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2014届高三数学重点难点高频考点串讲三


2014 届高三数学重点难点高频考点串讲三
x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? 1 . 已 知 函 数 f ( x) ? 1 ? x ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013
F ( x) ? f ( x ? 3) ? g

( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为
( ) A、11 【答案】B 【解析】 试 题 分 B、10 C、9 D、8





f ' ( x) ? 1 ? x ? x2 ? x3 ? L ? x2012 ? 1? x2 ? L ? x2012 ? ( x ? x3 ? L ? x2011)

1 ? ( x 2 )1012 x(1 ? ( x 2 )1011 ) 1 ? x 2024 ? x ? x 2023 1 ? x 2023 ? ? ? ? ? 0 , 所 以 f ( x) 在 R 上 单 调 递 增 , 1? x 1 ? x2 1 ? x2 1 ? x2
f (0) ? 1 ? 0 , f (?1) ? 1 ? 1 ?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 0 , 所 以 f ( x) ? 0 的 零 点 在 (?1, 0) 上 , 而 2 3 4 2013


g ' ( x) ? ?

1 ? x 2023 ?0 1? x





g ( x)



R













g(

0 ? ? )

, 1

0

g (1) ? 1 ? 1 ?

22 23 24 22013 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? 0 , g (2) ? 1 ? 2 ? ? ? ? ... ? ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 的 2 3 4 2013 2 3 4 2013

零点在 (1, 2) 上,函数 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,

f ( x ? 3) 的零点在 (?4, ?3) 上, g ( x ? 4) 的零点在 (5, 6) 上, b ? a 的最小值为 6 ? 4 ? 10 .
考点:1、导数的应用, 2、根的存在性定理.
x x ?1 2. 已知集合 A ? {x | a ? 4 ? 2 ? 1 ? 0}, B ? {x |

A、 ( ,8] 【答案】B 【解析】

5 4

B、 [ ,8)

5 4

2x ? 1} , 若A x ?1 5 C、 [ ,8] 4

B ? ?, 则实数 a 的取值范围为 (
D、 ( ,8)



5 4

x x ?1 试 题 分 析 : 由 a ? 4 ? 2 ?1 ? 0 得 , a ?

2 x ?1 ? 1 1 1 1 2 ? x ? 2 x ? ( x ? 1) x 4 4 2 2

? 1由 ,

2x ?1 , 即 x ?1

2x 2 x? x? 1 x? 1 ?1 ? 0 , ? ?, 0 解 得 ?1 ? x ? 1 , 若 A B ? ? , 则 方 程 a ? 4 x ? 2 x ?1 ? 1 ? 0 在 x ?1 x ?1 x ?1 1 1 5 1 5 ?1 ? x ? 1 上有解,当 ?1 ? x ? 1 时 ? x ? 2, ? ( x ? 1) 2 ? 1 ? 8 ,故 ? a ? 8 . 2 2 4 2 4
考点:1、指数方程, 2、分式不等式的解法.

1 1 3.已知函数 f (x) 满足f (x) ?2 f ( ), 当 x ?[1,3], f ( x) ? ln x ,若在区间[ , 3] 内,函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 与 3 x ) x 轴有 3 个不同的交点,则实数 a 的取值范围是(


A、 (0, ) 【答案】C 【解析】

1 e

B、 (0,

1 ) 2e

C、 [

ln 3 1 , ) 3 e

D、 [

ln 3 1 , ) 3 2e

试题分析:由题意可知当

x 区 间 [ , 1]内 , 则 ?[1,3] , f ( x) ? 2 f ( ) ? 2 ln ? ?2 ln x , 则

1 3

1 x

1 x

1 x

1 ? x ? [ , 1) ) ??2 l nx ( 函数 g (x) ? f (x) ?ax 与 x 轴有 3 个不同的交点,即 f ( x) ? ax ? 0 有三个根,即 f ( x) ? ? 3 ? ? ln x( x ?[1,3])
1 f ( x) ? ax ,有三个根,即函数 f ( x) 的图像与直线 y ? ax 有三个交点,当 x 区间[ ,1] 上,函数 f ( x) 的图像与直 3
线 y ? ax 有一个交点,只有当 x ?[1,3]上时,函数 f ( x ) 的图像与直线 y ? ax 有两个交点,这是满足直线 y ? ax 过 (3,ln 3) 点,到直线与 f ( x ) 相切,当直线 y ? ax 过 (3,ln 3) 点时,此时 a 的值满足 ln 3 ? 3a ,即 a ?

ln 3 ,当 3

直线与 f ( x ) 相切时,设切点为 ( x0 ,ln x0 ) ,点 ( x0 ,ln x0 ) 在直线上,故 ln x0 ? ax0 ,而 a ? (ln x) x ? x0 ?

