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函数的单调性讲解与练习1


函数单调性
【课前预习】 1、设 f ? x ? 、 g ? x ? 都是单调函数,有如下四个命题中,正确的命题是( ) ①若 f ? x ? 单调递增, g ? x ? 单调递增,则 f ? x ? - g ? x ? 单调递增;? ②若 f ? x ? 单调递增, g ? x ? 单调递减,则 f ? x ? - g ? x ? 单调递增;? ③若 f ? x ?

单调递减, g ? x ? 单调递增,则 f ? x ? - g ? x ? 单调递减;? ④若 f ? x ? 单调递减, g ? x ? 单调递减,则 f ? x ? - g ? x ? 单调递减?? ? A. ①③ B.①④ C.②③ D.②④? 2、下列函数中,在区间 ? ? ? , 0 ? 上是增函数的是( ) A. f ? x ? ? C. h ? x ? ? ? 3、函数 y
? 2 s in (

9、函数 f ? x ? ? 则 f ? 1 ? 等于 10、 已知函数 y

2x ? mx ? 3
2

当 x ? ? ? 2 , ? ? ? 时为增函数,当 x ? ? ? ? , ? 2 ? 是减函数,
? f


? f

则 ? x ? 在R上为减函数, y

?

x?3

? 的单调减区间为



11、设 f ? x ? 是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,则 f ? ? 2 ? 与 。 f ? a ? 2 a ? 3 ? ( a ? R )的大小关系是
2

12、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [ 0 , ?? ) 上为增函数, f ( 1 ) ? 0 ,则
3

不等式 f (log

1 8

x) ?

的解集为 0



x ? 4x ? 8
2

B. g ? x ? ? D. s ? x ? ?

ax ? 3 ? a ? 0 ?
lo g 1 ? ? x ?
2

2 x ?1

?
6

? 2 x )( x ? [0 , ? ] )为增函数的区间是(

) D. [
5? 6 ,? ]

【基础知识】 1.对于给定区间 D 上的函数 f ( x ) ,如果 上的增(减)函数. 定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],那么 (1) f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ? f(x)在[a,b]上是增函数;
1 2

, 则称 f ( x ) 是区间 D

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2

x1 ? x 2

? 0 ?

f(x)在[a,b]上

A. [0 ,

?
3

]

B. [

, ] 12` 12

?

7?

C. [

? 5?
, 3 6

]

4、下列函数中,在区间 ( 0 , 2 ) 上递增的是( (A)y
? 1 x


? x ?1

(B)y

? ?x

(C)y

(D)y

? x

2

? 2x ? 1

5、设函数 f ( x ) 是减函数,且 f ( x ) ? 0 ,下列函数中为增函数的是( (A) y ? ? 1 (B) y ? 2 f ( x ) (C) y ? log f ( x ) (D) y
f (x)
1 2


? [ f ( x )]
2

是减函数. (2) 1-x2) 1)-f(x2)]>0?(x)在[a, (x [f(x b]上是增函数; 1-x2) 1)-f(x2)]>0?f(x) (x [f(x 在[a,b]上是减函数.由此可得: (1)的几何意义是增(减)函数图像上的任意 两点(x1 ,f(x1))(x2,f(x2))连线的斜率大于(或小于)零. , 2.判断函数单调性的常用方法: (1)定义法; (2)根据已知函数的单调性:若函数 y=f1 (x),y=f2 (x)都是增函 数,函数 y=g1 (x), y=g2 (x)都是减函数, a>0, b<0, 那么①y=f1 (x)+f2 (x), 1 (x)-g1 (x), y=f y=af1 (x), y=bg1 (x) , y=
1 g1 ( x)

6、已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且 f ( x ) 在(0,+∞)上是减函数, 如果 x 1 ? 0 , x ? 0 且 | x 1 |? | x 2 |, 则有( ) (A) f ( ? x1 ) ? f ( ? x 2 ) ? 0
2

都是增函数; ②y=g1(x)+g2(x), 1(x), y=bf y=ag1(x) , y=
f (x) ? x ? 1 x

1 f1 ( x )

(B) f ( x 1 ) ? 7、函数 y
? 1 x

f (x2 ) ? 0

(C) f ( ? x 1 ) ?

f (? x 2 ) ? 0

(D)
1 x ?1

都是减函数;例如:判别函数



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0

f ( x ) ? lo g 1 ( x ? 1)( x ? ? 1)
3 2

的单调区间是
? x ? 4 x?3
2

;函数 y

?

