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高中数学第24讲(必修4)任意角的三角函数、同角公式与诱导公式


第24讲
任意角的三角函数、同角公式与诱导公式

知识体系

1.了解任意角与弧度制的概念,能进 行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义. 3.理解同角三角函数的基本关系式:
sin x sin2x+cos2x=1, =tanx. cos x

4.能利用单位圆

中的三角函数线
推导正弦、余弦、正切的诱导公式.

5.能灵活应用同角公式、诱导公
式进行简单三角函数的化简、求值、

证明.

1.下列说法正确的是( B ) A.若α的终边在第一象限,则α可以是正角、 负角或零角

B.6×360°+α(α为角度)与-6π+α(α为弧 度)的终边相同,但大小不相等 C.一条弦的长度等于半径,则这条弦所对 的圆心角的弧度数为?
D.若β为第二象限角, 3 ? ? ? 则2nπ+ < <2nπ+ ,n∈Z
4 2

2

选项A中零角一定为坐标轴上角,

故错;由终边相同概念和角度与弧度互
化知,B正确;选项C中弧度数还可能



? <nπ+ 4

5? ;D中由第二象限角范围得nπ+ 3

<

? ? ,n∈Z,故错. 2 2

2.若角α的终边经过点P(3a,-4a)(a<0),则 sinα的值为( D )
4 A.3

4 B. 7

4 C.5

4 D. 5

P(3a,-4a)(a<0),则x=3a,y=-4a, y 4 则|OP|=5|a|=-5a,故sinα= = . r 5

3. 已知x为第二象限角,且tan2x+3tanxsin x ? cos x 4=0, 则 2sin x ? cos x

=

1 3

.

tan2x+3tanx-4=0, 则tanx=-4或tanx=1(舍去).

由同角公式得
sin x ? cos x 2sin x ? cos x

=

tan x ? 1 2 tan x ? 1

=

1 3

.

4.tan300°+

cos(?450? ) sin 750?

的值为 2 ? 3

.

cos(45 ) =-tan60°+ sin(30? )

cos(?360? ? 45? ) 原式=tan(360°-60°)+ sin(720? ? 30? ) ?

=- 3 +

2 2 1 2

= 2? 3 .

5.化简:若α为第二象限角,

1 ? sin ? 1 ? sin ?

-

1 ? sin ? 1 ? sin ?

= -2tanα .

=

=

(1 ? sin ? )2 (1 ? sin ? )2 ? 原式= 2 cos ? cos 2 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? ? | cos ? | | cos ? | 2sin ? ? cos ?

=-2tanα.

知识要点
1.角的概念的推广 (1)任意角、正角、负零和零角. (2)象限角、轴线角. (3) 终 边 相 同 的 角 : 可 以 用 360°+α(k∈Z)或k· 2π+α(k∈Z) ① k· . 表示.

2.任意角的三角函数 P ( x,y ) 为 角 α 终 边 上 一 点 , |OP|=r,则 sinα=② cosα=③ tanα=④
y r , x r , y x (x≠0).

3.同角三角函数关系式平方关系: 1 . sin2α+cos2α=⑤ 商数关系:tanα=⑥
sin ? cos ?.

4.诱导公式 (1)2kπ+α,-α,π±α的三角函数值等于α的 同名 ⑦ 函数值,前面加上把角α看成⑧ 时 原函数值 ⑨ 锐角 的符号.即“名称不变,符号看象 限”. ? (2) 2±α的三角函数值等于α的 10 余名 .函 数 值 , 前 面 加 上 把 α 看 成 11 锐角 . 时12 原函数值 .的符号.即“名称要变,符号 看象限”. ? (3)k·2±α(k∈Z)的三角函数值,可概 括为:“奇变偶不变,符号看象限”.

典例精讲
题型一 角的相关概念及角的度量互化
k 例1 (1)集合M={x|x= 2 ×180°+45°,k∈Z}, k N={x|x= ×180°+45°,k∈Z},则集合M与N 4

? 的关系为 M? N ;

(2)把-1305°化为2kπ+α(0≤α<2π,
k∈Z)的形式是( C ) A.-7π?
4 C.-8π+3? 4

B.-6πD.-9π+

5? 4 7? 4

分析 (1)先变形,再对整数k的奇、偶展

开讨论,找到角终边的具体位置,用数形 结合法求解;(2)先把角度化成弧度,再写 成2kπ+α的形式,满足α、k的限制条件.

