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高中数学必修2第三章直线与方程全套教案


直线与方程
3.1.1 直线的倾斜角和斜率
教学过程:
(一) 直线的倾斜角的概念 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 α= 0°. ... 问: 倾斜角 α 的取值范围是什么? 0°≤α<180° . 当直线

l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角 α 来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 P 和一个倾斜角 α. ... . ....... (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角 α(α≠90° )的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示, 也就是 k = tanα ⑴ 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵ 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 α 一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45° 1; = α=135°时, k = tan135° tan(180° 45° = - tan45° - 1. = - ) = 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率?

斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1) 当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角 α= 90°, 直线与 x 轴垂 直; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时交换, 但 分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角 α=0°,直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. (四)例题:

例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角 是钝角还是锐角. 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα<0 时, 倾斜角 α 是钝角; 而当 k = tanα>0 时, 倾斜角 α 是锐角; 而当 k = tanα=0 时, 倾 斜角 α 是 0° .

3.1.2 两条直线的平行与垂直
讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜 角都为 90° ,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90° ,另 一条直线的倾斜角为 0° ,两直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 结论 1: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果 它们的斜率相等,那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的, 缺少这个前提, 结论 ........ 并不成立.即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥ L2; 反之则不一定. 结论 2: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果 ........ 它们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 注意: 结论成立的条件. 即如果 k1· = -1, 那么一定有 L1⊥ k2 L2; 反之则不一定. 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系分析: 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥ PQ. 例 2 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1· = -1 所以 AB⊥ k2 PQ.

3.2.1 直线的点斜式方程
三、教学设想 问 题 设计意图 师生活动 1、在直线坐标系内确定一条直 线,应知道哪些条件? 使学生在已有 学生回顾, 并回答。 然后教师指 知 识 和 经 验 的 基 出, 直线的方程, 就是直线上任意 础上,探索新知。 一 点 的 坐 标 ( x, y) 满 足 的 关 系 式。

2、直线 l 经过点 P ( x0 , y0 ) ,且 0 斜率为 k 。设点 P( x, y) 是直线 l 上的任意一点,请建立

培养学生自主 探索的能力,并体 会直线的方程, 就 是直线上任意一 点的坐标

学生根据斜率公式,可以得到, 当x?

x0 时, k ?

y ? y0 x ? x0

,即

x, y



( x, y)

y ? y0 ? k ( x ? x0 )

(1)

k , x0 , y0 之间的关系。
y P P0

满足的关系式, 从 而掌握根据条件 求直线方程的方 法。

教师对基础薄弱的学生给予关 注、 引导, 使每个学生都能推导出 这个方程。

O

x
使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 设计意图 使学生了解方 程为直线方程必 须满两个条件。 学生验证,教师引导。

3、(1)过点 P ( x0 , y0 ) ,斜率 0 是 k 的直线 l 上的点,其坐标都满 足方程(1)吗? 问 题 (2)坐标满足方程(1)的点都在 经过 P ( x0 , y0 ) , 斜率为 k 的直线 0

师生活动 学生验证, 教师引导。 然后教师 指出方程(1)由直线上一定点及 其斜率确定, 所以叫做直线的点斜 式方程,简称点斜式(point slope form). 学生分组互相讨论, 然后说明理 由。

l 上吗?
4、 直线的点斜式方程能否表示坐 标平面上的所有直线呢? 5、(1) x 轴所在直线的方程是 什么? 么? (2)经过点 P ( x0 , y0 ) 且平行于 0 使学生理解直线 的点斜式方程的 适用范围。

y 轴所在直线的方程是什

进一步使学生 教师学生引导通过画图分析,求 理 解 直 线 的 点 斜 得问题的解决。 式方程的适用范 y 围,掌握特殊直线 P0 方程的表示形式。

x 轴(即垂直于 y 轴)的直线方程
是什么? (3) 经过点 P ( x0 , y0 ) 且平行于 0

O

y P0

x

y 轴(即垂直于 x 轴)的直线方程
是什么?

