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上海2013届高三理科数学最新试题精选(13份含16区二模)分类汇编3:三角函数


上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 3: 三角函数 姓名____________班级___________学号____________分数______________
一、选择题[来源:学+科+网] 错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )已

知? ?

( A.

?
2

, ? ) , sin ? ?

1 . 7

3 ? ,则 tan(? ? ) 的值等于 5 4 1 B. ? . C. 7 . 7

( D. ? 7 .



错误!未指定书签。 . (上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知 cos

?
2


?

sin ? ? 0 ,则 tan ? 的值为 24 24 A. ? B. ? 25 7

4 ,且 5


C. ?

24 7
m?R

D.

24 7
如 果 有

错误!未指定书签。 . ( 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 若

?

?
2

?? ?

?
2

,

0? ? ??
2

,

,

? ?3 ?s ? ? im?0 n , ( ? ? ) 3 ? cos ? ? m ? 0 ,则 cos(? ? ? ) 值为
A. ? 1 B. 0 C.

1 2

D. 1

错误!未指定书签。 . ( 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 已知函 数

y ? 2 sin( x ?

?
2

) cos( x ?

?
2

) 与直线 y ?

1 相交,若在 y 轴右侧的交点自左向右依次记 2

为 M 1 , M 2 , M 3 ,,则 M 1 M 13 等于

A. 6?


B. 7?

C. 12?

D. 13?
( )

错误!未指定书签。 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )下列命题中正确的

A.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 互为反函数 B.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是增函数 C.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是奇函数 D.函数 y ? sin x 与 y ? arcsin x 都是周期函数
错误!未指定书签。 . ( 2013 届 闵 行 高 三 二 模 模 拟 试 卷 ( 数 学 ) 理 科 ) 设 函 数

? ? ?? f ( x) ?| sin x | ? cos 2 x, x ? ? ? , ? ,则函数 f ( x) 的最小值是 ? 2 2?
A. ? 1 . B.0. C.





1 . 2

D.

9 . 8

二、填空题 错误! 未指定书签。( .上海徐汇、 松江、 金山区 2013 年高考二模理科数学试题) 已知 ? ? ( ?

?
2

, 0) ,

且 cos ? ?

4 ,则 tan 2? =___________. 5

错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )已

知直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角大小是 ? ,则 tan 2? ? _____________.
错误!未指定书签。 . (上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学 ( 理 ) 试卷) 函数

y ? sin 2 x(?

?
2

? x ? 0) 的反函数为________.
4 5

错误! 未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学 (理) 试题 ) 已知 cos ? ? ?

且 ? ? ( , ? ) ,则 tan(? ? ) ? ______. 2 4
错误!未指定书签。 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二 模)质量调研数学(理)试题)

?

?

函数 y ? sin x ? 2 cosx 的定义域为 ? ?
2

1 ? 2? ? , ? ? , 值域为 [ ? ,2] , 则 ? 的取值范围是 4 ? 3 ?

________.
错误!未指定书签。 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)

△ ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,若 A ?

?
3

, b ? 2c ,则 C =________.

错误!未指定书签。 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)

若 sin ? ?

? 3 且 sin 2? ? 0 ,则 tan ? _________. 2 5
sin B 的值为___________. sin C

错误!未指定书签。 . ( 上 海 市 黄 浦 区 2013 年 高 考 二 模 理 科 数 学 试 题 ) 在 ?ABC

中, ?A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7 ,则

错误!未指定书签。 . ( 上 海 市 虹 口 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 在 ?ABC

中, AB ? 1 , AC ? 2 , ( AB ? AC) ? AB ? 2 ,则 ?ABC 面积等于__________ .
错误!未指定书签。 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )函数

f ( x) ? 2 sin 2 x

的最小正周期是_____________
错误!未指定书签。 . (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 ) ( 理 ) 已知

3 5 ? ? cos(? ? ? ) ? , sin ? ? ? ,且 ? ? (0, ), ? ? (? ,0) ,则 5 13 2 2
sin ? ? ______ .[来源:学科网 ZXXK]
错误!未指定书签。 . ( 上 海 市 长 宁 、 嘉 定 区 2013 年 高 考 二 模 数 学 ( 理 ) 试 题 ) 函数

f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 的最小正周期是__________.

错误! 未指定书签。 . (上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学 (理) 试题) △ ABC 中,

B、 C 所对边 的长分别为 a 、 b、 三内角 A 、 c ,已知 ?B ? 60 ,不等式 ? x ? 6 x ? 8 ? 0
?
2

的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ______.

b c 分别是锐角 ?ABC 中角 错误!未指定书签。 . (2013 年上海市高三七校联考(理) )设 a,, A, B, C 所对的边,若 a ? 2c sin A ,则角 C ? ___.
错误!未指定书签。 . (2013 年上海市高三七校联考(理) ) 若 2cos(? ? x) ? sin(? ? x) ? 0 ,

则 tan(

?
4

? x ) ? _______.