1 , x0

ln x0 ? 1 , x0 ? e ,即 a ?

ln 3 1 1 1 , ). ? ,函数 f ( x) 的图像与直线 y ? ax 有三个交点,则 a 取值范围是[ 3 e x0 e

考点:1、对数函数的图象与性质, 2、导数的几何意义. 4.方程 2a ? 9
sin x

? 4a ? 3sin x ? a ? 8 ? 0 有解,则 a 的取值范围(
B、 a ? 0 D、



A、 a ? 0 或 a ? ?8 C、 0 ? a ? 【答案】D 【解析】 试题分析:方程 2a ? 9

8 31

8 72 ?a? 31 23

1 ? 3s i nx 3

8 ? 1 , 因为 ?1 ? sinx ? 1, 所以 a 32 32 8 8 72 ? 3, ? 2(3sin x ? 1)2 ? 32 ,即 ? ? 1 ? 32 ,解得 ? a ? . 9 9 a 31 23
si nx

? 4a ? 3si nx ? a ? 8 ? 0 有解 , 即 2(3sin x ? 1) 2 ?

考点:1、方程有解问题, 2、二次函数值域.
?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 5.已知函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是( ? ( x>1) ?x



A、 ?3 ≤ a <0 【答案】B 【解析】

B、 ?3 ≤ a ≤ ?2

C、 a ≤ ?2

D、 a <0

?? x 2 ? ax ? 5, ( x ? 1) ? 2 试题分析:函数 f ( x) ? ? a 是 R 上的增函数,则 ? x ? ax ? 5,( x ? 1) 单调递增,故它的对称 ( x > 1 ) ? ?x



轴?

a a ? 1 , 即 a ? ?2 , 此 时 ( x ? 1) 也 单 调 递 增 , 要 保 证 在 R 上 是 增 函 数 , 只 需 在 x ? 1 满 足 2 x a ?12 ? a 1 ? 5 ? ,即 a ? ?3 ,综上所述 a 的取值范围是 ?3 ? a ? ?2 . 1

考点:函数的单调性. 6.已知函数 f ( x) ? log2 ( 1 ? 4 x 2 ? 2 x) ,则 f (tan A. ?1 B. 0 【答案】B 【解析】 C. 1 D. 2

?
5

) ? f (tan

4? ) ?( 5



试题分析:因为 f (? x) ? log 2 ( 1 ? 4 x 2 ? 2 x) ? log 2 ( 所以 f(x)为奇函数,且 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,又 tan 考点:函数奇偶性的应用.

1 1? 4x ? 2x
2

) ? ? log 2 ( 1 ? 4 x 2 ? 2 x) ? ? f ( x) ,

?
5

? ? tan

4? ? 4? ) ? 0. ,所以 f (tan ) ? f (tan 5 5 5

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点重合,它们在第一象限内的交点 a 2 b2 为 T ,且 TF 与 x 轴垂直,则椭圆的离心率为( )
7.已知抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 与椭圆
2

A.

3? 2

B. 2 ? 1

C.

1 2

D.

2 2

【答案】B 【解析】

x2 y 2 试题分析: 由题意得 c=1, F (1, 0) , 得 y=2 或 y=-2 (舍) , 将 x=1 代入 y ? 4 x , 即 T (1, 2) , 代入 2 ? 2 ? 1 a b
2

4a 2 ? b2 ? a 2b2
化简得 ,即

4a2 ? (a2 ?1)b2
,又 c=1,则

b2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? 1
,所以

4a 2 ? (a2 ? 1)2
,所

2a ? a2 ?1 ? a ? 2 ? 1
以 ,则

e?

