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2014年长春市四模文科数学(含答案)


2014 年长春市高中毕业班第四次调研测试

数学试题(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分.考试时间为 120 分钟, 其中第Ⅱ卷 22 题-24 题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.选择题必须用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、 笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试 题卷上答题无效. 4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.

3 ? sin ? ? cos ? ? , ? ? (0, ) ,则 4 4 sin ? ? cos ? A. 1 B. ? 1 C. 2 D. ? 2 7.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出 8 名学生参加数学竞赛,他们 取得的成绩(满分 100 分)的茎叶图如右图,其中甲班学生成绩的平均分
6.已知 tan 2? ? 是 86 ,乙班学生成绩的中位数是 83 ,则 x ? y 的值为 A. 9
2

第 7 题图

B. 10

C. 11

D. 13
2

8.曲线 y ? x ? 1 在点 (1,2) 处的切线为 l , 则直线 l 上的任意点 P 与圆 x 的任意点 Q 之间的最近距离是 A.

? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 上

4 5 ?1 5

B.

2 5 ?1 5

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 ... 项 是符合题目要求的,请将正确选项填涂在答题卡上). . 1.设全集 U ? R , A ? {x | 影部分表示的集合为 A. {x | x ≥ 1} C. {x | 0 ? x ≤ 1} B. {x | 1 ≤ x ? 2} D. {x | x ≤ 1}
第 1 题图

C. 5 ? 1

D. 2

9. 右 图 为 某 几 何 体 的 三 视 图 , 则 该 几 何 体 的 体 积 为 A. ? C. B.

x ? 0} , B ? {x | 2 x ? 2},则图中阴 x?2

5? 3

4? 3
第 9 题图

D . 2?

2 .如图,在 复平面内,复数 z 1 , z 2 对应的 向量分别是 OA , OB , 则

x2 y 2 10 .双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 、右 焦 点 分 别 是 F1,F2 ,过 F1 作 倾 斜 角 为 30 ? 的 a b
直 线 交 双 曲 线 右 支 于 点 M , 若 MF2 垂 直 于 x 轴 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 为 A.

| z1 ? z 2 | = A. 2
正确的是

B. 3

C. 2 2

D. 3 3

3.已知三条不重合的直线 m, n, l 和两个不重合的平面 ? , ? ,下列命题 A.若 m // n , n ? ? ,则 m // ? B.若 ? ? ? , ? ? ? ? m ,且 n ? m ,则 n ? ? C.若 l ? n , m ? n ,则 l // m D.若 l ? ? , m ? ? ,且 l ? m ,则 ? ? ? 4.设变量 x , y 满足 | x | ? | y | ≤ 1 ,则 2 x ? y 的最大值和最小值分别为 A. 1,?1 A. 6 B. 2,?2 B. 21 C. 1,?2 C. 5050 D. 2,?1 D. 231
第 2 题图

3

B. 5

C.

6

D.

2

11.已知函数 f ( x) ? x ?

x ? 1错误!未找到引用源。,g ( x) ? x ? 2 x 错误!未找到引用源。,
C. x3 ? x1 ? x2 D. x2 ? x3 ? x1

h( x) ? x ? ln x 的零点分别为 x1 , x2 , x3 ,则
A. x1 ? x2 ? x3 12 . 若 不 等 式 lg B. x2 ? x1 ? x3

5.按照下图的程序框图计算,若开始输入的值为 3 ,则最后输出的结果是

1x ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? (1 ? a)n x ≥ ( x ? 1) lg n 对 任 意 不 大 于 1 的 实 数 x n
B . (??,0] C . [ ,?? )

和大于 1的正整数 n 都成立,则实数 a 的取值范围是 A . [0,??)

1 2

D . (?? , ]

1 2

第 5 题图

数学试题(文科) 第 1 页 (共 4 页)