的单调区间是 ; 。



(3)利用复合函数的单调性: y
y ? f 1 [ g 1 ( x )], y ? g 1 [ f 1 ( x )]

? f 1 [ f 2 ( x )], y ? g 1 [ g 2 ( x )] 都是增函数;

8、 (1)函数 f ? x ? ? 2 的递增区间为 (2)函数 f ? x ? ? lo g 1 ? ? x 2 ? 4 x ? 3 ? 的递减区间为
2

都是减函数. 规律 同增异减

3.单调函数的图像特征:增函数图像从左向右看是上升的,减函数图像从左 向右看是向下降的. 4.关于函数单调性还有以下一些常见结论:

①两个增(减)函数的和为 ;一个增(减)函数与一个减(增)函 数的差是______; ②函数单调性与奇偶性、极值反函数的关系: 奇函数在对称的两个区间上有 的单调性; 偶函数在对称的两个区间上有 的单调性; 互为反函数的两个函数在各自定义域上有 的单调性; 函数在 y=f (x)在 x=x0 处有极大值 f(x0), x>x0 时, 则 函数是 ; 0 x>x 时,函数是 函数在 y=f (x)在 x=x0 处有极小值 f(x0), x>x0 时, 则 函数是 ; 0 x>x 时,函数是 . 4.求函数单调区间的常用方法:定义法、图象法、已知函数单调性等 定义法:设 x 1 , x 2 ? A 且 x 1 ? x 2 ;作差 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) (一般结果要分解为若干个 因式的乘积,且每一个因式的正或负号能清楚地判断出) ;判断正负号。 5.函数 ②在
? ?? ? ? y ? ax ? ( a ? 0 , b ? 0 ) ①在 ? ? ? , ? ? x ?
b

求函数y= x ? 【例3】设 a

4 x

的单调区间;
?x? ?
e
x

? 0, f

?

a e
x

是R上的偶函数.(1)求 a 的值;(2)证明 f ? x ? 在
2

a

? 0, ? ? ? 上是增函数。

【例4】(1) 已知函数f(x)=kx -8x+6在区间[2,6]上是减函数,求实数k的取 值范围. (2) y ? x 2 ? 4 a x (1 ? x ? 3) 是单调函数,求实数 a 的取值范围。 (3)已知函数 y 范围。 【例5】设函数 明;
f (x) ? 1 x?2 ? lg 1? x 1? x
? lo g a ? 2 ? a x ?

在 ? 0 ,1 ? 上是 x 的减函数, 求实数 a 的取值

.(1)试判断函数 f ( x ) 的单调性,并给出证
f
a x
?1

? b ? ?或 ? a ? ?

b

? , ?? ? ? a ?

(2)若 f ( x ) 的反函数为
x
2

( x ) ,求证:方程 f

?1

( x ) =0有唯一解。

上单调递增;

【例 6】(上海)已知函数 f ? x ? ?

?

( x ? 0, a ? R )

b a

? , 0? 或 ? ?

? b ? , ? ? 0 ? a ? ?

上 是 单 调 递 减 ; ③ 如 果 a<0,b<0 , 那 么 单 调 区 间

为 ;④如果 a>0,b<0,那么单调区间为 如果 a<0,b>0,那么单调区间为 6.求函数单调区间的步骤:①求函数定义域;②考虑函数奇偶性;③判别函 数是否具有极值;④根据已知函数单调性求单调区间. 【例题分析】 【例 1】 若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在区间 ( ?? , 4 ] 上是减函数, (1) 则实数 a 的取值范围是_________. (2)对于给定的函数 f ( x ) ?
x? 1 x ( x ? 0)

(1) 判断函数 f ? x ? 的奇偶性; (2) f ? x ? 在区间 ?2 , ?? ? 是增函数, 若 求实数 a 的 取值范围。 【例 7】(上海)若函数 f ( x ) ? 1 ,则该函数在 ? ? ? , ?? ? 上是( )
2
x

?1

A.单调递减无最小值 C.单调递增无最大值 【例 8】 (上海)已知函数 f ( x ) ? (1) a 当
? 1 2

B.单调递减有最小值 D.单调递增有最大值
x ? 2x ? a
2

, x ? [1, ? ? ) 。

x

时,求函数

f (x)

的最小值; (2)

,有以下四个结论:

若对任意 x ? [1, ? ? ), 的取值范围。

f ( x ) ? 0 恒成立,试求实数 a

① f ( x ) 的图象关于原点对称;② f ( x ) 在定义域上是增函数; ③ f ( x ) 在区间 ( 0 ,1 ] 上为减函数,且在 [1, ?? ) 上为增函数; ④ f ( x ) 有最小值 2。其中结论正确的是_____________. (3)求函数 y
? lo g 0 .7 ( x ? 3 x ? 2 )
2
2

【例 9】 (上海) 已知函数
(0, ? ? )

f (x) ? x ?

a x

的定义域为

,且 f ( 2 ) ? 2 ?