1 ? 2 ?1 2 ?1 .

考点:椭圆、抛物线的焦点,离心率.

x2 y 2 ? ? 1} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是( 8.设集合 A ? {? x, y ? | 4 16
A.4 【答案】A 【解析】 B.3 C .2 D.1



试题分析:椭圆与指数函数图像有两个交点,即 A ? B 含两个元素,子集个数为 4. 考点:椭圆与指数函数图像,子集个数.
2 2 9. 已知命题 p : ?x ?[1, 2], x ? 1 ? a ,命题 q : ?x ? R, x ? 2ax ? 1 ? 0 ,若命题“ p ? q ”为真命题,则

实数 a 的取值范围是 ( A. a ? ?2或a ? 1

) B. a ? ?1或1 ? a ? 2


C. a ? 1 【答案】B 【解析】

D. ?2 ? a ? 1

试题分析:由 p 真得 a ? x 2 ? 1 ,而 x 2 ? 1 最小值为 2 ,所以 a<2. 由 q 真得, ? ? (2a)2 ? 4 ? 0 ,即

a2 ?1 ? 0 ? a ? 1 或 a ? ?1.“ p ? q ”为真命题,得 a ? ?1或1 ? a ? 2 .
考点:命题的真假判断. 3 2 2 10.若函数 f(x)=x +ax +bx+c 有极值点 x1,x2,且 f(x1)=x1,则关于 x 的方程 3(f(x)) +2af(x)+b= 0 的不同实数根的个数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】 试题分析:求导得 f ??x? ? 3x ? 2ax ? b ,显然 x1 , x 2 是方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的二不等实根,不妨设
2
2

x1 ? x 2 ,于是关于 x 的方程 3(f(x))2+2af(x)+b=0 的解就是 f ?x? ? x1 或 f ?x? ? x2 ,根据题意画图:

所以 f ?x ? ? x1 有两个不等实根, f ?x ? ? x2 只有一个不等实根,故答案选 A. 考点:导数、零点、函数的图象 11 .已知函数 f ? x ? ? ? 1

? log3 x , 0 ? x ? 3 ? ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d ,满足 f ? a? ? f ? b? ? f ? c? 10 2 x ? x ? 8, x ? 3 ?3 3 ?
.

? f ? d ? ,其中 d ? c ? b ? a ? 0 ,则 abcd 的取值范围是
【答案】 ? 21,24? . 【解析】 试题分析:如下图所示,



y x=5

1 O a 1 b 3c 4 6 d x

1? b ? 3, 由图形易知 0 ? a ? 1 , 则 f ? a ? ? log3 a ? ? log3 a ,f ?b ? ? log3 b ? log3 b , f ? a ? ? f ?b ? ,
1 10 ?? log3 a ? log3 b ,? ab ? 1 ,令 x 2 ? x ? 8 ? 0 ,即 x2 ? 10x ? 24 ? 0 ,解得 x ? 4 或 x ? 6 ,而二 3 3 1 2 10 x ? 8 的图象的对称轴为直线 x ? 5 ,由图象知, 3 ? c ? 5 , d ? 5 ,点 ? c, f ? c ?? 和点 次函数 y ? x ? 3 3 10 c?d x2 ? x ? 8 的 图 象 上 , 故 有 ? 5 , ? d ? 10 ? c , 由 于 ? d , f ? d ?? 均 在 二 次 函 数 y ? 1 3 3 2 1 2 10 f ? 3? ? ? 3 ? ? 3 ? ? 8 ,当 1 1 ? x ? 3 时, f ? x ? ? log3 x ? log3 x ,?0 ? log3 x ? 1 , 1 ? b ? 3 , 3 3

?0 ? f ? b ? ? 1,

f ?b? ? f ? c ? ,?0 ? f ? c ? ? 1,由于函数 f ? x ? 在 ? 3,5? 上单调递减,且 f ? 3? ? 1 ,

f ? 4? ? 0 ,? 3 ? c ? 4 ,?abcd ? 1? cd ? cd ? c ?10 ? c ? ? ?c2 ?10c
? ? ? c ? 5 ? ? 25 , 3 ? c ? 4 ,? 21 ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ? 24 ,即 21 ? abcd ? 24 .
2 2

考点:函数的图象、对数函数、二次函数的单调性 12.已知 | a |? 4,| b |? 3,(2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 61 .则 a, b 的夹角为_______________. 【答案】 120 【解析】 试题分析: | a |? 4,| b |? 3, 61 ? (2a ? 3b) ? (2a ? b) ? 4a ? 4a ? b ? 3b ? 64 ? 4a ? b ? 27 ,? a ? b ? ?6 ,
2 2
0

cos a, b ?

a ?b a b

?