数学试题(文科) 第 2 页 (共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线上) . 13 . 将 容 量 为 n 的 样 本 中 的 数 据 分 成 6 组 , 绘 制 成 频 率 分 布 直 方 图 , 若 第 一 组 至 第 六 组 数 据 的 频 率 之 比 为 2 : 3 : 4 : 6 : 4 : 1 , 且 前 三 组 数 据 的 频 数 之 和 等 于 27 , 则 n 等 于 . 14 . 已 知 向 量 a ? ( 2 , 1, ) b ? (?1,2) , 若 a , b 在 非 零 向 量 c 上 的 投 影 相 等 , 且 . (c ? a) ? (c ? b) ? 0 ,则向量 c 的坐标为 1 1 1 5 15 . 已 知 f (n) ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N?,n ≥ 4) , 经 计 算 得 f (4) ? 2 , f (8) ? , 2 3 n 2 7 f (16) ? 3 , f (32 ) ? ……,观察上述结果,可归纳出的一般结论为 . 2 16. 设 a , b 为 实 数 ,关 于 x 的 方 程 ( x2 ?18x ? a)( x2 ?18x ? b) ? 0 的 4 个 实 数 根 构 成 以 d 为 公 差 的 等 差 数 列 , 若 d ? [0, 4] , 则 a ? b 的 取 值 范 围 是 .

?x ? a ?? ? ?b ? 中, b (附:在线性回归方程 y

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

? ,a

? x ,其中 x , y 为样本平均值.) ? y ?b

?x
i ?1

2 i

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) ABCD 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,底面 和 侧 面 BCC1B1 都 是 矩 形 , E 是 CD 的 中 点 ,

D1E ? CD , AB ? 2 BC ? 2 . ( 1 ) 求 证 : BC ? D 1 E;
( 2 ) 若 AA 1 ?

2 , 求 三 棱 锥 D1 ? B1CB 的 体 积 .

第 19 题 图

20. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 直 线 l : mx ? 2 y ? 2m ? 0 (m ? R) 和 椭 圆 C : 离心率为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,椭 圆 C 的 a2 b2

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.(本小题满分 12 分) 将函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) (? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图象向右

2 ,连结椭圆的四个顶点形成四边形的面积为 2 2 . 2 ( 1) 求 椭 圆 C 的 方 程 ; ( 2) 若 直 线 l 与 椭 圆 C 有 两 个 不 同 的 交 点 , 求 实 数 m 的 取 值 范 围 ; ( 3 )当 m ? 2 时 ,设 直 线 l 与 y 轴 的 交 点 为 P , M 为 椭 圆 C 上 的 动 点 ,求 线 段 PM
长度的最大值. 21 . ( 本 小 题 满 分 12 分 )

? 个单位后得到 g ( x) 的图象, 已知 g ( x) 的部分图象如右 4 图所示,该图象与 y 轴相交于点 F (0,1),与 x 轴相交于点 ? P, Q ,点 M 为最高点,且△ MPQ 的面积为 . 2 (1)求函数 g ( x) 的解析式;
平移

第 17 题 图

x ?1 , g ( x) ? x ? ln x . ex ( 1 ) 证 明 : g ( x) ≥ 1 ; 1 ( 2 ) 证 明 : ( x ? ln x) f ( x) ? 1 ? 2 . e
已 知 函 数 f ( x ) ? 1? 请 考 生 在 22 、 23 、 24 三 题 中 任 选 一 题 作 答 , 如 果 多 做 , 则 按 所 做 的 第 一 题 记 分 . 22 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 选 修 4 ? 1 : 几 何 证 明 选 讲 如 图 ,△ ABC 是 ⊙ O 的 内 接 三 角 形 , PA 是 ⊙ O 的 切 线 ,切 点 为 A , PB 交 AC 于 点 E , 交 ⊙ O 于 点 D , PA ? PE , ?ABC ? 45? , PD ? 1 , DB ? 8 . ( 1 ) 求 △ ABP 的 面 积 ; ( 2 ) 求 弦 AC 的 长 . 23 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 选 修 4 ? 4 : 坐 标 系 与 参 数 方 程 长 为 3 的 线 段 两 端 点 A, B 分 别 在 x 轴 正 半 轴 和 y 轴 的 正 半 轴 上 滑 动 , BA ? 3PA, 点 P 的 轨 迹 为 曲 线 C . ( 1 ) 以 直 线 AB 的 倾 斜 角 ? 为 参 数 , 求 曲 线 C 的 参 数 方 程 ; ( 2 ) 求 点 P 到 点 D(0,?2) 距 离 的 最 大 值 . 24 . ( 本 小 题 满 分 10 分 ) 选 修 4 ? 5 : 不 等 式 选 讲
第 22 题 图

(2) 在△ ABC 中,a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边,g ( A) ? 1,且 a ? 5 , 求△ ABC 面 积的最大值. 18.(本小题满分 12 分) 由某种设备的使用年限 x i (年)与所支出的维修费 yi (万元)的数据资料算得如下结果,

? xi ? 90 , ? xi yi ? 112 , ? xi ? 20 , ? yi ? 25.
2 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

5

5

5

5

?x ? a ? ?b ?; (1)求所支出的维修费 y 对使用年限 x 的线性回归方程 y (2)①判断变量 x 与 y 之间是正相关还是负相关;
②当使用年限为 8 年时,试估计支出的维修费是多少.

