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河北省邢台市第一中学2015-2016学年高二数学上学期第二次月考试题 理


邢台一中 2015-2016 学年上学期第二次月考 高二年级数学试题(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有 且只有一项符合题目要求. 1. 已知直线 l 过圆 x2 ? y 2 ? 6 y ? 5 ? 0 的圆心,且与直线 x ? y ? 5 ? 0 平行,则 l 的方程是 ( ) A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0
2

D. x ? y ? 3 ? 0 )

2. 若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a ? 1) ? 0 垂直,则 a 的值为( A. 0 或 ?

3 2

B. 0 或 ?

2 3

C. 0 或

2 3

D. 0 或

3 2


2 3. 若 P(2,?1) 为圆(x ? 1 ) ? y 2 ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(

A. x ? y ? 3 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

4. 某 四 棱 锥 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 最长的一条侧棱长度为( A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

5.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? 是两个不同平面,下列命题错误的是( A.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? // ? C.若 m // ? , ? ? ? ? n, 则 m // n B.若 m // n, m ? ? , 则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? ? , 则 ? ? ?



6.若直线 ax ? y ? 4 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的交点位于第一象限,则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ?1 ? a ? 2 B. a ? ?1 C. a ? 2 D.

a ? ?1 或 a ? 2

7. 已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的 方程为( )

A. ( x ? 1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

C. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

1

8. 若直线经过点 P (1,1) 和点 Q(2, t ? ) , 其中 t ? 0 , 则该直线的倾斜角的取值范围是 ( A. (0,

?
4

]

B. [

? ?

1 t



, ) 4 2

C. (

? 3?
2 4 ,

]

D. [

3? ,? ) 4

?BCA ? 900 , 9.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, M、N 分别是 A1 B1、A1C1 的中点,AC ? BC

? AA1 ,则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为(
A. 1



10

B. 2

5

C.

2 2

D.

30 10

10. 如下图所示,四个正方体中, A, B 为正方体的两个顶点, M , N , P 分别为其所在棱的 中点,能得到 AB//面 MNP 的图形的序号是( )

A. ① ②

B. ② ④

C.

①③

D. ① ④

O 的 球 面 上 , 若 AB ? BC ? 1 , 11. 直 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 的 六 个 顶 点 都 在 球

?ABC ? 1200 , AA1 ? 2 3 ,则球 O 的表面积为(
A. 4? B. 8? C. 16?

) D. 24?

) 一 动 点 , PA 、 PB 是 圆 12 . 已 知 点 P ( x, y )是 直 线 k x? y?4 ?0 ( k ? 0上
C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条切线, A 、 B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的
值为( A.3 ) B.

21 2

C. 2 2

D.2

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填写在题中横线上 13.过点 P(2,3) 且在 x 轴和 y 轴上的截距互为相反数的直线方程为 .

14.如图, PA ⊥⊙ O 所在的平面, AB 是⊙ O 的直径,C 是⊙ O 上的一点, E 、 F 分别是点 A 在 PB 、 PC 上的射影.给出下列结论:① AF ⊥ PB ; ② EF ⊥ PB ; ③ AF ⊥ BC ;
2 2

④ AE ⊥平面 PBC .其中正确命题的序号是



15.圆 C1 : x ? y ? x ? 2 y ? 0 关于直线 l : x ? y ? 1 ? 0 对称的圆 C2 的方程为________.
2

16.过点 P(2,3) 的直线与圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 5 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则

a?



三、解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(10 分)如图, 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, 0) , AB 边所 在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 T ( ?11) , 在 AD 边所在直线上. (1)求 AD 、 CD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 的面积及外接圆方程; 18.(12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中, AD ? BC , AD ? AB , AB ? BC ?
1 AD , E 是 2

AD 的中点, O 是 AC 与 BE 的交点,将△ABE 沿 BE 折起到△A1BE 的位置,如图 2,

(1)证明:平面 A1 DC ⊥平面 A1OC ; (2) 若平面 A1BE⊥平面 BCDE,求直线 CB 与平面 A1 BE 所 成角的大小.

19. (12 分)圆经过 P(?1,1) 、Q(3,?1) 两点,并且在 x 轴上截得的弦长等于 6 ,求圆的方程.