?6 1 ? ? ,则 a, b 的夹角为 1200 . 4?3 2
.

考点:向量的数量积. 13.若不等式 | x ? 1 |? kx ? 2 对一切实数恒成立,则实数 k 的取值范围是 【答案】 k ? [?1,1] 【解析】

试题分析:有图像可知: k ? [?1,1] 时,的图像 y ? kx 的图像恒在 y ? x ?1 ? 2 的图像的下面.



12

10

y=x-1+2
8 6 4

y=kx
2 15 10 5 5 10 15 20 2

考点:不等式恒成立问题.
6

4

14.定义在 C ( x ) ?
8 10

1 2 10000 x ? 10 x 上的函数 C ( x) ? 51x ? ? 1450 满足 L( x) .若当 x 时. f ( x) ? x(1 ? x) , 3 x
.

?2 x3 , x ? 0 ? 则当 ?1 ? x ? 0 时, f ( x) ? ? ?= ? tan x , 0 ? x ? ? ? 2
【答案】 f ( x) ? ? 【解析】 试 题

x( x ? 1) 2
析 : 当



?1 ? x ? 0



,

0 ? x ?1 ? 1

,



?2 x3 , x ? 0 1 1 1 ? f ( x) ? ? ? ? 2 f ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)[1 ? ( x ? 1)] ? ? 2 x( x ? 1) ?? tan x, 0 ? x ? ? 2
考点:分段函数解析式求法.

x2 y 2 15.如图,已知过椭圆 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左顶点 A ? ?a,0 ? 作直线 l 交 y 轴于点 P ,交椭圆于点 Q , a b
若 ?AOP 是等腰三角形,且 PQ ? 2QA ,则 椭圆的离心率为 .

【答案】 【解析】

2 5 . 5

试题分析:由于 ?AOP 为等腰三角形,且 ?AOP ? 90 ,故有 AO ? OP ? a ,则点 P 的坐标为 ? 0, a ? ,设 点 Q 的 坐 标 为 ? x, y ? , PQ ? ? x, y ? ? ? 0, a ? ? ? x, y ? a ? , QA ? ? ?a,0 ? ? ? x, y ? ? ? ?a ? x, ? y ? ,



2 ? x?? a ? ? x ? 2 ? ? ?a ? x ? ? ? 2a a ? 3 ,解得 ? ,即点 Q 的坐标为 ? ? , ? ,将点 Q 的坐标代入 PQ ? 2QA ,则有 ? a 3 3? ? ? y ? a ? ?2 y ?y ? ? 3 ?
椭 圆 的 方 程 得 ??

c2 4 ? 2 ? 1 ?a? 1 2 2 2 2 2 a ? 5 a ? c ? ? , , 解 得 , 即 , a ? 5 b a? ? 2 ?? ? ? 2 ?1 ? ? a2 5 ? 3 ? a ?3? b

2

2

?e ?

c 2 5 . ? a 5

考点:共线向量、椭圆的离心率 16.已知复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 z ? 【答案】 2 . 【解析】 试题分析: .

iz ? 1 ? i ,? z ?

1? i ? ?i ? 1 ? 1 ? i , z ? 12 ? ? ?1? 2 ? 2 . i
.

考点:复数的除法运算、复数的模 17.曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 【答案】 y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0 . 【 解析】 试题分析: y ? x ? sin x ,? y? ? 1 ? cos x , 当 x ? 0 时,y? ? 1 ? cos 0 ? 2 , 故曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程是 y ? 0 ? 2 ? x ? 0? ,即 y ? 2 x 或 2 x ? y ? 0 . 考点:利用导数求函数图象的切线方程 18 .如图,在 ?ABC 中, D 、 E 分别为边 BC 、 AC 的中点 . F 为边 AB 上的点,且 AB ? 3 AF ,若

AD ? x AF ? y AE, x, y ? R ,则 x ? y 的值为

.