O

x

6、例 1 的教学。

学会运用点斜式 方程解决问题, 清 楚用点斜式公式 求直线方程必须 具备的两个条件: (1)一个定点; (2)有斜率。同 时掌握已知直线 方程画直线的方 法。 引入斜截式方 程,让学生懂得斜 截式方程源于点 斜式方程, 是点斜 式方程的一种特 殊情形。 深入理解和 掌握斜截式方程 的特点? 设计意图 使学生理解 “截距”与“距离”两 个概念的区别。 体会直线的斜 截式方程与一次 函数的关系.

教师引导学生分析要用点斜式 求直线方程应已知那些条件?题目 那些条件已经直接给予,那些条件 还有待已去求。在坐标平面内,要 画一条直线可以怎样去画。

7、已知直线 l 的斜率为 k ,且与

学生独立求出直线 l 的方程:

y 轴的交点为 (0, b) ,求直线 l 的
方程。

y ? kx ? b

(2)

再此基础上,教师给出截距的 概念,引导学生分析方程(2)由哪 两个条件确定,让学生理解斜截式 方程概念的内涵。 学生讨论,教师及时给予评价。

8、观察方程

y ? kx ? b ,它的


形式具有什么特点?

问 9、直线

师生活动
学生思考回答,教师评价。

y ? kx ? b 在 x 轴上的

截距是什么?

10、你如何从直线方程的角度认 识一次函数

学生思考、讨论,教师评价、归纳 概括。

y ? kx ? b ?一次函
一 次 函 数

数中 k 和 b 的几何意义是什么?你 能 说 出

y ? 2x ? 1, y ? 3x, y ? ? x ? 3
图象的特点吗?

11、例 2 的教学。

掌握从直线方 教师引导学生分析:用斜率判断 程 的 角 度 判 断 两 两条直 线平 行、 垂直 结论 。思考 条直线相互平行, (1) l1 //l2 时, k1 , k 2 ; b1 , b2 有 或相互垂直;进一 步理解斜截式方
何关系?(2)

l1 ? l2

时,

程中

k, b 的 几 何

意义。

k1 , k2 ; b1 , b2 有何关系?在此由学
生得出结论:

l1 // l2 ? k1 ? k2 , 且 b1 ? b2 ;

l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1
12、课堂练习第 100 页练习第 1, 巩 固 本 节 课 所 学 2,3,4 题。 过的知识。 13、小结 使学生对本节课 所学的知识有一 个整体性的认识, 了解知识的来龙 去脉。 巩固深化
学生独立完成,教师检查反馈。 教师引导学生概括:(1)本节课我 们学过那些知识点; (2) 直线方程

的点斜式、 斜截式的形式特点和适 用范围是什么?(3)求一条直线 的方程,要知道多少个条件?
学生课后独立完成。

14、布置作业:第 106 页第 1 题 的(1)、(2)、(3)和第 3、5 题

3.2.2 直线的两点式方程
一、教学目标 1、知识与技能 (1)掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围; (2)了解直线方程截距式的形式特点及适用范围。 2、过程与方法 让学生在应用旧知识的探究过程中获得到新的结论,并通过新旧知识的比较、分析、应 用获得新知识的特点。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)培养学生用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、 重点:直线方程两点式。 2、难点:两点式推导过程的理解。 三、教学设想 问 题 设计意图 遵循由浅及 深,由特殊 到一般的认 知规律。使 学生在已有 的知识基础 上获得新结 论,达到温 故知新的目 的。 师生活动 教师引导学生:根据已有的知识,要求 直线方程,应知道什么条件?能不能把问 题转化为已经解决的问题呢?在此基础 上,学生根据已知两点的坐标,先判断是 否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而 可求出直线方程: (1) y 1、利用点斜式解答如下问 题: (1)已知直线 l 经过两点

