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高中数学难题(适合高考)


高中数学难题 适合高考
1 .[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 已知集合 A ={-2 ,0 ,2} ,B={x|x2-x-2 =0},则 A∩B= ( )

A.? C.{0} 1.B

B.{2} D.{-2} [解析] 因为 B={-1,2},所以 A∩B={2}. 1+3i =( 1-i )

2.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] A.1+2i C.1-2i 2.B B.-1+2i D.-1-2i

[解析]

1+3i (1+3i)(1+i) 1+4i+3i2 = = =-1+2i. 2 1-i (1-i)(1+i) )

3.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 函数 f(x)在 x=x0 处导数存在.若 p:f′(x0)=0,q:x=x0 是 f(x) 的极值点,则( A.p 是 q 的充分必要条件 B.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 C.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 3.C [解析] 函数在 x=x0 处有导数且导数为 0,x=x0 未必是函数的极值点,还要看函数 在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则不是极值点;反之,若 x=x0 为函数的极值 点,则函数在 x=x0 处的导数一定为 0 ,所以 p 是 q 的必要不充分条件. 4.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则 a· b=( A.1 B.2 C.3 4.A D.5 [解析] 由已知得|a+b|=10,|a-b|2=b,两式相减,得 a· b=1. ) B.n(n-1) D. n(n-1) 2 n(n-1) ×2=n(n+1). 2 )

5. [2014· 新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的 前 n 项和 Sn=( A.n(n+1) C. n(n+1) 2

5.A

[解析] 由题意,得 a2,a2+4,a2+12 成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得 a2

=4,即 a1=2,所以 Sn=2n+

6.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 如图 11,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm),图中粗 线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为 3 cm,高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得 到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )

图 11 A. C. 17 27 5 B. 9 D. 1 3 =π ×32×6=54π (cm3),被切部分的体积 V 切=V -V=54

10 27

6 .C

[解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体,其体积 V=π ×32×2+π ×22×4
毛坯 毛坯

=34π (cm3),原毛坯的体积 V π -34π =20π (cm3),所以

V切 20π 10 = = . V毛坯 54π 27

7.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱 ABC -A1B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3,D 为 BC 中点,则三棱锥 A -B1DC1 的体积为( ) A.3 3 B. 2 C.1 D. 3 2

7.C [解析] 因为 D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC,故 AD⊥平面 BCC1B1,且 AD= 3, 1 1 1 1 1 所以 V 三棱锥 A-B1DC1= S△B1DC1×AD= × B1C1×BB1×AD= × ×2× 3× 3=1. 3 3 2 3 2 8.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 执行如图 12 所示的程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出 的 S=( A.4 ) B.5 C.6 D.7

图 12 8.D [解析] 当 x=2 ,t=2 时,依次可得:M=1,S =3 ,k=1≤2 ;M=2 ,S =5 ,k= 2≤2;M=2,S=7,k=3>2,输出 S=7. x+y-1≥0, ? ? 9.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 x,y 满足约束条件?x-y-1≤0, 则 z=x+2y 的最大值为 ? ?x-3y+3≥0, ( ) A.8 C.2 9 .B B.7 D.1 [解析] 作出约束条件表示的可行域(略),可知该可行域为一三角形区域,当目标函

数通过可行域的一个顶点(3,2)时,目标函数取得最大值,zmax=3+2×2=7. 10.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线

交 C 于 A,B 两点,则|AB|=( A. 30 3 B .6 D .7 3

)

C.12

3 ? 3 10.C [解析] 抛物线的焦点坐标为 F? ?4,0?,直线 AB 的斜率 k=tan 30°= 3 ,所以直线 3 3 ? 3 3 ?y= 3 x- 4 , 1 2 7 3 21 9 AB 的方程为 y= x- .由? 得 x - x+ =0,故 x1+x2= ,x1x2= .所以 3 4 3 2 16 2 16 ?y2=3x ? |AB|= 1+k2·|x1-x2|= 1 1+ · 3

?21? -4× 9 =12. ?2? 16

2

11.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范 围是( ) B.(-∞,-1] D.[1,+∞) A.(-∞,-2] C.[2,+∞) 11.D

1 kx-1 1 [解析] f′(x)=k- = ,且 x>0,由题可知 f′(x)≥0,即得 kx-1≥0,得 x≥ (k<0 x x k

1 时不满足),因为函数 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以 ≤1,解得 k≥1. k 12.[2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设点 M(x0,1),若在圆 O:x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN =45°,则 x0 的取值范围是( A. [-1,1] 1 1? B. ? ?-2,2? D. ?- )

C. [- 2, 2]

?

2 2? , 2 2? |ON| ≥ tan 45 °,得 |MN|

12.A [解析] 点 M(x0,1)在直线 y=1 上,而直线 y=1 与圆 x2+y2=1 相切.据题意可设 点 N(0 , 1) ,如图,则只需∠OMN≥45 °即可,此时有 tan ∠ OMN =

0<|MN|≤|ON|=1,即 0<|x0|≤1,当 M 位于点(0,1)时,显然在圆上存在点 N 满足要求,综上可 知-1≤x0≤1.


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