 0 3 分.

11. ( ,0)

1 2

; 12. 3 ;

13. 18;

14.

1 ; 5

15. 3 3 .

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16.解: (1)共有 36 种基本事件,列举如下: (1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(1,7) , , , , , (1,8) , (1,9)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)(2,7)(2,8)(2,9)(3,4)(3,5)(3,6)(3, , , , , , , , , , , , 7)(3,8)(3,9)(4,5)(4,6)(4,7)(4,8)(4,9)(5,6)(5,7)(5,8)(5,9) , , , , , , , , , , , , ( 6 , 7 ),( 6 , 8 ),( 6 , 9 ),( 7 , 8 ),( 7 , 9 ),( 8 , 9) ………………………………………………………………6 分 (2)设事件 A=“两道题的编号之和小于 17 但不小于 11” ,则事件 A 包含事件有: (2,9)(3,8)(3, , , 9)(4,7)(4,8)(4,9)(5,6)(5,7)(5,8)(5,9)(6,7)(6,8)(6,9)(7,8) , , , , , , , , , , , , (7,9)15 种…………………………………………………9 分 ∴P(A)=

15 5 = 36 12

………………………………………………………………12 分
2

3 4 17.解:在 △ ABC 中, sin A = 1 cos A = 1 = ,……………2 分 5 5
2

BC AC .………………………………………………………………4 分 = sin A sin B AC 2 3 2 所以 sin B = sin A = × = .………………………………………………………6 分 BC 3 5 5 4 (Ⅱ)解:因为 cos A = ,所以角 A 为钝角,从而角 B 为锐角,于是 5
由正弦定理,

21 2 ,…………………………………………………8 分 cos B = 1 sin B = 1 = 5 5
2

2

cos 2 B = 2 cos 2 B 1 = 2 ×

21 17 ,………………………………………………10 分 1 = 5 25

2 21 4 21 . sin 2 B = 2sin B cos B = 2 × × = 5 5 15 3 17 1 12 7 + 17 π π π 4 21 .…12 分 sin 2 B + = sin 2 B cos + cos 2 B sin = × + × = 25 2 25 2 50 6 6 6
18.证明: (1)取 AB 中点 D,连结 PD,CD.…1 分 ∵AP=BP, ∴PD⊥AB. …………………………3 分 ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ……………………… 4 分 ∵PD∩CD=D. ∴AB⊥平面 PCD. ………………6 分 ∵PC 平面 PCD, ∴PC⊥AB. …………………………8 分 (2) (2)在 Rt△ABC 中,

AC=BC=2 ∴ AB =

AC 2 + BC 2 = 2 2

………… 9 分

在 Rt△PDB 中

PB = 2 2 , BD = 2
∴ PD =

PB 2 BD 2 = 6

………… 10 分

又∵PC⊥AC,PC⊥AB , AB ∩ AC = A ∴PC⊥平面 ABC ∴PC⊥CD ∴ PC = …………………… 11 分

PD 2 CD 2 = 2

…………………… 12 分

∴ V P ABC =

1 1 1 4 ……… 14 分 S ABC × PC = × × 2 × 2 × 2 = 3 3 2 3

19.解: ①依题意得,双曲线方程为

y2 x2 =1 3 1 4 4

∴双曲线两焦点为(0,-1)(0,1) ………… 1 分 , 设所求椭圆方程为 ∴ a2 = 1+ b2

y2 x2 + =1 a2 b2
………… 2 分

3 ,1 ) 在椭圆上 2 1 9 ∴ + 2 =1 2 1+ b 4b 4 整理得 4b 9b 2 9 = 0 解得 b 2 = 3 ,∴ a 2 = 4
又∵点 p ( ∴椭圆方程为

………… 4 分

………… 6 分 ………… 8 分

y2 x2 + =1 4 3

②依题意得 M 为 AB 中点,设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 直线方程为 y 1 = k ( x + 1) ,则 x 1 + x 2 = 2 ………… 9 分

y 1 = k ( x + 1) [ k ( x + 1) + 1] 2 x 2 由 y2 x2 ,得 + = 1 ………… 10 分 4 3 + =1 3 4
整理得 (3k 2 + 4 ) x 2 + ( 6 k 2 + 6 k ) x + 3( k 2 + 2 k + 1) = 0 ∵点 A、B 互异