【答案】 【解析】

5 . 2
D


试 题 分 析 :

BC 的 中 点 , ? BD ?

1 1 1 1 BC ? AC ? AB ? AC ? AB , 2 2 2 2

?

?

? AD ? AB ? BD


3 1 1 1 1 3 ?1 ? 1 ? AB ? ? AC ? AB ? ? AB ? AC ? ? 3 AF ? ? 2 AE ? AF ? AE ? x AF ? y AE , ? x ? , 2 2 2 2 2 2 ?2 ? 2
y ? 1 ,? x ? y ?

3 5 ?1 ? . 2 2

考点:平面向量的基底表示 19.已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ,满足: Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)若数列 {bn } 的满足 bn ? log2 (an ? 2) , Tn 为数列 { 【答案】 (Ⅰ) an ? 2n?1 ? 2 ; (Ⅱ)详见解析. 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 求数列 {an } 的通项 an ,由已知 Sn ? 2an ? 2n(n ? N * ) ,而 an 与 Sn 的关系为 an ? Sn ? Sn?1 , 代 入 整 理 得 an ? 2an?1 ? 2 , 可 构 造 等 比 数 列 求 通 项 公 式 ; ( Ⅱ ) 由 bn ? log2 (an ? 2) , 可 求 出

1 bn } 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? 2

bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ?1 ,从而得

bn n ?1 ? n ?1 , 显然是一个等差数列与一个等比数列对应项 an ? 2 2
1 . 2

积组成的数列,可用错位相减法求数列的和,可证 Tn ?
*

试题解析: (Ⅰ)解:当 n ? N 时, Sn ? 2an ? 2n ,则当 n ? 2 时, Sn?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) 两式相减得 an ? 2an ? 2an?1 ? 2 ,即 an ? 2an?1 ? 2 ,∴ an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) ,∴

an ? 2 ? 2 ,当 n ? 1 时, an?1 ? 2

S1 ? 2a1 ? 2 ,则 a1 ? 2 ,∴ {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列,
∴ an ? 2 ? 4 ? 2n?1 ,∴ an ? 2n?1 ? 2 ; ( Ⅱ ) 证 明 : bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1 ,∴

2 3 bn n ?1 ? n ?1 , 则 Tn ? 2 ? 3 ? 2 2 an ? 2 2
式 相 减

?

n ?1 , 2n ?1


1 2 3 Tn ? 3 ? 4 ? 2 2 2

?

n n ?1 ? n?2 n ?1 2 2

,



1 1 (1 ? n ) 1 1 1 n ?1 3 n ? 3 1 2 1 1 1 n ?1 1 2 ? n ?1 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? n ? 2 , Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? 4 n?2 1 4 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 1? 2 3 n?3 n ? 3 n ? 2 n ?1 1 ? Tn ? ? n ?1 ,当 n ? 2 时, Tn ? Tn ?1 ? ? n ?1 ? n ? n ?1 ? 0 , ∴ {Tn } 为递增数列,∴ Tn ? T1 ? 2 2 2 2 2 2
考点:1、由 Sn 求数列的通项公式, 2、错位相减法求数列的和.


20.已知 a ? R ,函数 f ( x) ? x 3 ? 3 x 2 ? 3ax ? 3a ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 x ? [0,2] 时,求 | f ( x) | 的最大值.

? ?3 ? 3a, (a ? 0) ? 3 【答案】 (1) 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 , (2) | f ( x) |max ? ?1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a , (0 ? a ? ) 4 ? 3 ?3a ? 1, (a ? ) ? 4
【解析】 试题分析: (1)导数几何意义即切线的斜率; (2)求导数,列表判断单调性,分情况讨论. 试题解析:(Ⅰ)由已知得: f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3a ? f ?(1) ? 3a ? 3 ,且