P (1,2), P2 (3,5) ,求直线 l 的方 1
程. ( 2 ) 已 知 两 点

P ( x1 , x2 ), P2 ( x2 , y2 ) 1

其 中

3 ? 2 ? ( x ? 1) 2
? y1 ? y 2 ? y1 ( x ? x1 ) x2 ? x1

( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,求通过这
两点的直线方程。

(2) y

教师指出:当 y1

? y2 时,方程可以写成

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) y 2 ? y1 x2 ? x1
由于这个直线方程由两点确定,所以我们 把它叫直线的两点式方程,简称两点式 (two-point form). 2、若点 P ( x1 , x2 ), P ( x2 , y2 ) 1 2 中有 x1 使学生懂得 两点式的适 用范围和当 已知的两点 不满足两点 式的条件时 它的方程形 式。 设计意图 使学生学会 用两点式求 直线方程; 理解截距式 源 于 两 点 式,是两点 式的特殊情 形。 教师引导学生通过画图、观察和分析, 发现当 x1

? x2 ,或 y1 ? y2 ,此

? x2 时,直线与 x 轴垂直,所 x1 ;当 y1 ? y2 时, ? y1 。

时这两点的直线方程是什么?

以直线方程为: x ?

直线与 y 轴垂直,直线方程为: y

问 3、例 3 教学 已知直线 l 与 A



师生活动 教师引导学生分析题目中所给的条件有什 么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方 程?那种方法更为简捷?然后由求出直线 方程:

x 轴的交点为
轴的交点为

(a,0)

,与

y

B (0, b) ,其中 a ? 0, b ? 0 , 求直线 l 的方程。

x y ? ?1 a b
教师指出: a, b 的几何意义和截距式方 程的概念。

4、例 4 教学 已知三角形的三个顶点 A (-5,0),B(3,-3),C(0, 2),求 BC 边所在直线的方程, 以及该边上中线所在直线的方 程。 5、课堂练习 第 102 页第 1、2、3 题。 6、小结

让学生学 会根据题目 中所给的条 件,选择恰 当的直线方 程 解 决 问 题。

教师给出中点坐标公式, 学生根据自己 的理解,选择恰当方法求出边 BC 所在的 直线方程和该边上中线所在直线方程。在 此基础上,学生交流各自的作法,并进行 比较。

学生独立完成,教师检查、反馈。 增强学生对 直线方种四 种形式(点 斜式、斜截 式、两点式、 截距式)互 相之间的联 系的理解。 巩固深化, 培养学生的 教师提出: (1)到目前为止,我们所学过 的直线方程的表达形式有多少种?它们之 间有什么关系? (2) 要求一条直线的方程, 必须知道多少 个条件?

7、布置作业

学生课后完成

独立解决问 题的能力。

3.2.3 直线的一般式方程
一、教学目标 1、知识与技能 (1)明确直线方程一般式的形式特征; (2)会把直线方程的一般式化为斜截式,进而求斜率和截距; (3)会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。 2、过程与方法 学会用分类讨论的思想方法解决问题。 3、情态与价值观 (1)认识事物之间的普遍联系与相互转化; (2)用联系的观点看问题。 二、教学重点、难点: 1、重点:直线方程的一般式。 2、难点:对直线方程一般式的理解与应用。 三、教学设想 问 题 设计意图 使学生理解直 线和二元一次 方程的关系。 师生活动 教师引导学生用分类讨论的方法思 考探究问题(1),即直线存在斜率和 直线不存在斜率时求出的直线方程是 否都为二元一次方程。对于问题(2), 教师引导学生理解要判断某一个方程 是否表示一条直线, 只需看这个方程是 否可以转化为直线方程的某种形式。 为 此要对 B 分类讨论,即当 B ? 0 时和 当 B=0 时两种情形进行变形。 然后由学 生去变形判断,得出结论: 关于 x, y 的二元一次方程,它都表 示一条直线。 教师概括指出: 由于任何一条直线都 可以用一个关于 x, y 的二元一次方程 表示;同时,任何一个关于 x, y 的二 元一次方程都表示一条直线。 我们把关于关于 次方程 Ax 1、(1)平面直角坐标系中的每 一条直线都可以用一个关于

x, y 的二元一次方程表示吗?
(2)每一个关于 x, y 的二元一 次方程 Ax

? By ? C ? 0 (A,

B 不同时为 0)都表示一条直线 吗?