∴ x1 + x 2 = 解得 k =

6k 2 + 6k = 2 3k 2 + 4
………… 13 分

4 3

直线方程为 y 1 = 即4x 3y + 7 = 0

4 ( x + 1) 3
………… 14 分

20. (本小题满分 14 分)

2x 4 , f (2) = ,……………1 分 x +1 5 2 2 2 2( x + 1) 4 x 2 2x 6 = 2 又 f ′( x) = ,则 f ′(2) = .…………………3 分 2 2 2 ( x + 1) ( x + 1) 25 4 6 所以,曲线 y = f ( x ) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y = ( x 2) , 5 25 即 6 x + 25 y 32 = 0 .……………4 分
(Ⅰ)解:当 a = 1 时, f ( x ) =
2

(Ⅱ)解: f ′( x) =

2a( x 2 + 1) 2 x(2ax a 2 + 1) 2( x a )(ax + 1) = .…………6 分 ( x 2 + 1) 2 ( x 2 + 1) 2
1 , x2 = a , a

由于 a ≠ 0 ,以下分两种情况讨论. (1)当 a > 0 时,令 f ′( x ) = 0 ,得到 x1 =

当 x 变化时, f ′( x ),f ( x ) 的变化情况如下表:

x
f ′( x ) f ( x)

1 ∞ , a






1 a

1 ,a a

a
0 极大值

(a, ∞) +

0 极小值

+





1 1 + , ( a, ∞) 内为减函数,在区间 ,a 内为增函数 a a 1 1 1 故函数 f ( x ) 在点 x1 = 处取得极小值 f ,且 f = a 2 , a a a 函数 f ( x ) 在点 x2 = a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f ( a ) = 1 .…………………10 分 1 (2)当 a < 0 时,令 f ′( x ) = 0 ,得到 x1 = a,x2 = , a 当 x 变化时, f ′( x ),f ( x ) 的变化情况如下表: 1 1 1 x a ( ∞,a ) a, ,+ ∞ a a a f ′( x ) + + 0 0 f ( x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 1 1 所以 f ( x ) 在区间 ( ∞,a ) , ,+ ∞ 内为增函数,在区间 a, 内为减函数. a a 函数 f ( x ) 在 x1 = a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f ( a ) = 1 .
所以 f ( x ) 在区间 ∞, 函数 f ( x ) 在 x2 =



1 处取得极小值 a

1 f ,且 a

1 f = a 2 .………………14 分 a

21. 解: (1)当 n ≥ 2 时 ∵Sn
2

= an (S n

1 ) 2 1 ) ………… 2 分 2

∴ Sn

2

= ( S n S n 1 )( S n

1 1 S n + S n S n 1 S n 1 = 0 2 2


1 1 =2 S n S n 1

………… 4 分

∴数列

1 是以 1 为首项以 2 为公差的等差数列 Sn
………… 6 分



1 = 1 + 2 ( n 1) = 2 n 1 Sn

∴ Sn

=

1 2n 1

………… 8 分

∴ an

= S n S n 1 =

1 1 2 = 2 n 1 2 ( n 1) 1 ( 2 n 1)( 2 n 3 )

9分

当 n=1 时不满足上式

1, n = 1 ∴ an = …………10 分 2 (2n 1)(2n 3) , n ≥ 2
(2)∵ b n

=

Sn 1 1 1 1 = = [ ] 2 n + 1 ( 2 n 1)( 2 n + 1) 2 2 n 1 2 n + 1

………… 12 分

∴ Tn =

1 1 1 1 1 1 (1 + + … … + ) 2 3 3 5 2n 1 2n + 1 1 1 n = (1 )= 2 2n + 1 2n + 1
………… 14 分 表 2.文科试题知识分值分布 知识版块 集合与逻辑 题号 2,8 分值 10

函数与导数 立体几何 平面解析几何 算法初步 概率与统计 平面向量与三角 数列 推理与证明 复数 坐标系与参数方程 几何证明选讲 不等式选讲

11,20 9,18 5,19 7 10,16 1,4,17 12,21

19 19 19 5 17 22 19 0

3 14 15 6,13 表 3. 与 07,08 年对照

5 5 5 10

知识点 向量 函数 三角函数 数列 解析几何 立体几何 概率统计 排列组合 复数 不等式 研究性题 选做题

07 分值 11 39 8 19 19 17 22

08 分值 5 27 18 19 19 19 23

模考题分值 5 34 17 19 19 19 17

5

5 10

5 10

5 5 5 5


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