2 2

. 设点 P 是函数图象上

的单调区间;
2

(4)已知 f ( x ) ? 8 ? 2 x ? x , 若 g ( x ) ? f ( 2 ? x ) 试确定 g ( x ) 的单调区间和 单调性. 【例2】 (1)求函数y=(x-4)2+1的单调区间; (2)求函数y=x4+1的单调区间; (3)

的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的 垂线,垂足分别为 M 、N . (1)求 a 的值; (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说

明理由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值. 【题组一】 1、函数 y ?
x ? b x ? c ( x ? [0, ? ? ))
2

是单调函数的充要条件是(



(A) b ? 0 (B) b ? 0 (C) b ? 0 (D) b ? 0 2 、 若 函 数 f(x)=a x ? b ? 2 在 ? 0 , ? ? ? 上 为 增 函 数 , 则 实 数 a 、 b 的 取 值 范 围 是 . 3、函数f(x)=x2,x∈[0,2],则函数f(x+2)的单调增区间是 4、若函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 (1 ? a ) x ? 2 在 ? ? ? , 4 ? 上是减函数,则实数a的取值范围是 5、已知 y=f(x)是偶函数,且在 [ 0 , ?? ) 上是减函数,则 f(1-x2)是增函数的区间 是 2 6 、 已 知 偶 函 数 f ( x ) 在 [ 0, ] 内 单 调 递 减 , 若 a ? f ( ? 1) , b ? f (log 1 ) ,
1 2

【题组二】 1.若函数 y=f(x) (-a≤x≤a,a>0)是奇函数,且在[-a,0]上是减函数,则在上 的增减性是 ; 若函数 y=f(x) (-a≤x≤a,a>0)是偶函数,且在[-a,0]上是减函数,则在上的 增减性是 . 2.函数 y= 2
x ?1

的单调减区间是

;函数 y= ( 1 ) x ? 1 的单调减区间是
2

; . .

3.函数 y= x ? 1 的单调增区间是
x

;函数 y= ? x ?

1 x

的单调增区间是

4.函数 y=-x2+2 x +3 的单调增区间是 5.函数 f ( x ) ?
x ?5
2

;单调减区间是

的值域是 )
2? x

x ?4
2

6.下列函数既是奇函数,又在区间 ? ? 1,1 ? 上单调递减的是( A.
f ( x ) ? sin x

4

c ? f (lg 0 . 5 ) ,则 a

、 b 、 c 之间的大小关系是_____________

B. f ( x ) ?

? x ?1

C. f ( x ) ? 1 ? a
2

x

?a

?x

?

D. f ( x ) ? ln 2 ? x

7、定义在[-2 , 2 ]上的偶函数 g ? x ? ,当 x ≥0时, g ? x ? 单调递减,若 。 g ? 1 ? m ? ? g ? m ? 成立, 则 m 的取值范围为 8、已知 f ( x ) 是 R 上的增函数,A(0,-1) ,B(3,1)是其图象上的两点, 则不等式 | f ( x ? 1) |? 1 的解集为__________ 9、下列函数中,在区间 ( ?? , 0 ] 上是增函数的是( ) (A) y
? x
2

7.函数 y

?

x ?1 x ? 2x ? 2
2

的值域是 ( B. ( ? ? , ?
1 2 ]? [ 1 2

)
, ?? )

A.( ? 1 , 1 )
2 2

C. [ ?

1 1 , ] 2 2

D. [ ? 1,1] a,则 a 的值

8.函数

f ( x ) ? a ? lo g a ( x ? 1) 在[0,1]上的最大值与最小值之和为
x

? 4 x ? 8 (B) y ? log

1 2

(? x)

(C) y

? ?

2 x ?1

(D) y

?

1? x

10、已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,它在 [ 0 , ?? ) 上递减,那么一定有( A. f ( ? C. f ( ?
3 4 ) ? f (a
2



? a ? 1)

B. f ( ? D.
2 2 ?1
x

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)
2

3 4

) ? f (a

2

? a ? 1)

f (?