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已 知 实 数 a ? 0,b ? 0,且 a ? b ?
2 2

9 ,若 a ? b ≤ m 恒成立. 2

位 数 是 83 , 故 y ? 5 , ∴ x ? y ? 13 , 故 选 D . 8. 【答案】 A 【 解 析 】 y ? x 2 ? 1 , ∴ y ? ? 2 x , k ? y? | x?1 ? 2 , 故 切 线 l 方 程 为 : 2 x ? y ? 0 , 又

(1)求实 数 m 的 最 小 值 ; ( 2 ) 若 2 | x ? 1 | ? | x | ≥ a ? b 对 任 意 的 a, b 恒 成 立 , 求 实 数

x 的取值范围.

数学试题(文科)答案
1. 【答案】 B 【 解 析 】 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 1} , 由 韦 恩 图 可 知 阴 影 部 分 表 示 的 是

x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 表 示 的 是 以 (?2,0) 为 圆 心 ,以 1 为 半 径 的 圆 ,圆 心 (?2,0) 到 l 的
4 5 ? 4 5 2 2 ,∴ 直 线 l 上 的 任 意 点 P 与 圆 x ? y ? 4 x ? 3 ? 0 上 的 任 意 点 Q 5
4 5 ? 1, 故 选 A . 5

?? B ?
U

A

∴ 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为 {x | 1 ? x ? 2} , 故 选 B .

距离 d ?

2. 【答案】 A 【 解 析 】由 图 可 知 , z1 ? ?2 ? i , z2 ? i ,则 z1 ? z 2 ? ?2 ,∴ | z1 ? z 2 |? 2 ,故 选 A . 3. 【答案】 D 【 解 析 】 A 选 项 , 可 能 m ?? ,B 选 项 , 若 n ? ? , 则 n ? ? , 无 条 件 n ? ? , 直 线 n 与 平 面 ? 位 置 关 系 不 确 定 ,C 选 项 ,在 空 间 中 , l 与 m 可 能 平 行 ,可 能 异 面 , 可能相交, 故选 D . 4. 【答案】 B 【 解 析 】 由 约 束 条 件 | x | ? | y |? 1 , 作 出 可 行 域 如 图 , 设 z ? 2 x ? y , 则 y ? ?2 x ? z , 平 移 直 线 y ? ?2 x , 当 经 过 点 A(1, 0) 时 , z 取 得 最 大 值 2 , 当 经 过 点 B(?1,0) 时 , 之间的最近距离是

9. 【答案】 B 【解析】由三视图可知,该几何体由一个底面半径为 1,高为 1的圆柱,和一个半径 为 1的四分之一球构成的,故 V ? ? ? 10 . 【答案】 A 【 解 析 】在 Rt △ MF1 F2 中 , | F1 F2 |? 2c ,则 | MF2 |?

1 4 4 ? ? ? ? ,故选 B . 4 3 3

2 3c 4 3c , | MF1 |? ,由 双 曲 3 3

线 定 义 可 知 : | MF1 | ? | MF2 |? 2a , 即 11 . 【答案】 D

c 2 3c ? 2a , 化 简 得 ? 3 , 故 选 A . a 3

z 取得最小值 ? 2 ,故选 B .
5. 【答案】 D 【解析】由程序框图,输入 x ? 3 ,第 1次进入循环体, x ? 6,第 2 次进入循环体, x ? 21 ,第 3 次 进 入 循 环 体 , x ? 231 , 231 ? 100 成 立 ,输 出 结 果 x ? 231 ,故 选 D . 6. 【答案】 D

【 解 析 】 令 f ( x ) ? 0 , g ( x ) ? 0 , h( x ) ? 0 分 别 得 x ? 则 x1 , x2 , x3 分 别 为 函 数 y ? x 的 图 象 与 函 数 y ?