f (1) ? 1 ? 3 ? 3a ? 3 ? 3a ? 1 ,所以所求切线方程为: y ? 1 ? (3a ? 3)( x ? 1) ,
即为: 3(a ? 1) x ? y ? 4 ? 3a ? 0 ; ( Ⅱ ) 由 已 知 得 到 : f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3a ? 3[ x( x ? 2) ? a ] , 其 中 ? ? 4 ? 4a , 当 x ? [0, 2] 时, x( x ? 2) ? 0 , (1) 当 a ? 0 时 , f ?( x) ? 0 , 所 以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上 递 减 , 所 以 | f ( x) | max ? {| f (0) |, | f (2) |} , 因 为

f (0) ? 3(1 ? a ), f (2) ? 3a ? 1? f (2) ? 0 ? f (0) ?| f (x ) |max ? f (0) ? 3 ? 3a ;
(2)当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 a ? 1 时, f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 在 x ? [0, 2] 上递增,所以

| f ( x) |max ? {| f (0) |, | f (2) |} ,因为
f (0) ? 3(1 ? a), f (2) ? 3a ? 1? f (0) ? 0 ? f (2) ?| f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1 ;
(3)当 ? ? 4 ? 4a ? 0 ,即 0 ? a ? 1 时,

f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3a ? 0 ? x1 ? 1 ? 1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a

,且 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,即

x

0

(0, x1 )
+

x1
0 极大值

( x1 , x2 )
递减

x2
0 极小值

( x2 , 2)
+ 递增

2

f ?( x)

f ( x)

3 ? 3a

递增

3a ? 1

所以 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a , f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ,且

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ? 0, f ( x1 ) f ( x2 ) ? 1 ? 4(1 ? a)3 ? 0, 所以 f ( x1 ) ?| f ( x2 ) | ,
所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f (2), f ( x1 )} ;


由 f (0) ? f (2) ? 3 ? 3a ? 3a ? 1 ? 0 ? 0 ? a ? (ⅰ)当 0 ? a ?

2 ,所以 3

2 时, f (0) ? f (2) ,所以 | f ( x) |max ? max{ f (0), f ( x1 )} ,因为 3

f ( x1 ) ? f (0) ? 1 ? 2(1 ? a) 1 ? a ? 3 ? 3a ? 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a) ?


a 2 (3 ? 4a) 2(1 ? a) 1 ? a ? (2 ? 3a)

,又因

0?a?

2 3

,





2 ? 3a ? 0, 3 ? 4a ? 0

,





f ( x1 ) ? f (0) ? 0

,





| f ( x ) |max ? f ( x1 ) ? 1? 2(1? a ) 1? a
( ⅱ ) 当

2 ? a ? 1 时 , f (2) ? 0, f (0) ? 0 , 所 以 | f ( x ) |max ? max{ f (2), f (x1 )} , 因 为 3

f ( x1 ) ? f (2) ? 1? 2(1? a ) 1? a ? 3 a ? 1? 2(1? a ) 1? a ? (3 a ? 2)?

a 2 (3 ? 4a ) 2(1 ? a ) 1 ? a ? (3a ? 2)

,此时

2 ? a ? 1 时, 3 ? 4a 是大于零还是小于零不确定,所以 3 2 3 ① 当 ? a ? 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ?| f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a ; 3 4 3 ② 当 ? a ? 1 时, 3 ? 4a ? 0 ,所以 f ( x1 ) ?| f (2) | ,所以此时 | f ( x) |max ? f (2) ? 3a ? 1 4

3a ? 2 ? 0 ,当

? ?3 ? 3a, (a ? 0) ? 3 综上所述: | f ( x) |max ? ?1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a , (0 ? a ? ) 4 ? 3 ?3a ? 1, (a ? ) ? 4
考点:导数几何意义,利用导数求极值,分类讨论思想. 21.已知 f ( x) ? ? 4 ? 数列 {an } 的通项公式;
2 * (Ⅱ)设数列 {an ? an?1 } 的前 n 项和为 Sn ,若对于任意的 n ? N ,使得 S n ? t ? t ?

1 1 ,点 Pn (an , ? (Ⅰ)求 ) 在曲线 y ? f ( x) 上 n ? N * , 且a1 ? 1, an ? 0. (Ⅰ) 2 x an?1

2

2

1 恒成立,求最小正整 2

数 t 的值.

an ?
【答案】 (1)

1 ; 4n ? 3 (2)2.