3 4

) ? f (a

? a ? 1)

为 . 9.定义域使 R 的函数 f(x)是偶函数,且在 x∈[0,5]上是增函数,在[5,+∞ ) 上 是减函数,又 f(5)=2,则 f(x) ( ) A. x∈[-5,0]上增函数且有最大值 2; 在 x∈[-5,0]上减函数且有最大值 2; 在 B. C. x∈[-5,0]上增函数且有最小值 2;D. 在 x∈[-5,0]上减函数且有最小值 2; 在 10.设函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 时定义在 R 上的偶函数,则 f(x) ( ) A.在(-∞,0)上是增函数; B.在 x∈[0,+∞ ) 上是增函数; C.在(-∞,+∞ ) 上是增函数;D. 在(-∞,+∞ ) 上是减函数 11.判断函数 f ( x ) ? 12.函数 y= 13.函数 y ? 14.(1)求 y
2

11、设 a 是实数, f ( x ) ?
1 ? kx
a

a?

(x ? R)

。(1)求证:对一切实数 a , f ( x ) 为

ax x ?1
2

, ( a ? 0 ) 在区间(?1,1)上的单调性。

增函数; (2)试确定 a 的值,使 f ( x ) 为奇函数。 12.已知 f ( x ) ?
log x ?1 (a ? 1) 是奇函数.(1)求 k 的值,并求该函数的定义域;

?x ? 2x ? 8
lo g a
( 2 ? ax )

的单调区间是 在[0,1]上是减函数,则 a 的取值范围是
?

(2)根据(1)的结果,判断 f ( x ) 在 (1, ?? ) 上的单调性,并给出证明。

? lo g 0 .7

?x

2

?3 x? 2

的单调区间;(2)写出函数 f ( x ) ? lo g

x ? x ?1 2 0 .5

2

的单调区间

15.函数 f ( x ) ? lo g 0sin ? ? co s ? 的单调递增区间是 .5

单调递减区间是
2



16.已知奇函数 f ( x ) 在定义域[?2,2]上递减,求满足 f(1?m)+f(1?m )<0 的实数 m 的取值范围。 17 . 设 奇 函 数 f ( x ) 在 [0,+? ) 上 是 增 函 数 , 若 对 于 任 意 实 数 x , 不 等 式 f(kx)+f(x?x2?2)<0 恒成立,求实数 k 的取值范围。 18.甲乙两地相距 S 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 c 千米 /小时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度 v(单位:千米/小时)的平方成正比,比例系数为 b,固定部分为 a 元。(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(千米/小时)的函数,并指出这个函 数的定义域;(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 19. (上海文)已知函数 y
? x? a x

21.已知函数 f(x)在(-1,1)上有定义,f( 任意 x、y∈(-1,1)都有 f(x)+f(y)=f(

1 2

)=-1,当且仅当 0<x<1 时 f(x)<0,且对 ),试证明:

x ? y 1 ? xy

(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(-1,1)上单调递减. 22. 设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,并在区间(-∞,0)内单调递增, f(2a2+a+1)<f(3a2-2a+1).求 a 的取值范围, 并在该范围内求函数 y=( 单调递减区间. 23. 已知函数 f(x)=ax+
x?2 x ?1

1 2

)a

2

? 3 a ?1



有如下性质:如果常数 a ? 0 ,那么该函数在

(a>1).

? 0,

a ? 上是减函数,在 ? a , ? ? ? ?

? 上是增函数。

(1)如果函数 y 的值。

? x?

2

b

x

( x ? 0 ) 在 ? 0 , 4 ? 上是减函数,在 ? 4, ? ? ? 上是增函数,求 b

(1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. 24.已知函数 f(x)的定义域为 R,且对 m、n∈R,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且 f(-
1 2

(2)设常数 c ? ?1, 4 ? ,求函数

f (x) ? x ?

c x

(1 ? x ? 2 )
c x
n

的最大值和最小值;

)=0,当 x>- 时,f(x)>0.
2

1

(3)当 n 是正整数时,研究函数 g ( x ) ?
a x

x ?
n

( c ? 0 ) 的单调性,并说明理由。

(1)求证:f(x)是单调递增函数; (2)试举出具有这种性质的一个函数,并加以验证.

20. (上海理)已知函数 y = x + 有如下性质:如果常数 a >0,那么该函数 在 ( 0, a ] 上是减函数,在 [
b

a ,+∞ ) 上是增函数.

(1)如果函数 y = x + 2 ( x >0)的值域为 [ 6,+∞ ) ,求 b 的值;
x

(2)研究函数 y = x +

2

c x
2

(常数 c >0)在定义域内的单调性,并说明理由;
2

(3)对函数 y = x + a 和 y = x +
x

a x
2

(常数 a >0)作出推广,使它们都是

你所推广的函数的特例.研究推广后的函数的单调性(只须写出结论,不必 证明) ,并求函数 F ( x ) = ( x 2
? 1 x )
n

+(

1 x
2

? x)

n

( n 是正整数)在区间[ 1 ,2]
2

上的最大值和最小值(可利用你的研究结论) .


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