x ? 1, x ? ?2 x , x ? ? ln x ,

x ? 1 , y ? ?2 x , y ? ? ln x 的 图 象

3 2 tan ? 3 1 ? ? ,解 得 tan ? ? ?3 或 tan ? ? ,又 ? ? (0, ) , 【 解 析 】 tan 2? ? ,即 2 4 3 4 1 ? tan ? 4 1 sin? ? cos ? tan? ? 1 ? ? ?2 , 故 选 D . ∴ tan ? ? , 又 3 sin? ? cos ? tan? ? 1 7. 【答案】 D 【 解 析 】 观 察 茎 叶 图 , 甲 班 学 生 成 绩 的 平 均 分 是 86 , 故 x ? 8 , 乙 班 学 生 成 绩 的 中
数学试题(文科) 第 5 页 (共 4 页)

交 点 的 横 坐 标 , 在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 下 作 出 它 们 的 图 象 , 易 得 x1 ? 1 , x2 ? 0 ,

0 ? x3 ? 1 , 故 选 D .
12 . 【答案】 D 【 解 析 】 由 lg

1x ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? (1 ? a)n x ? ( x ? 1) lg n n
数学试题(文科) 第 6 页 (共 4 页)

1x ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? (1 ? a)n x ? n x ?1 , 即 1x ? 2 x ? ? ? (n ? 1) x ? (1 ? a)n x ? n x 得 n
即 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? an
x x x
x

两 个 根 , 由 韦 达 定 理 2m ? 3d ? 18 , 即 m ? 9 ?

3 d , 又 m(m ? 3d ) ? a , 2

(m ? d )(m ? 2d ) ? b ,
故 a ? b ? (9 ?

∴ a ? ( ) ? ( ) ??? (
x x

1 n

2 n

n ?1 x 1 2 n ?1 x ) ,令 f ( x) ? ( ) x ? ( ) x ? ? ? ( ) 由 于 n ? 2 ,故 n n n n
上 为 减 函 数 , 故

3 3 1 1 9 1 5 d )( 9 ? d ) ? (9 ? d )( 9 ? d ) ? 81 ? d 2 ? 81 ? d 2 ? 162 ? d 2 2 2 2 2 4 4 2

f ( x)



(??,1]

d 2 ? [0,16] , ∴ a ? b ? [122,162] , 即 a ? b 的 取 值 范 围 是 [122,162] .
17 . 【解析】 ( 1 ) 由 题 意 可 知 g ( x ) ? 2 sin[? ( x ? 由 于 S△ ABC ? 2分

?
4

f ( x) ? f (1) ?

1 1 2 n ? 1 1 n(n ? 1) n ? 1 1 ? ??? ? ? ? ? ,∴ a ? 即可, 2 n n n n 2 2 2

) ? ?]
………

故选 D . 13 . 【 答 案 】 60 【解析】

1 ? T ? ? 2? | BC |? ,则 | BC |? ? ,∴ T ? ? ,即 ? ? 2 2 2 2 2

2?3? 4 27 ? , 解 得 n ? 60 . 2 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ?1 n

?? 又 由 于 g (0) ? 2 sin(
5分 即

?
2

) ? 1 ,且 ?

?
2

?? ?

?
2

?

?
2

,则 ? ?

?
2

?

?
6

,∴ ? ?

2? ……… 3

14 【 答 案 】 (1,3) 【 解 析 】 设 c ? ( x, y) , 则 c ? a ? ( x ? 2, y ? 1) , c ? b ? ( x ? 1, y ? 2) , ∴ ( x ? 2)(x ? 1) ? ( y ? 1)( y ? 2) ? 0 化 简 得 : x ? x ? y ? 3y ? 0 ①
2 2

g ( x) ? 2 sin[ 2( x ?


?
4

)?

2? ? ] ? 2 sin( 2 x ? ) . 3 6

………6

( 2 ) g ( A) ? 2 sin( 2 A ? 则

?
6

) ? 1, 2 A ?

?

c?a c?b 又 a, b 在 非 零 向 量 c 上 的 投 影 相 等 , 则 , 即 y ? 3x ② ? c c
由 ① ② 联 立 得 : ∴ x ? 1 , y ? 3 , ∴ c ? (1,3) .

2A ?

?
6

?

A?


?
3

2 2

5? 6

? 13? ?( , ) 6 6 6
, ………8 分 ∴

n?2 15 . 【 答 案 】 f (2 ) ? 2 4 5 6 2 3 4 【 解 析 】 f (2 ) ? , f (2 ) ? , f (2 ) ? , 2 2 2 n?2 f (2 n ) ? . 2
n









b 2 ? c 2 ? 2bc c

A? oa2 ? s 5





f (2 5 ) ?