【解析】 试题分析: (1)数列是点函数,代入函数解析式,可判断数列为等差数列; (2)由通项公式裂项变形,利 用错位相消法求和. 试题解析: (1)由题意得: ?

1 a n ?1

? f (a n ) ? ? 4 ?

1 an
2

且a n ? 0 ,

10

1 a n ?1


? 4?

1 an
2

,∴数列 {

1 an
2

} 是等差数列,首 项
1

1 an
2

? 1 ,公差 d=4,

1 1 2 ? ? 4n ? 3 ,? a n 2 4n ? 3 an
2 2

? an ?

4n ? 3 ;

(2) an ? an ?1 ? 由 Sn ?

1 1 1 1 ? ?( ? ) , (4n ? 3)(4n ? 1) 4 4n ? 3 4n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ?( ? )] ? (1 ? ), 4 1 5 5 9 4n ? 3 4n ? 1 4 4n ? 1 * 1 1 1 3 2 t ? ,∴t 的最小正整数为 2 . ∵ n? N , ∴ S n ? ,? ? t ? t ? ,解得 4 4 2 2
考点:函数与数列关系,等差数列判断,裂项法求数列和. 22.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 ( a ? 1 ) . (1)若 f ( x) 的定义域和值域均是 ?1,

a? ,求实数 a 的值;

1, (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?
【答案】 a ? 2 ; 1 ? a ? 3

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

【 解析】 试题分析: (1)由二次函数性质,结合定义域、值域,列出等式求解.通常要配方化为二次函数的顶点式, 根据定义域及 对称轴确定单调区间; (2)根据单调性求出最大值和最小值,再解不等式. 试题解析: (1)∵ f ( x) ? ( x ? a) 2 ? 5 ? a 2 ( a ? 1 ),∴ f ( x ) 在 ?1, 为 ?1,

a ? 上是减函数,又定义域和值域均

? f (1) ? a a ? ,∴ ? , ? f (a ) ? 1

即?

? 1 ? 2a ? 5 ? a 2 2 ?a ? 2a ? 5 ? 1

, 解得 a ? 2 . (5 分)

(2)若 a ? 2 ,又 x ? a ? ?1,

a ? 1?,且, (a ? 1) ? a ? a ? 1
2

∴ f ( x) max ? f (1) ? 6 ? 2a , f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a . ∵对任意的 x1 , x2 ? ?1,

a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,

2 ∴ f ( x) max ? f ( x) min ? 4 , 即 (6 ? 2a) ? (5 ? a ) ? 4 ,解得 ? 1 ? a ? 3 , 2 又 a ? 2 , ∴ 2 ? a ? 3 .若 1 ? a ? 2, f max ( x) ? f (a ? 1) ? 6 ? a2 , f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a ,

f ( x) max ? f ( x) min ? 4 显然成立, 综上 1 ? a ? 3 .

(12 分)

考点:函数得定义域、值域、单调性、最大值与最小值. 23.如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面为平行四边形, PD ? 平面 ABCD , M 为 PC 中点.

11

(1)求证: AP // 平面 MBD ; (2)若 AD ? PB ,求证: BD ? 平面 PAD . 【答案】 (1)详见解析; (2)详见解析. 【解析】 试题分析: (1) 根据平行四边形对角线互 相平分的这个性质先连接 AC , 找到 AC 与 BD 的交点 O 为 AC 的 中点,利用三角形的中位线平行于底边证明 AP //OM ,最后利用直线与平面平行的判定定理证明 AP // 平 面 MBD ; (2)先证明 AD ? 平面 PBD ,得到 AD ? BD ,再由已知条件证明 BD ? PD ,最终利用直线 与平面垂直的判定定理证明 BD ? 平面 PAD . 试题解析: (1)连接 AC 交 BD 于点 O ,连接 OM , 因为底面 ABCD 是平行四边形,所以点 O 为 AC 的中点, 又 M 为 PC 的中点,所以 OM //PA , 4分 因为 OM ? 平面 MBD , AP ? 平面 MBD ,所以 AP // 平面 MBD 6分 P
M D O A B C