20.(12 分) 如图,在三棱台 DEF ? ABC 中, AB ? 2 DE, G, H 分别为 AC, BC 的中点.

CF ? 平面 ABC , AB ? BC , DE ? EF ? CF
(1)求证: AE ? 平面 FGH ; (2)求二面角 H ? FG ? C 的余弦值。

Q 两点, 21.(12 分) 已知过点 A(?1, 0) 的动直线 l 与圆 C : x ? ( y ? 3) ? 4 相交于 P 、 M
2 2

是 PQ 中点, l 与直线 m : x ? 3 y ? 6 ? 0 相交于 N .

3

(1)当 PQ ? 2 3 时,求直线 l 的方程; (2)探索 AM ? AN 是否为定值,若是,请求出其值;若不是,请说明理由.

22. (12 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,平行于 x 轴且过点 A 3 3, 2 的入射光线 l1 被直线

?

?

l: y ?

3 x 反射,反射光线 l2 交 y 轴于 B 点.圆 C 过点 A 且与 l1 、 l2 相切. 3

(1)求 l2 所在直线的方程和圆 C 的方程; (2)设 P 、 Q 分别是直线 l 和圆 C 上的动点, 求 PB ? PQ 的最小值及此时点 P 的坐标.

4

高二年级第二次月考数学(理科)答案 一、选择题 CACCC AABDC 二、填空题 CD 14.①②③; 16. 2 或 ?

13. x ? y ? 1 ? 0 或 3x ? 2 y ? 0 ; 15. x2 ? y 2 ? 4x ? 3 y ? 5 ? 0

1 2

三、解答题 17.解答: (1)∵ ABCD 是矩形,∴ AD ? AB,DC // AB ,
1 由直线 AB 的方程 x ? 3 y ? 6 ? 0 可知, k AB ? , 3

1 ∴ k AD ? ?3,kDC ? , ··························· 2 分 3
∴ AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) ,即 3x ? y ? 2 ? 0 , 由?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, ? 2) , ?3x ? y ? 2 = 0

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, 0) .所以 C 点的坐标为(4,2)
DC 边所在直线的方程为 y ? 2 ?

1 ( x ? 4) ,即 x ? 3 y ? 2 ? 0 . ·········· 6 分 3

(2)点 A 到直线 CD 的距离为 d1 ?

8 16 ,点 C 到直线 AD 的距离为 d 2 ? 10 10 8 16 64 ? ? 10 10 5
----------8 分

所以矩形 ABCD 的面积为 s ?

M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. AM ? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 .----------------------10 分
2 2

18.解 试题解析: (I)在图 1 中, 因为 AB=BC=1,AD=2,E 是 AD 的中点, ? BAD= 以 BE ? AC 即在图 2 中,BE ? OA1 ,BE ? OC 从而 BE ? 平面 AOC 1

? ,所 2
A O B 图1 C B E D O

A1(A ) E C D

图 2

5

又 CD ? BE,所以 CD ? 平面 AOC . 1 又 CD ? 平面 A 1 DC ,所以平面 A1 DC ⊥平面 A1OC ..........6 分 (2)平面 A1BE⊥平面 BCDE, 平面 A1BE ? 平面 BCDE ? BE , CO ? 平面 BCDE, CO ? BE

? CO ? 平面 A1BE ,故 ?CBO 为直线 CB 与平面 A1 BE 所成的角. ..........9 分
在直角三角形 COB 中,易知 CO ? OB ,??CBO ? 45 故直线 CB 与平面 A1 BE 所成的角为 45 。 19.解析:设圆的方程为 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 令 y ? 0 得 x ? Dx ? F ? 0 。设 x1 , x2 是方程的两根,? ?
2
? ?

..........11 分 ..........12 分 ..........1 分

? x1 ? x2 ? ? D ? x1 x2 ? F

由 x1 ? x2 ?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 6 ,即 D 2 ? 4F ? 36 ..........6 分

又将 P, Q 点的坐标分别代入得 ?