7 , 由 归 纳 推 理 得 ,一 般 结 论 为 2

5 ? b ? c ? bc ? bc … … … 10 分 1 5 3 ∴ S △ ABC ? bc sin A ? ,当 且 仅 当 b ? c ? 5 时 ,等 号 成 立 ,故 S?ABC 的 最 大 值 为 2 4 5 3 . 4
… … … 12 分 18 . 【解析】 ( 1) ∵ ∴

,162] 16 . 【 答 案 】 [122
【 解 析 】 设 4 个 实 数 根 依 次 为 m, m ? d , m ? 2d , m ? 3d , 由 等 差 数 列 性 质 , 不 妨 设

? xi ? 20 , ? yi ? 25, ∴ x ?
i ?1 i ?1

5

5

1 5 1 5 , x ? 4 y ? ? i ? yi ? 5 5 i ?1 5 i ?1

m, m ? 3d 为 x 2 ? 18x ? a ? 0 的 两 个 实 数 根 , 则 m ? d , m ? 2d 为 方 程 x 2 ? 18x ? b ? 0的

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?? b

?x y
i ?1 5 i

5

i

? 5x y ? 5x
2

?x
i ?1

?

2 i

112 ? 5 ? 4 ? 5 ? 1.2 90 ? 5 ? 4 2

DD1 ? AA1 ? 2 , DE ? 1 , D1E ? CD
∴ △ D1 ED 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ∴ ?DD1E ? 45? 连 结 CD1 , 则 CD1 ? DD1 , 且 CD1 ? 2 由 ( 1 ) BC ? 平 面 DCC 1 D1 , ∴ A 1 D1 ? 平 面 DCC 1 D1 ∴ A1 D1 ? CD1

………3 分

? x ? 5 ? 1.2 ? 4 ? 0.2 ? ? y ?b a
………5 分 ∴ 线 性 回 归 方 程 ………6

? ? 1.2 x ? 0.2 . y


∴ CD1 ? 平 面 A 1 ADD 1 ∴

CD1 ? B C



面 ………

? ? 1.2 ? 0 , ∴ 变 量 ( 2 ) ① 由 ( 1 ) 知 b
关. ………9 分

x 与 y 之 间 是 正 相

B1
9分 ∴

? ? 9.8 ( 万 元 ) ② 由( 1 )知 ,当 x ? 8 时 , y ,即 使 用 年 限 为 8 年 时 ,支 出 的 维 修 费
约 是 9 .8 万 元 . … … 12 分 19 . 【解析】 ( 1 ) 证 明 : ∵ 底 面 ABCD 和 侧 面 B CC 1 B1 是 矩 形 , ∴ BC ? CD , BC ? CC1 又 ∵ ……

1 1 1 1 V三棱锥D1 ? B1CB ? ? S△B1BC ? CD1 ? ? ? 1? 2 ? 2 ? 3 3 2 3
… … … 12 分 解法二: ∵ D1E ? CD , 且 AB ? 2 BC ? 2 ∴ 在



Rt



D1 ED





DD1 ? AA1 ? 2



DE ? 1





CD ? CC1 ? C
…4 分 ∴ BC ? 平 面 DCC 1 D1 ∵ D1 E ? 平 面 DCC 1 D1 ∴

D1 E ? 1
∴ 三 棱 锥 D1 ? B1CB 的 体 积 :

………9 分

1 V三棱锥D1 ? B1CB ? V四棱锥D1 ? B1C1CB 2 1 1 ? ? 2 ?1?1 ? . … 12 分 6 3
. 20 . 【解析】 ( 1) 由 离 心 率 e ? 又 因 为 2ab ? 2 2 , 所 以 a ? 数学试题(文科) 第 9 页 (共 4 页)

?

1 ? 6

V四棱柱ABCD? A1B1C1D1

?

1 ?S 6 四边形ABCD

?D1E

BC ? D1E
………6 分 ( 2) 解 法 一 :

2 2 ,得 b ? c ? a 2 2

2, b ? 1 ,
数学试题(文科) 第 10 页 (共 4 页)













程 ………4 分



证. ( 2 )

………5 分

x2 ? y2 ? 1. 2

x ?1 f ( x) ? 1 ? x e
………6 分



f ?( x) ?
消 y 得 : (1 ?