x, y 的二元一


? By ? C ? 0 (A,B

同时为 0)叫做直线的一般式方程,简

称一般式(general form). 2、 直线方程的一般式与其他几种 形式的直线方程相比,它有什么 优点? 问 题 使学生理解直 线方程的一般 式的与其他形 设计意图 式的不同点。 学生通过对比、讨论,发现直线方程 的一般式与其他形式的直线方程的一 个不同点是: 师生活动 直线的一般式方程能够表示平面上的 所有直线,而点斜式、斜截式、两点式 方程,都不能表示与 x 轴垂直的直线。 教师引导学生回顾前面所学过的与 与 x 轴平行和重合、 y 轴平行和重合的 直线方程的形式。 然后由学生自主探索 得到问题的答案。

3、在方程

Ax ? By ? C ? 0

中,A,B,C 为何值时,方程表 示的直线 (1) 平行于 x 轴; (2) 平行于 y 轴; (3)与 x 轴重合; (4) y 与 重合。

使学生理解二 元一次方程的 系数和常数项 对直线的位置 的影响。

4、例 5 的教学 使学生体会 已知直线经过点 A(6,-4), 把 直 线 方 程 的 点斜式转化为 4 斜率为 ? ,求直线的点斜式和 一般式, 把握直 3 线方程一般式 一般式方程。 的特点。

学生独立完成。然后教师检查、评价、 反馈。指出:对于直线方程的一般式, 一般作如下约定: 一般按含 x 项、 y 含 项、 常数项顺序排列;x 项的系数为正;

x , y 的系数和常数项一般不出现分
数;无特加要时,求直线方程的结果写 成一般式。

5、例 6 的教学 把直线 l 的一般式方程

使学生体会直 线方程的一般 x ? 2 y ? 6 ? 0 化成斜截式, 式化为斜截式, 和已知直线方 l 的斜率以及它在 x 轴 程 的 一 般 式 求 求出直线 与 y 轴上的截距,并画出图形。 直 线 的 斜 率 和 截距的方法。

先由学生思考解答, 并让一个学生上 黑板板书。 然后教师引导学生归纳出由 直线方程的一般式, 求直线的斜率和截 距的方法: 把一般式转化为斜截式可求 出直线的斜率的和直线在

y 轴上的截

距。求直线与 x 轴的截距,即求直线与 为此可在方程中令 x 轴交点的横坐标,

y =0,解出 x 值,即为与直线与 x 轴
的截距。 在直角坐标系中画直线时, 通常找 出直线下两个坐标轴的交点。 6、 二元一次方程的每一个解与坐 标平面中点的有什么关系?直线 与二元一次方程的解之间有什么 关系? 使学生进一步 理解二元一次 方程与直线的 关系, 体会直解 坐标系把直线 学生阅读教材第 105 页, 从中获得对 问题的理解。

与方程联系起 来。 7、课堂练习 巩固所学知识 第 105 练习第 2 题和第 3(2) 和方法。 问 8、小结 题 设计意图 使学生对直线 方程的理解有 一个整体的认 识。 学生独立完成,教师检查、评价。 师生活动 (1)请学生写出直线方程常见的几 种形式,并说明它们之间的关系。 (2)比较各种直线方程的形式特点 和适用范围。 (3)求直线方程应具有多少个条 件? (4)学习本节用到了哪些数学思想 方法? 学生课后独立思考完成。

