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2015.3.26高二学考复习---函数及单调性与最值


高二数学学考复习 ——函数及单调性与最值
嵊州长乐中学

知识梳理
1.函数与映射的概念
函数 两集合 A、B 设 A、B 是两个 非空的数集 映射 设 A、B 是两个 非空的集合

如果按照某种确定的对应关系 f, 如果按某一个确定的对应关系 f, 对应关系 f:A→B 使对于集合 A 中的 任意 一个数

使对于集合 A 中的任意一个元素

x,在集合 B 中都有 唯一确定的 x,在集合 B 中都有唯一确定 的元 数 f(x)和它对应 素 y 与之对应 称f:A→B为从集合 A 到集合 B 的 称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 一个函数 的一个映射

名称

知识梳理
2.函数的定义域、值域

(1)在函数 y=f(x), x∈A 中, 自变量 x 的取值范围(数集 A)叫做 函数的
定义域

;函数值的

集合{f(x)|x∈A}

叫做函数的值域.

(2)如果两个函数的

定义域

相同,并且 对应关系

完全一致,

则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示方法 表示函数的常用方法有 、 和

知识梳理
3.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则都有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?
f(x1)<f(x2)



(2)f(x)在区间 D 上是减函数? f(x1)>f(x2).

双基自测
1.函数 f ( x) ? ln(x 2 ? x) 的定义域为( C ) A. (0,1) B. [0,1] C. (??,0) ? (1,??) D. (??,0] ? [1,??)

2. 下列函数中,与函数 y ? x( x ? 0) 有相同图像的是( B ) A. y ?

x

2

B. y ?

? x?

2

C. y ?

3

x

3

x2 D. y ? x

3. 当x ???3,0?时,函数y ? x2 ? 2x ? 3的最小值是 ( B ) A.1 B.2 C.3 D.4

双基自测
3 1 ? ?x2-x+4,x≥0, ? 2或 1 2 . 4. 函数 f(x)=? 若 f(a)= ,则实数 a 的值为________ 2 ? ?2x+1,x<0, 5.函数 函数y ? (2k ? 1) x ? b在R上是减函数,则k的范围是 6. 函数f(x)=x ? 2x, x ???2,3?的单调增区间为
2

k??

1 2

?1,3?



f ( x)max ?

8

例题分析
例 1:函数 f ( x) ?

1 (log2 x) ? 1
2

的定义域为(

C)
D. (0, ] ? [2,?? )

A. (0, )

1 2

B. (2,??)

C. (0, ) ? (2,?? )

1 2

1 2

1 ? ?log2x,x>0, 例 2:已知函数 f(x)=? 则 f(f(4))=( B ) ? ?f?x+3?,x≤0, A.-2 B.0 C .1 D.2

例题分析
例 3:函数 f ( x) ? log 1 (x 2 ? 4) 的单调递增区间为(
2

) D.(-∞,-2)

A.(0,+∞)

B.(-∞,0)

C.(2,+∞)

解析: x2 ? 4 ? 0 ? x ? ?2或x ? 2,?定义域为? ??, ?2? ? ? 2, ??? 令 x2 ? 4 ? ?, 则 y ? log 1 ? ,
2

要找 y ? log 1 x2 ? 4 的递增区间, y ? log 1 ?单调递减,由复合函数单调性,
2

?

?

2

则需找? =x2 ? 4的递减区间? ??, ?2? 所以选 D

例题分析
x-1 例 4:已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值.

[解] (1)证明 设任取 x1,x2∈[3,5]且 x1<x2, x1-1 x2-1 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 3?x1-x2? = , ?x1+2??x2+2? ∵3≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0, (x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在[3,5]上为增函数.

例题分析
x-1 例 4:已知函数 f(x)= ,x∈[3,5]. x+2 (1)判断函数 f(x)的单调性,并证明; (2)求函数 f(x)的最大值和最小值.

(2)由(1)知 f(x)在[3,5]上为增函数, 4 2 则 f(x)max=f(5)= ,f(x)min=f(3)= . 7 5

变式训练
设 f(x)=x2-2ax(0≤x≤1)的最大值为 M(a),最小值为 m(a). 试求 M(a)及 m(a)的表达式
[解] f(x)=x2-2ax=(x-a)2-a2,x∈[0,1]. 当 a≤0 时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=f(0)=0; 1 当 0<a≤ 时,M(a)=f(1)=1-2a,m(a)=-a2; 2 1 当 <a≤1 时,M(a)=f(0)=0,m(a)=-a2; 2 当 a>1 时,M(a)=f(0)=0,m(a)=f(1)=1-2a. 1 ? 1 - 2 a , a ≤ , ? 2 综上, M(a)=? ?0, a>1, 2 ? ?0, a≤0, ? 2 m(a)=?-a , 0<a≤1, ?1-2a, a>1. ?

课堂小结
(1)你熟悉了常见函数的定义域吗? (2)你对常见函数的单调性掌握了吗?你理 解了单调性的定义吗?
(3)你体会了单调性在求最值中的重要性吗? (4)你掌握了分段函数的常见处理方法吗


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