(1)因为M={x|x=(2k+1)×45°,k∈Z} 表示终边落在四个象限的平分线上的角的 集合.同理N={x|x=(k+1)×45°,k∈Z}表示 终边落在坐标轴或四个象限的平分线上的 角的集合,所以M? N. ? (2)因为1305°=1305×
?
? 所以-1305°=-7π- =-8π+(π4 3? =-8π+ . 4 3? 此时k=-4,α= 4,故选C.
180

=

29 π=7π+ 4

? ) 4

? , 4

点评 探寻以集合形式表示的终边相同的
角的关系时,对整数k的讨论最关键;若
k 题中给出了 (m为已知整数,k∈Z),常 m

分 k=mk′, mk′+1, mk′+2, …, mk′+(m-

1)(k′∈Z)完全讨论,角度与弧度的互化,
除满足限制条件外,还需注意结果的纯洁

性:角度、弧度要“分家”.

题型二 三角函数的化简、求值 例2

8 ? 已知cosα=- 17 ,且 <α<π, 2 3?
2 ? a)

sin(2? ? ? ) cos(?

tan(?? ? ? ) cos(?? )sin(?

?
2

的值.

??)

分析

8 从 cosα=- 17 中 可 推 知 sinα ,

tanα的值,再用诱导公式即可求值.

? 8 因为cosα=- 17 ,且 2<α<π, 15 15 所以sinα= ,tanα=- , 17 8 sin ? ? (? sin ? ) 所以原式= (? tan ? ) ? cos ? ? (? cos ? ) =-tanα= 15 . 8

点评 (1)应用诱导公式进行三角函数的
化简,重点是“函数名称”与“正负号” 的正确判断,一般常用“奇变偶不变, 符号看象限”的口诀,解题思路是“化 负角为正角,化复杂角为简单角,化非 锐角为锐角”,即“去负→脱周→化锐” 三步.

(2)掌握常用的勾股数组“3,4,5”, “5,12,13”,“7,24,25”,“8,15, 17”,“9,40,41”,快速给值求值.

题型三 三角关系式的应用 例3 已知sin(π-θ),cosθ是方程3x2-

? 2 x+m=0的两个根,且 2 <θ<π. (1)求m与sinθ-cosθ的值;

(2)若f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3,求 f(cosθ-sinθ)的值.

分析( 1 ) 由 根 与 系 数 的 关 系 得
sinθ+cosθ , sinθ· cosθ 的 值 , 再 根 据 “ sinθ+cosθ , sinθ· cosθ,sinθ-cosθ” 中 “知一求二,知二求参”,配上公式正 确求值.

(2)先求出f(x)的表达式,再代值求值.

(1)依题意 sin(π-θ)+cosθ=

2 3
m , 3

sin(π-θ)·cosθ=
即 sinθ+cosθ=

sinθ·cosθ=
由①2-2×②=1,得(
m 2 2 ) -2× 3 3

m ,3

2 3




7 6

? 又因为 2 <θ<π,sinθ>0,cosθ<0,sinθ-cosθ>0,

=1,解得m=- .

所以sinθ-cosθ= =

(sin ? ? cos ? ) 2 ? 4sin ? cos ?
2 2 7 ( ) ? 4 ? (? ) 3 18

=

4 3

.

(2)因为f(tanα)=3sin2α-2sinαcosα-3 = =
3sin 2 ? ? 2sin ? cos ? sin 2 ? ? cos 2 ? 3 tan 2 ? ? 2 tan ? -3. 2 tan ? ? 1

-3
4 )= 3
3 25

所以f(cosθ-sinθ)=f(=-

.

16 4 3 ? ? 2 ? (? ) 9 3 -3 16 ?1 9

cosθ,sinθ-cosθ” 中 点评 (1) 在 “ sinθ+cosθ,sinθ·

“知一求二”,宜用整体思想,利用平方转换,常 用结论为: (sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ, (sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2; (sinθ+cosθ)2-(sinθ-cosθ)2=4sinθcosθ. (2)型如 弦化切、异名化同名;

a sin ? ? b cos ? 通过分子分母同除以cosα, c sin ? ? d cos ?

asin2α+bsinαcosα+ccos2α 通 过 添 分 母 (sin2α+cos2α),再分子、分母同除以cos2α,化弦 为切、统一函数名.

方法提炼
1.在求值与化简时,常用的方法有: ①弦切互化,主要公式为
sin x tanx= ,sinx=tanx· cosx; cos x

②和积互化,利用 (sinx±cosx)2=1±2sinxcosx的关系进行 变形、转化;

③巧用“1”的变换:1=sin2x+cos2x.

2.在求值、化简时,要细心观察三角
函数式的特征,灵活、恰当地选用公式.

思路一:切化弦,思路二:化为同名函数.
3.运用诱导公式的关键在于函数名称

与符号的正确判断和使用.

课后再做好复习巩固.
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
http://wxc.833200.com wxckt@126.com

新疆奎屯
·2007·

王新敞
奎屯

新疆


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