错误!未指定书签。 . (2013 届浦东二模卷理科题)方程 x cos x ? 0 在区间

?? 3,6? 上解的个数

为______.
错误!未指定书签。 . (2013 届浦东二模卷理科题)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、

b 、 c ,若 a ? 2, b ? c ? 7, cos B ? ?

1 ,则 b ? _______. 4

错误!未指定书签。 . ( 2013 届闵行高三二模模拟 试卷(数学)理科) 设 ?ABC 的三个内角

A、B、C 所对的边长依次为 a、b、c ,若 ?ABC 的面积为 S ,且 S ? a2 ? (b ? c)2 ,则

sin A ? ______________. 1 ? cos A
三、解答题 错误!未指定书签。 . (上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题)

在 ?ABC 中 , a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边 , 且 sin A cos C ? cos A sin C ?

3 ,若 2

b ? 7, ?ABC 的面积 S?ABC ?

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

错误!未指定书签。 . (四区(静安杨浦青浦宝山)联考 2012 学年度第二学期高三(理) )本题

共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 如图所示,扇形 AOB ,圆心角 AOB 的大小等于 过点 C 作平行于 OB 的直线交弧 AB 于点 P . (1)若 C 是半径 OA 的中点,求线段 PC 的大小; (2)设 ?COP ? ? ,求△ POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

? ,半径为 2 ,在半径 OA 上有一动点 C , 3

错误!未指定书签。 . (上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学(理)试题 )本题共有 2 个小

题,第(1)小题满分 5 分,第(2)小题满分 9 分. 已知 m ? 2 3,1 , n ? ? cos (1)当 A ?

?

?

?
2

? ?

2

A ? ,sin ? B ? C ? ? ,其中 A, B, C 是 ?ABC 的内角. 2 ?

时,求 n 的值

( 2)若 BC ? 1, AB ? 3 ,当 m ? n 取最大值时,求 A 大小及 AC 边长.
错误!未指定书签。 . (上海市普陀区 2013 届高三第二学期(二模)质量调研数学(理)试题)

本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) ? A cos(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ?

?
2

? ? ? 0 )的图像与 y 轴的交点

为 (0, 1) ,它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为 ( x0 ,2) 和

( x0 ? 2? ,?2)

第 19 题

(1)求函数 f ( x) 的解析式;

(2) 若锐角 ? 满足 cos? ?

1 ,求 f (2? ) 的值. 3

错误! 未指定书签。 . (上海市虹口区 2013 年高考二模数学 (理) 试题 ) 在 ?ABC 中,角 A , B , C

所对的边长分别为 a , b , c ,向量 m ? (2 sin B,

2 cos B) , n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,

且 m ? n ? 1. (1)求角 B ; (2)若 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

错误!未指定书签。 . (上海市奉贤区 2013 年高考二模数学(理)试题 )位于 A 处的雷达观测

站,发现其北偏东 45°,与 A 相距 20 2 海里的 B 处有一货船正以匀速直线 行驶,20 分 钟后又测得该船只位于观测站 A 北偏东 45? ? ? 0 0 ? ? ? 450 的 C 处, AC ? 5 13 .在

?

?

离观测站 A 的正南方某处 E,

cos?EAC ? ?

2 13 13

(1)求 cos ? ; (2)求该船的行驶速度 v(海里/小时);
北 B

C θ A

E

错误!未指定书签。 . (上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学(理)试题 )(本题满分 12

分, 第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 所对应的边 a , b , c 成等比数列. (1)求证: 0 ? B ?

?

3

;(2)求 y ?

1 ? sin 2 B 的取值范围. sin B ? cos B

错误!未指定书签。 . (上海市八校 20 13 届高三下学期联合调研考试数学(理)试题)(本题满

分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照 射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P、Q 分别在边 BC、CD 上),设 ?PAB ? ? , tan ? ? t ,探 照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S (平方百米). (1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值.[来源:学.科.网 Z.X.X.K][来源:Zxxk.Com]

错误!未指定书签。 . (2013 年上海市高三七校联考(理) )本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6

分,第(2)小题满分 6 分.

B, C 所对的边分别是 a,, b c ,向量 m ? (a, 设 ?ABC 的角 A, b) ,

a ? 2) . n ? (sin B, sin A) , p ? (b ? 2,
(1)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; (2)若 m ? p ,边长 c ? 2 ,角 C ?

?

3

,求 ?ABC 的面积.