(2)因为 PA ? 平面 ABCD , AD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD , 8分 因为 AD ? PB , PD PB ? P , PD ? 平面 PBD , PB ? 平面 PBD ,所以 AD ? 平面 PBD , 因为 BD ? 平面 PBD ,所以 AD ? BD , 10 分 因为 PD ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? BD , 12 分 又因为 BD ? AD , AD PD ? D , AD ? 平面 PAD , PD ? 平面 PAD , 所以 BD ? 平面 PAD 考点:直线与平面平行、直线与平面垂直 14 分

C 所对的边分别为 a 、 b 、c . 24. 在锐角 ?ABC 中,A 、B 、 已知向量 m ? ? , cos A ? ,n ? ? sin A, ?
且m? n. (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 7 , b ? 8 ,求 ?ABC 的面积. 【答案】 (1) A ? 60 ; (2) S?ABC ? 10 3 . 【解析】 试题分析: (1)先根据平面向量垂直的等价条件得到等式

?1 ?2

? ?

? ? ?

3? ?, 2 ? ?

1 3 sin A ? cos A ? 0 ,再利用弦化切的思想求 2 2
12

出 tan A 的值,最终在求出角 A 的值; (2)解法一:在角 A 的大小确定的前提下,利用正弦定理与同角三 角函数之间的关系求出 sin B 和 cos B , 并利用 sin C ? sin ? A ? B ? 结合和角公式求出 sin C 的值, 最后利用

1 ab sin C 求出 ?ABC 的面积;解法二:利用余弦定理求出 c 的值,并对 c 的值进行检验, 2 1 然后面积公式 S ?ABC ? bc sin A 求出 ?ABC 的面积. 2
面积公式 S?ABC ? 试题解析: (1)因为 m ? n ,所以 m ? n ? 0 ,则

1 3 sin A ? cos A ? 0 , 2 2

4分

因为 0 ? A ? 90 ,所以 cos A ? 0 ,则 tan A ? 3 ,所以 A ? 60 (2)解法一:由正弦定理得

7分

a b ? ,又 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 , sin A sin B
9分

则 sin B ?

1 8 4 3 ,因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 cos B ? , sin 60 ? 7 7 7

因为 sin C ? sin ? A ? B ? ? sin A cos B ? cos A sin B ? 所以 S ?ABC ?

3 1 1 4 3 5 3 , 12 分 ? ? ? ? 2 7 2 7 14
14 分

1 ab sin C ? 10 3 2

解法二:因为 a ? 7 , b ? 8 , A ? 60 ,
2 所以由余弦定理可知, 49 ? 64 ? c ? 2 ? 8c ?

1 2 ,即 c ? 8c ? 15 ? 0 ,解得 c ? 3 或 c ? 5 , 2

2 2 2 当 c ? 3 时, c ? a ? b ? 9 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,不合乎题意; 2 2 2 当 c ? 5 时, c ? a ? b ? 25 ? 49 ? 64 ? 0 ,所以 cos B ? 0 ,合乎题意;

所以 S ?ABC ?

1 bc sin A ? 10 3 2

14 分

考点:正弦定理、余弦定理、同角三角 函 数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式 25.解不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 1 . 【答案】 ? ??,0? 【解析】 试题分析:先构造函数 f ? x ? ? x ? 2 ? x ?1 ,去绝对值,将函数的解析式利用分段函数的形式求出,将问 题转化为分段不等式进行求解. 试题分析:令 f ? x ? ? x ? 2 ? x ?1 , 当 x ? ?2 时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? ? x ? 2? ? ?1 ? x ? ? ?3 , 此时 f ? x ? ? x ? 2 ? x ?1 ? 1恒成立; 3分
13

当 ?2 ? x ? 1 时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? x ? 2? ? ?1 ? x ? ? 2x ?1 , 令 f ? x ? ? 1 ,即 2 x ? 1 ? 1 ,解得 x ? 0 ,由于 ?2 ? x ? 1 ,则有 ?2 ? x ? 0 ; 当 x ? 1 时, x ? 2 ? 0 , x ? 1 ? 0 ,则 f ? x ? ? ? x ? 2? ? ? x ?1? ? 3, 此时 f ? x ? ? 1 不成立, 综上所述,不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 1 的解集为 ? ??,0? . 考点:含绝对值不等式的解法、分段函数 9分 10 分 6分

14


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