9、布置作业 第 106 页习题 3.2 第 10 题和 第 11 题。

巩固课堂上所 学的知识和方 法。

3.3-1 两直线的交点坐标
教学目标
知识与技能:1。直线和直线的交点 2.二元一次方程组的解 过程和方法:1。学习两直线交点坐标的求法,以及判断两直线位置的方法。 2.掌握数形结合的学习法。 3.组成学习小组,分别对直线和直线的位置进行判断,归纳过定点的 直线系方程。 情态和价值:1。通过两直线交点和二元一次方程组的联系,从而认识事物之间的内 的联系。 2.能够用辩证的观点看问题。

教学重点,难点
重点:判断两直线是否相交,求交点坐标。 难点:两直线相交与二元一次方程的关系。 教学方法:启发引导式 在学生认识直线方程的基础上,启发学生理解两直线交点与二元一次方程组的 的相互关系。 引导学生将两直线交点的求解问题转化为相应的直线方程构成的二元一次方程 组解的问题。由此体会“形”的问题由“数”的运算来解决。 教具:用 POWERPOINT 课件的辅助式教学 教学过程: 一.情境设置,导入新课 用大屏幕打出直角坐标系中两直线, 移动直线, 让学生观察这两直线的位置关系。 课堂设问一:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的 关系,那如果两直线相交于一点,这一点与这两条直线的方程有何关系? 二.讲授新课 1. 分析任务,分组讨论,判断两直线的位置关系

已知两直线 L1:A1x+B1y +C1=0,L2: A2x+B2y+C2=0 如何判断这两条直线的关系? 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看表一,并填空。 几何元素及关系 点A 直线 L 点 A 在直线上 直线 L1 与 L2 的交点 A 课堂设问二:如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有 什关系? 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组 有何关系? (1) 若二元一次方程组有唯一解,L 1 与 L2 相交。 (2) 若二元一次方程组无解,则 L 1 与 L2 平行。 (3) 若二元一次方程组有无数解,则 L 1 与 L2 重合。 课后探究:两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系? 2. 例题讲解,规范表示,解决问题 例题 1:求下列两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 解:解方程组 L1:2x+y +2=0 代数表示 A(a,b) L:Ax+By+C=0

? ?3x ? 4y ? 2 0 ? ? ?2 x ? 2y ? 2 0
6

得 x=-2,y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M(-2,2),如图 3。3。1。

y
4

2

-5

5

x
-2

-4

教师可以让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否 简洁,然后才进行讲解。 同类练习:书本 110 页第 1,2 题。 例 2 判断下列各对直线的位置关系。如果相交,求出交点坐标。 (1) L1:x-y=0,L2:3x+3y-10=0 (2) L1:3x-y=0,L2:6x-2y=0

(3) L1:3x+4y-5=0,L2:6x+8y-10=0 这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。 三.启发拓展,灵活应用。 课堂设问一。当 ? ? 变化时,方程 3x+4y-2+ ? (2x+y+2)=0 表示何图形,图形 有何特点?求出图形的交点坐标。 (1) 可以一用信息技术,当 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让 学生从直观上得出结论,同时发现这些直线的共同特点是经过同一 点。 (2) 找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论。 (3) 结论,方程表示经过这两条直线 L1 与 L2 的交点的直线的集合。 例 2 已知 a 为实数,两直线 l1 : ax ? y ? 1 ? 0 , l 2 : x ? y ? a ? 0 相交于一点, 求证交点不可能在第一象限及 x 轴上. 分析:先通过联立方程组将交点坐标解出,再判断交点横纵坐标的范围. 解:解方程组若 内.