错误!未指定书签。 . (2013 届闵行高三二模模拟试卷(数学)理科)如图,在半径为 20cm 的

半圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD ,其中点 A 、B 在直径上,点 C 、D 在圆周上. (1)请你在下列两个小题中选择一题作答 即可: ...... ①设 ?BOC ? ? , 矩形 ABCD 的面积为 S ? g (? ) , 求 g (? ) 的表达式 , 并写出 ? 的范 围. ②设 BC ? x(cm) ,矩形 ABCD 的面积为 S ? f ( x) ,求 f ( x ) 的表达式,并写出 x 的范围. (2)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积. 解:

D

C

A

O

B

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

上海 2013 届高三理科数学最新试题精选(13 份含 16 区二模)分类汇编 3:三角函数参考 答案 一、选择题

D 错误!未找到引用源。 C
错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

;

B;

A; 错误!未找到引用源。 C 错误!未找到引用源。 B;
二、填空题 错误!未找到引用源。

?

24 7

错误!未找到引用源。

4 ; 3
y ? arcsin(? x )(0 ? x ? 1)
1 7

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 [ 0, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 3 错误!未找到引用源。

? 6
3 5

2? ] 3

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

3 ; 2

?;
33 65

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

?
2 3

错误!未找到引用源。

? 6

错误!未找到引用源。 ?3 错误!未找到引用源。 4 错误!未找到引用源。 4

[来源:Zxxk.Com]

错误!未找到引用源。 三、解答题

4;

错误!未找到引用源。解:由条件可得 sin( A ? C ) ?

3 , 2

即 sin B ?
S ?ABC ?

3 , 2

1 3 ac sin B ? 3. ? ac ? 3. 2 4

由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 b2 ? (a ? c)2 ? 2ac ? 2ac cos B,

1 1 2 ,则 7 ? ( a ? c) ? 2 ? 3(1 ? ). ? a ? c ? 4 , 2 2 1 1 2 若 cos B ? ? ,则 7 ? ( a ? c) ? 2 ? 3(1 ? ). ? a ? c ? 10 ,经 检验,不成立(舍) 2 2 故a?c ? 4
若 cos B ?
错误!未找到引用源。本题共有 2 小题 ,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 .

解:(1)在△ POC 中, ?OCP ?
2 2 2

2? , OP ? 2, OC ? 1 3

由 OP ? OC ? PC ? 2OC ? PC cos

2? 3

得 PC ? PC ? 3 ? 0 ,解得 PC ?
2

? 1 ? 13 . 2

(2)∵ CP ∥ OB ,∴ ?CPO ? ?POB ?

?
3

? ? , [来源:Z*xx*k.Com]

在△ POC 中,由正弦定理得

2 CP OP CP ? ? ,即 2? sin ? sin ?PCO sin ? sin 3 ? CP 4 ? ? OC ? sin( ? ? ) . 2? 3 3 sin 3
1 2? CP ? OC sin , 2 3

∴ CP ?

4 3

sin ? ,又

OC sin(

?
3

??)

解法一:记△ POC 的面积为 S (? ) ,则 S (? ) ?

?

4 ? 1 4 4 ? 3 ? sin ? ? sin( ? ? ) [来源:学.科.网 Z.X.X.K] ? sin ? ? sin( ? ? ) ? 3 2 3 3 2 3 3

?

4 3

sin ? (

2 3 1 sin 2 ? cos? ? sin ? ) ? 2 sin ? cos? ? 2 2 3

? sin 2? ?

3 3 2 3 ? 3 cos 2? ? ? (sin 2? ? ) ? 3 3 3 6 3

∴? ?

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3
2? OC 2 ? PC 2 ? 4 1 ? ?? 3 2OC ? PC 2
, 又

解法二: cos



OC 2 ? PC 2 ? OC ? PC ? 4

OC 2 ? PC 2 ? OC ? PC ? 3OC ? PC 即

3OC ? PC ? 4 当且仅当 OC ? PC 时等号成立,
所以 S ?

1 2? 1 4 3 3 CP ? OC sin ? ? ? ? 2 3 2 3 2 3

? OC ? PC ∴ ? ?
错误!未找到引用源。

? 3 时, S (? ) 取得最大值为 . 6 3

错误!未找到引用源。解:(1)由题意可得 A ? 2

T 1 ? 2? 即 T ? 4? , ? ? 2 2 1 f ( x) ? 2 cos( x ? ? ) , f (0) ? 1 2 1 ? ? 由 cos ? ? 且 ? ? ? ? 0 ,得 ? ? ? 3 2 2 1 ? 函 数 f ( x) ? 2 cos( x ? ) [来源:Zxxk.Com] 2 3
由于 cos? ?

2 2 1 且 ? 为锐角,所 以 sin ? ? 3 3

f (2? ) ? 2 cos( ? ?