?? D ? E ? F ? ?2 ?3D ? E ? F ? ?10

? D ? ?6 ? D ? 2 ? ? 解之得 ? E ? ?8 或 ? E ? 8 ?F ? 0 ? F ? ?8 ? ?
故所求圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 或 x ? y ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ..........12 分
2 2 2 2

20.解析: 连结 EC 交 HF 于 M ,连 EH , GM ,由已知易知四边形 EHCF 为正方形, 故M 为

EC 中点, 又 G 为 AC 中点,? GM ? AE ,又 GM ? 平面FGH , AE ? 平面FGH
所以 AE ? 平面 FGH ..........6 分 (2)过 H 作 HP 垂直 AC 于 P , 过 P 作 PQ 垂直 GF 于 Q , 连 HQ , 由 CF ? 平 面 ABC 知 , F C? P H , ? HP ? 平 面 F G C, 所 以 F G? P H ,从而 FG ? 平面 PQH ,所以 FG ? QH ,故 ?PQH 是二 ? C 面 角 H? FG 的 平 面 角 。 不 妨 设 DE ? EF ? CF ? 1 , 则
GH ? HF 2 ? AB ? BC ? 2 ,易求得 HP ? 2 , HQ ? , GF 3 2

6

? sin ?PQH ?

PH 3 ? HQ 2



? cos ?PQH ?

1 2,

故二面角 H ? FG ? C 的余弦值为

1 。 2

21.解析: (1)①当直线 l 与 x 轴垂直时, 易知 x ? ?1 符合题意…………………2 分 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时, 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? k ? 0 , ∵ PQ ? 2 3 ,∴ CM ?

4 ? 3 ? 1 ,则由 CM ?

| ?k ? 3 | k 2 ?1

? 1 ,得 k ?

4 , 3

∴直线 l : 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 . 故直线 l 的方程为 x ? ?1 或 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 ………………………………6 分
???? ? ???? ???? ? ???? (2)∵ CM ? AN ,∴ CM ?AN ? 0

???? ? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? ???? ? ???? ???? ???? AM ? AN ? ( AC ? CM ) ? AN ? AC ? AN ? CM ? AN ? AC ? AN ……8 分

???? 5 5 ① 当 l 与 x 轴垂直时,易得 N (?1, ? ) ,则 AN ? (0, ? ) , 又 3 3 ???? AC ? (1,3) ,
???? ? ???? ???? ???? ∴ AM ? AN ? AC ? AN ? ?5 ……………………………………………9 分

当 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,

则由 ?

???? ? y ? k ( x ? 1) ? 3k ? 6 ? 5 k ?5 ?5 k , , ) ,得 N ( ),则 AN ? ( 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k ?x ? 3 y ? 6 ? 0

∴ AM ? AN ? AC ? AN =

???? ? ????

??? ? ????

?5 ?15k ? ? ?5 1 ? 3k 1 ? 3k

综上所述, AM ? AN 为定值,且 AM ? AN ? ?5 .…………………12 分 22.解析. (Ⅰ)直线 l1 : y ? 2, 设 l1交l于点D,则( . D 2 3, 2)

? l 的倾斜角为 30? ,?l2的倾斜角为60?, ? k2 ? 3.

? 反射光线 l2 所在的直线方程为 y ? 2 ? 3( x ? 2 3) .
即 3x ? y ? 4 ? 0 .……………………3 分 已知圆 C 与 l1切于点A ,设C(a, b)

? 圆心 C 在过点 D 且与 l 垂直的直线上,?b ? ? 3a ? 8
又圆心 C 在过点 A 且与 l1 垂直的直线上,? a ? 3 3 ②,



7

由①②得 ?

?a ? 3 3 ? ,圆 C 的半径 r=3. b ? ? 1 ? ?
…………………6 分

故所求圆 C 的方程为 ( x ? 3 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9 . (Ⅱ)设点 B ? 0, ?4 ? 关于 l 的对称点 B?( x0 , y0 ) ,

y0 ? 4 y ?4 3 x0 ? ? ,且 0 ? ? 3 , 得 B?(?2 3, 2) .…………………8 分 2 3 2 x0 固定点 Q 可发现,当 B?、P、Q 共线时, PB ? PQ 最小, 故 PB ? PQ 的最小值为为 B?C ? 3 . ……………………10 分


? y ?1 x ?3 3 ? ? 3 1 ? 2 ? 1 ?2 3 ? 3 3 ,得 P ( , ), 最小值 B?C ? 3 ? 2 21 ? 3 . ………………12 分 ? 2 2 3 ? y ? x ? 3 ?

8


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