a ?1 a2 ?1 >0,则 a >1.当 a >1 时,- <0,此时交点在第二象限 a ?1 a ?1

a2 ?1 又因为 a 为任意实数时,都有 a ? 1 ? 1>0,故 ≠0 a ?1
2

因为 a ≠1(否则两直线平行,无交点) ,所以,交点不可能在 x 轴上 ,得交点(-
新疆

王新敞
学案

a ?1 a2 ?1 , ) a ?1 a ?1
四.小结:直线与直线的位置关系,求两直线的交点坐标,能将几何问题转化为代数 问题来解决,并能进行应用。 五.练习及作业: 1 光线从 M(-2,3)射到 x 轴上的一点 P(1,0)后被 x 轴反射,求反射光线所在的直线方 程。 2 求满足下列条件的直线方程。经过两直线 2x-3y+10=0 与 3x+4y-2=0 的交点,且和直线 3x-2y+4=0 垂直。 板书设计:略

3.3.2 直线与直线之间的位置关系-两点间距离
教学目标
知识与技能:掌握直角坐标系两点间距离,用坐标法证明简单的几何问题。 过程和方法:通过两点间距离公式的推导,能更充分体会数形结合的优越性。 情态和价值:体会事物之间的内在联系,,能用代数方法解决几何问题

教学重点,难点:重点,两点间距离公式的推导。难点,应用两点间距离公式证明几
何问题。

教学方式:启发引导式。

教学用具:用多媒体辅助教学。 教学过程:
一,情境设置,导入新课 课堂设问一: 回忆数轴上两点间的距离公式, 同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题 平面直角坐标系中两点 P P2 ? ? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ? 7 ,分别向 x 轴和 y 轴作垂线,垂足 1
2

分 别 为 N1 ? 0,y1 ?,M 2 ? x2, ? 直 线 PN1与P2 N2 相 交 于 点 Q 。 在 直 角 ? ABC 中 , 0 1

P P2 ? P Q ? 1 1
2 2

Q P,为了计算其长度,过点 P1 向 x 轴作垂线,垂足为 M1 ? x1, ? 过点 0 2
2



y
2

轴 作 垂 线 , 垂 足 为

N2 ? 0,y2 ?
Q P ? 2
2 2 1

, 于 是 有

P Q? 1
所以, P P2 1

M 2
2

M 1?
2 2

?x, 2
2

2 1

x
2

2

N ?

2

N ?

2 2

y

1

y

? PQ ? QP2 = x2 ? x1 ? y2 ? y1 。 1

由此得到两点间的距离公式 PP ? 1 2

? x2 ? x2 ? ? ? y2 ? y1 ?
2

2

在教学过程中,可以提出问题让学生自己思考,教师提示,根据勾股定理,不难得到。 二,例题解答,细心演算,规范表达。例 1 :以知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点,使 PA ? PB ,并求 解:设所求点 P(x,0),于是有 由

PA 的值。

? x ? 1? ? ? 0 ? 2 ?
2

2

?

? x ? 2?

2

? 0? 7

?

?

2

得 P A ? P B x2 ? 2 x ? 5 ? x 2 ? 4 x ? 11 解得 x=1。

所以,所求点 P(1,0)且 点间距离公式理解。应用。

PA ?

?1 ? 1? ? ? 0 ? 2?
2

2

?2 2

通过例题,使学生对两

解 法 二 : 由 已 知 得 , 线 段 AB 的 中 点 为 M ? ,

? 1 2+ 7? ? , 直 线 AB 的 斜 率 为 ?2 2 ? ? ?

k=

7 -2 7 2+ 7 -2 3 1? 2 2 ? = ? ?x- ? PA= ? 1+2 +0-2 =22 ? ? ? 3 3 2 2? 2- 7 ?

线段 AB 的垂直平分线的方程是 y解得 x=1。

2+ 7 3 1? ? = ? ?x- ? 在上述式子中,令 y=0, 2 2? 2- 7 ?
2 2

所以所求点 P 的坐标为(1,0)。因此 PA= ? 1+2 +0-2 =2 2 ? ? ?