m ? y ? x?m ? ? 2 ( 2) 由 ? 2 ?x ? y2 ? 1 ?2 ?
4

m2 2 ) x ? 2m 2 x ? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2

x?2 , ex ∴ 0 ? x ? 2 时 , f ?( x) ? 0 , x ? 2 时 , f ?( x) ? 0 即 f ( x) 在 (0,2) 上 为 减 函 数 , 在 (2,??) 上 为 增 函 数


f ( x ) ? f ( 2) ? 1 ?
可化为 m2 ? 2 ? 0 得 … ………8 分 又

m2 )(2m 2 ? 2) ? 0 , 所 以 ? ? 4m ? 4(1 ? 2


1 e2
由 ( 1 ) ……

x ? ln x ? 1
… 10 分 ∴

? 2 ?m? 2.
……8 分 ( 3 ) 由 l :

( x ? ln x) f ( x) ? 1 ?
x? y?2?0 , 设
………9 分

x?0 ,



y?2 ,

1 e2







P(0,2)
设 M ( x, y ) 满 足
2 2

… … … 12 分 22 . 【解析】 ( 1 ) 因 为 PA 是 ⊙ O 的 切 线 , 切 点 为 A , 所

?PAE ?

?ABC ? 45?
, 所 以

以 ,

x ? y2 ? 1, 2
2 2 2 2 2

2

………1 分 PA ? PE 又

?PEA ?
………2 分

45 ?



?APE ? 90 ?

则 | PM | ? x ? ( y ? 2) ? 2 ? 2 y ? ( y ? 2) ? ? y ? 4 y ? 6 | ? ?( y ? 2) ? 10 因 以 当 为

2 因 为 PD ? 1 , DB ? 8 , 所 以 由 切 割 线 定 理 有 PA ? PD ? PB ? 9 , 所 以

?1 ? y ? 1

, … … … 11 分



EP ? PA ? 3 , … … … 4 分
所 以 △

ABP





积 ………5 分



y ? ?1






|

MP

|











1 27 BP ? PA ? . 2 2
( 2 ) 在

3.
21 【 解

… … … 12 分 析

Rt



APE

















】 ………

x ?1 g ?( x) ? , x
1分 当 0 ? x ? 1 时 , g ?( x) ? 0 , 当 x ? 1 时 , g ?( x) ? 0 即 数 ∴

AE ? 3 2
又 ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? DB ? DE ? 6 , 所 以 由 相 交

………6 分 弦 定 理 ………9 分 , 得

EC ? EA ? EB ? ED ? 12


g ( x)



(0,1)







函 数 , ………4 分

(1,??)








函 所 得 以

EC ?

12 3 2

?2 2



g ( x) ? g (1) ? 1
数学试题(文科) 第 11 页 (共 4 页)

数学试题(文科) 第 12 页 (共 4 页)

AC ? 5 2 .
23 . 【解析】 ( 1 ) 设 P( x, y ) , 由 题 设 可 知 , 则x?

… … … 10 分

2 1 | AB | cos( ? ? ? ) ? ?2 cos ? , y ? | AB | sin(? ? ? ) ? sin ? , 3 3

所 以 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ? ………5 分 ( 2) 由 ( 1) 得

? x ? ?2 cos? ? ? ? ? ? ). ( ? 为 参 数 , 2 ? y ? sin ?

| PD |2 ? (?2 cos? ) 2 ? (sin? ? 2) 2 ? 4 cos2 ? ? sin 2 ? ? 4 sin ? ? 4
2 28 ? ?3 sin 2 ? ? 4 sin ? ? 8 ? ?3(sin ? ? ) 2 ? . 3 3
当 sin ? ?

2 2 21 时 , | PD | 取 得 最 大 值 . 3 3
… … … 10 分

24 . 【解析】 ( 1 ) a ? b ? 2ab
2 2

∴ 2a 2 ? 2b 2 ? (a ? b) 2 , ∴ (a ? b) 2 ? 9 ∴ a ? b ? 3(当且仅当 a ? b ?

3 时取等号) 2
………5 分

又 m ? a ? b ,故 m ? 3 ,即 m 的最小值为 3. ( 2) 由 ( 1) a ? b ? 3

若 2 | x ? 1 | ? | x |? a ? b 对 任 意 的 a , b 恒 成 立 , 故 只 需 2 | x ? 1 | ? | x |? 3

x?0 x ?1 ? ? 0 ? x ?1 ? 或? 或? ? ?2(1 ? x) ? x ? 3 ?2(1 ? x) ? x ? 3 ?2( x ? 1) ? x ? 3
解 得

x??

1 3

或 … … … 10 分

x?

5 . 3

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