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高中数学恒成立问题的解题方法研究


高中数学恒成立问题的解题方法研究 云南师大附中 保敏 摘要: 通过多年的高中数学教学, 笔者发现高中数学中的恒成立的问题成为高考的热点 因此本文主要介绍高中数学中的常见的恒成立习题类型及其解题策略, 希望对学生的学习起 到一些帮助。 恒成立问题是中学数学的一类重要题型,它散见于许多知识板块中,载体较多,而且不 少情况下题意较为隐含,正因为其涉及内容较广、表现形式多样、思维层次较高,因而倍受 高考命题者的青睐。概括一下,恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数的性质、图像, 渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法。下面我们来简单地谈一谈恒成立问 题的常见类型及其解题策略。 一、次函数型 给定一次函数 y ? f ( x) ? ax ? b(a ? 0),若y ? f ( x) 在 [m, n] 内恒有 f ( x) ? 0 ,则根据 函数的图像(直线)如图 1,图 2。可得上述结论等价于

?a ? 0, ? ? f ( m) ? 0



?a ? 0, ? ? f (n) ? 0, 亦可合并成

? f (m) ? 0, ? ? f (n) ? 0

2 例 1: 对于满足 | p |? 2 的所有实数 p ,求使得不等式 x ? px ? 1 ? p ? 2x 恒成立的 x 的

取值范围。 分析:在不等式中出现了两个字母: x 及 p ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量, 另一个则作为常数。显然可将 p 视作自变量,则上述问题可转化为在[-2,2]内关于 p 的一次 函数大于 0 恒立的问题。 解:不等式即 ( x ? 1) p ? x ? 2 x ? 1 ? 0 , 设 f ( p) ? ( x ? 1) p ? x ? 2x ? 1 , 则 f ( p ) 在
2 2
2 2 [-2 , 2] 上恒大于 0 ,故有 f (?2) ? 0且f (2) ? 0 ,即 x ? 4 x ? 3 ? 0 且 x ? 1 ? 0 ,解得

x ? ?1或x ? 3 。
二、二次函数型 若二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的函数值 f ( x ) 大于 0 恒成立,则有 a ? 0 且
2

? ? 0 。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分 布知识求解。 例 2:已知函数 f ( x) ? x ? 4mx ? m ? m, 且 f ( x) ? 0对x ?(2,+ ? )恒成立,求 m
2 2

的范围。

分析: f ( x) ? 0对x ? (2 ? ?) 恒成立

? ? ? 0或? ? 0,?

4m ? 2且f (2) ? 0 2 的问题。

?(4m) 2 ? 4(m 2 ? m) ? 0 ? ? 4m ?2 ?? 2 ? 2 2 ? f (2) ? 2 2 ? 8m ? m 2 ? m ? 0 ( 4 m ) ? 4 ( m ? m ) ? 0 ? 即解不等式 或不等式组
? 7 ? 33 ,??) 2 解得 m 的取值范围为 [
三、变量(参数)分离型 若在等式或不等式中出现两个变量, 其中一个变量的范围已知, 另一个变量的范围为所 求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 则可将恒成立问题转化 成函数的最值问题求解。 例 3:设

f ( x) ? lg

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a , a ? R, n ? N ,且 n ? 2 。如果当 n

x ? (??,1] 时 f ( x)有意义, 求a的取值范围。
分 析 : f ( x) 在 区 间 (??,1] 上 有 意 义 , 这 等 价 当 x ? (??,1] 时 , 不 等 式

1 ? 2 x ? 3 x ? ? ? (n ? 1) x ? n x a ? 0(n ? 2, n ? N ) n 恒成立。 1 2 3 n ?1 x a ? ?[( ) x ? ( ) x ? ( ) x ? ? ? ( ) ] ? F ( x) n n n n 解:分离参数 a 得: k k ?0 ? ? 1 ? ?( ) x (k ? 1,2,3?n ? 1) , n n 在区间 (??,1] 是增函数。
? F ( x) 在区间 (??,1] 上也是增函数,

所以

a?

1? n (n ? 2, n ? N ) 2 时, f ( x) 在 (??,1] 上有意义。

1 2 n ?1 F ( x) max ? F (1) ? ?( ? ? ? ? ) n n n 1 ? 2 ? ?(n ? 1) 1 ? n ?? ? n 2

在该题中 x 是主元, a 是参变量, n 是常量,所以这是一主一参、隐性恒成立问题,它的 载体是函数的定义域。在含参变量的函数中,涉及到定义域、值域、单调性等问题时,常常 要转化为不等式恒成立问题来处理。 本题中采用了分离最值法, 这是解决不等式恒成立问题的一种常用方法, 其解题原理是: 如果能把不等式中的参变量与主元分离开来, 则可以通过求解由主元构成的式子的最值 (或 上、下界)来解决问题,即:

t ? f ( x) 对 x ? A 恒成立 ? t ? f max ( x), x ? A
t ? f ( x) 对 x ? A 恒成立 ? t ? f min( x), x ? A 等
四、根据函数的奇偶性、周期性等性质判断型

若 函 数 f ( x) 是 奇 ( 偶 ) 函 数 , 则 对 一 切 定 义 域 中 的

x , f ( ? x) ? ? f ( x) ( 或

f ( ? x) ? f ( x) ) 恒 成 立 ; 若 函 数 y ? f ( x ) 的 周 期 为 T , 则 对 一 切 定 义 域 中 的 x, f ( x) ? f ( x ? T ) 恒成立。
例 4:若 f ( x) ? sin( x ? a) ? cos(x ? a) 为偶函数,求 a 的值。 告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题。即

f ( x) ? sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) ? f (? x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? a)

解:sin(x ? a) ? cos(x ? a) ? sin(? x ? a) ? cos(? x ? a)
? 2 sin x cos a ? ?2 sin x sin a
? sin x(sin a ? cosa) ? 0
对于一切 x ? R 恒成立,只需也必须 sin a ? cos a ? 0

? a ? k? ?

?
4

, (keZ )

五、直接利用函数的图像型 若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图 像, 则可以通过画图直接判断得出结果。 尤其对于选择题、 填空题这种方法更显方便、 快捷。 例 5:关于 x 的不等式 4x ? x ? ax的解集为[0,4],求实数 a 的取值范围,
2

解:令 f ( x) ?

4 x ? x 2 , g ( x) ? ax ,根据题意可知,当且仅当 x 在区间[0,4]上取值时,

f ( x) 的图象恒在 g ( x) 图象的上方(或重合) ,如图 3 所示:

因为函数 f ( x ) 的图像是以点 ( 2,0) 为圆心,2 为半径的位于 x 铀上方的半圆(含与 x 铀 的交点) ,易知 f ( x ) 的定义域恰好为[0,4],而函数 g ( x) 则是经过坐标原点,斜率为 a 的 一条动直线,由图 3 可知,欲使得题意成立,则动直线的斜率 a 应该小于或等于 0,即实数

a 的取值范围是 (??,0] 。
恒成立的问题向来是高考中的热点问题, 因此我们在学习的时候必须要重点把握和归纳 总结,因为它们大致上就是上述几种类型,这要求我们要看清它的实质,这样做题时才会更 加顺利。


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