同步练习:书本 112 页第 1,2 题 三. 巩固反思,灵活应用。(用两点间距离公式来证明几何问题。) 例 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 分析:首先要建立直角坐标系,用坐标表示有关量,然后用代数进行运算,最后把代数运算 “翻译”成几何关系。 这一道题可以让学生讨论解决, 让学生深刻体会数形之间的关系和转化, 并从中归纳出应用 代数问题解决几何问题的基本步骤。 证明:如图所示,以顶点A为坐标原点,AB边所在的直线为x轴,建立直角坐标 系,有A(0,0)。 设B(a,0),D(b,c),由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b,c),因 为

AB ? a 2, CD ? a 2, AD ? b 2 ? c 2 ? BC
2 2 2

2

2 2, A C ? ? a ? +c BD =?b-a? +c ? b

2















AB +CD +AD +BC =2a+b+c ? ?2 2 2
2 2 2 2

AC +BD =2a+b+c ? 所以, ?2 2 2
AB +CD +AD +BC =AC +BD
2 2 2 2 2 2

因此, 平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。 上述解决问题的基本步骤可以 让学生归纳如下:第一步:建立直角坐标系,用坐标表示有关的量。第二步:进行有关代数 运算。第三步;把代数结果“翻译”成几何关系。 思考:同学们是否还有其它的解决办法?还可用综合几何的方法证明这道题。 课堂小结:主要讲述了两点间距离公式的推导,以及应用,要懂得用代数的方法解决几何问 题,建立直角坐标系的重要性。 课后练习 1.:证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等 2.在直线 x-3y-2=0 上求两点,使它与(-2,2)构成一个等边三角形。 3.点(0,5)到直线 y=2x 的距离是——。 板书设计:略。

3.3.3 两条直线的位置关系―点到直线的距离公式
教学目标: 知识与技能:1. 理解点到直线距离公式的推导,熟练掌握点到直线的距离公式;?? 能力和方法: 会用点到直线距离公式求解两平行线距离 情感和价值:1。 认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题 教学重点:点到直线的距离公式 教学难点:点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法:学导式
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教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程 ? 一、情境设置,导入新课: 前面几节课, 我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件, 两直线的夹角
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公式,两直线的交点问题,两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题 的思想方法.这一节, 我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距 离。 用 POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线,进行移动,使学生回顾两直线 的位置关系,且在直线上取两点,让学生指出两点间的距离公式,复习前面所学。要求学生 思考一直线上的计算?能否用两点间距离公式进行推导?两条直线方程如下:

? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 . ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0
二、讲解新课: 1.点到直线距离公式: 点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : Ax ? By ? C ? 0 的距离为: d ? (1)提出问题 在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,直线=0 或 B=0 时,以上 公式 l : Ax ? By ? C ? 0 ,怎样用点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢? 学生可自由讨论。 (2)数行结合,分析问题,提出解决方案 学生已有了点到直线的距离的概念,即由点 P 到直线 l 的距离 d 是点 P 到直线 l 的垂线 段的长. 这里体现了“画归”思想方法,把一个新问题转化为 一个曾今解决过的问题,一个自己 熟悉的问题。 画出图形,分析任务,理清思路,解决问题。 方案一: 设点 P 到直线 l 的垂线段为 PQ,垂足为 Q,由 PQ⊥l 可知,直线 y PQ 的斜率为

Ax0 ? By0 ? C
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A2 ? B 2

B (A≠0) ,根据点斜式写出直线 PQ 的方程,并由 l 与 PQ A
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R d Q o S

P(x0,y0)

的方程求出点 Q 的坐标; 由此根据两点距离公式求出|PQ|, 得到点 P 到直线 l 的距离为 d 此方法虽思路自然,但运算较繁.下面我们探讨别一种方法
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x l

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方案二:设 A≠0,B≠0,这时 l 与 x 轴、 y 轴都相交,过点 P 作 x 轴 的平行线,交 l 于点 R( x1 , y0 ) ;作 y 轴的平行线,交 l 于点 S ( x0 , y2 ) , 由?