?
3

) ? 2(cos ? cos

?
3

? sin ? sin

?
3

)

1 1 2 2 3 1? 2 6 ? 2?( ? ? ? )? 3 2 3 2 3
错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。

(14



)

解 :(1) ? m ? n ? 1 , ? 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos2 B ? 1 ,

3 sin 2B ? cos2B ? 2 ,

sin( 2 B ?

?
6

) ? 1 , [来源:学*科*网]

? 11? ? ? ,? 2 B ? ? ,? B ? 3 6 6 6 6 2 ? 2 2 2 2 2 2 2 (2)? b ? 2 , b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a ? c ? 2ac ? cos ,即 4 ? a ? c ? ac 3
又 0 ? B ? ? ,? ?

?

? 2B ?

?

?

? 4 ? a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac ,即 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立
S? ?


1 3 ac ? sin B ? ac ? 3 ,当 a ? b ? c ? 2 时, (S?ABC ) max ? 3 2 4
! 未 找 到 引 用 源 。



(1)? cos?EAC ? ?

2 13 3 13 ,? sin ?EAC ? 1 ? cos2 ?EAC ? 13 13

3? 3? ? 3? ? cos? ? cos? ? ?EAC? ? cos ? cos?EAC ? sin ? sin ?EAC 4 4 ? 4 ?
??

2 2 13 2 3 13 5 26 ? (? )? ? ? 2 13 2 13 26

(2)利用余弦定理 BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2 AB ? AC ? cos? ? 125 ,? BC ? 5 5 该船以匀速直线行驶了 20 分钟的路程为 5 5 海里, 该船的行驶速度 v ?

5 5 ? 15 5 (海里/小时) 1 3

错误!未找到引用源。 (本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)

解:(1)由已知, b 2 ? ac ,所以由余弦定理, 得 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac ? 2ac 2ac

由基本不等式 a 2 ? c 2 ? 2ac ,得 cos B ? 所以 cos B ? ?

2ac ? ac 1 ? 2ac 2

? ?1 ? , 1? .因此 , 0 ? B ? 3 ?2 ?

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ?? ? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin ? B ? ? , (2) y ? sin B ? cos B sin B ? cos B 4? ?

由(1), 0 ? B ? 所以, y ?

?
3

,所以

?
4

? B?

?
4

?

7? ?? ? 2 ? ? ,所以 sin ? B ? ? ? ? , 1? , 12 4? ? 2 ? ? ?

1 ? sin 2 B 的 取值范围是 1 , 2 sin B ? cos B

?

?

错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。证明:(证法一)(1)∵ m ∥ n ,

∴ a sin A ? b sin B ,

由正弦定理可知, a ?

a b ? b? ,其中 R 是 ?ABC 外接圆的半径, 2R 2R
∴ a sin A ? b sin B ,
2 2

∴ a ? b .∴ ?ABC 为等腰三角形 (证法二)∵ m ∥ n ,

由正弦定理可知, sin A ? sin B ,∴ sin A ? sin B

B ? (0, ? ) ,∴ A ? B . 即 ?ABC 为等腰三角形 ∵ A、
(2) 由题意可知 , m ? p ? 0 , 即 a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0 ,∴ a ? b ? ab 网] 由余弦定理可知, 4 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab, 即 (ab) ? 3ab ? 4 ? 0
2 2 2 2

[ 来源 : 学 # 科 #

? ab ? 4 ,( ab ? ?1 舍去) 1 1 ? ∴ S ?ABC ? ab sin C ? ? 4sin ? 3 2 2 4
错误!未找到引用源。

[解]

①由 ?BOC ? ? ,得 OB ? 20cos ? , BC ? 20sin ? ,其中 ? ? ? 0,

? ?

??

? 理 2 分,文 3 分 2?

所以 S ? g (? ) ? AB ? BC ? 2OB ? BC ? 800sin ? cos? ? 400sin 2? 即 g (? ) ? 400sin 2? , ? ? ? 0,

? ?

??
? 2?

文理 4 分

②连接 OC ,则 OB ? 400 ? x2 (0 ? x ? 20)

理 2 分,文 3 分

所以 S ? f ( x) ? AB ? BC ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) 即 f ( x) ? 2 x 400 ? x 2 (0 ? x ? 20) . (2)①由 S ? g (? ) ? 400sin 2? 得当 sin 2? ? 1 即当 ? ? 此时 BC ? 20sin 文理 4 分

?
4

时, S 取最大值 400cm .理 4 分,文 5 分

2

?
4

? 10 2cm ,
2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .文理 2 分
2 2 2 2 2 ② f ( x) ? 2 x 400 ? x ? 2 x (400 ? x ) ? x ? (400 ? x ) ? 400 ,

当且仅当 x ? 400 ? x ,即 x ? 10 2 时, S 取最大值 400cm .理 4 分,文 5 分
2 2 2

当 BC 取 10 2cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 400cm .文理 2 分

2


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