? By0 ? C ? Ax0 ? C ? A1 x1 ? By0 ? C ? 0 , y2 ? 得 x1 ? . A B Ax0 ? By2 ? C ? 0 ?

所以,|PR|=| x0 ? x1 |=

Ax0 ? By0 ? C A

|PS|=| y 0 ? y 2 |=

Ax0 ? By0 ? C B
? A2 ? B 2 × Ax0 ? By0 ? C |由三角形面积公式可知: | AB

|RS|= PR ? PS
2

2

d · RS|=|PR|· | |PS| 所以 d ?
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Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

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可证明,当 A=0 时仍适用

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这个过程比较繁琐,但同时也使学生在知识,能力。意志品质等方面得到了提高。 3.例题应用,解决问题。 例 1 求点 P=(-1,2)到直线 3x=2 的距离。 解:d=

3 ? ? ?1? ? 2 32 ? 02

?

5 3
1 AB ? h 2

例 2 已知点 A(1,3) ,B(3,1) ,C(-1,0) ,求三角形 ABC 的面积。 解 : 设 AB 边 上 的 高 为
2

h , 则

S

? ABC

=

AB ?

? 3 ? 1? ? ?1 ? 3?
2

?2 2,
y ? 3 X ?1 ? 1 ? 3 3 ?1
此 ,

AB 边上的高 h 就是点 C 到 AB 的距离。AB 边所在直线方程为

即 x+y-4=0。点 C 到 X+Y-4=0 的距离为 hh=

?1 ? 0 ? 4 1 ?1
2

?

5 ,因 2

S ? ABC =

1 5 ?2 2? ?5 2 2

通过这两道简单的例题, 使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用, 能逐步体会用 代数运算解决几何问题的优越性。 同步练习:114 页第 1,2 题。 4.拓展延伸,评价反思。 (1) 应用推导两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?

C1 ? C 2
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A ?B
2

2

证 明 : 设 P0 ( x0 , y0 ) 是 直 线 Ax ? By ? C 2 ? 0 上 任 一 点 , 则 点 P0 到 直 线

Ax ? By ? C1 ? 0 的 距 离 为 d ?

Ax0 ? By0 ? C1
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A2 ? B 2
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Ax0 ? By0 ? C2 ? 0 即

Ax0 ? By0 ? ?C2 ,∴d=

C1 ? C 2
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A ?B
2

2

2 x ? 3 y ? 10 ? 0 的距离.
解法一:在直线 l1 上取一点 P(4,0),因为 l1 ∥l 2
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例 3 求两平行线 l1 : 2 x ? 3 y ? 8 ? 0 , l 2 : ,所以点 P 到 l 2 的距离等于 l1 与 l 2 的距离. 于是 d ?

2 ? 4 ? 3 ? 0 ? 10 2 ?3
2 2

?

2 13

?

2 13 13

解 法 二 : l1 ∥ l 2 又 C1 ? ?8, C2 ? ?10 . 由 两 平 行 线 间 的 距 离 公 式 得

d?

? 8 ? (?10) 2 2 ? 32

?

2 3 13

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四、课堂练习: 已知一直线被两平行线 3x+4y-7=0 与 3x+4y+8=0 所截线段长为 3。且该直线过点(2,3) , 求该直线方程。 五、小结 :点到直线距离公式的推导过程,点到直线的距离公式,能把求两平行线的距离 转化为点到直线的距离公式
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六、课后作业: 13.求点 P(2,-1)到直线 2 x +3 y -3=0 的距离. 14.已知点 A( a ,6)到直线 3 x -4 y =2 的距离 d=4,求 a 的值: 15.已知两条平行线直线 l1 和 l 2 的一般式方程为 l1 : Ax ? By ? C1 ? 0 ,

l 2 : Ax ? By ? C2 ? 0 ,则 l1 与 l 2 的距离为 d ?
七.板书设计:略

C1 ? C 2
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A ?B
2

2


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