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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题08 立体几何


2、 (2002 一试 6)由曲线 x =4y, x = ?4y, x=4, x= ?4 围成图形绕 y 轴旋转一周所得为 2 2 2 2 2 2 旋转体的体积为 V1,满足 x +y ≤16, x +(y-2) ≥4, x +(y+2) ≥4 的点(x,y)组成的图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积为 V2,则( ) (A) V1=

2

2

1 V2 2

(B) V1=

2 V2 3

(C) V1=V2

(D) V1=2V2

3、 (2003 一试 6)在四面体 ABCD 中, 设 AB= 1,CD= 3,直线 AB 与 CD 的距离为 2,夹角 为 ,则四面体 ABCD 的体积等于( 3 (A) 3 2 (B) 1 2

?

) (C) 1 3 (D) 3 3
A M D N B C

【答案】B 【解析】如图,把四面体补成平行六面体,则此平行六面体的体积 π =1× 3×sin ×2=3. 3 1 1 而四面体 ABCD 的体积= ×平行六面体体积= .故选 B. 6 2

4、 (2004 一试 6)顶点为 P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B 是 底面圆内的点,O 为底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为 B,OH⊥PB,垂足为 H,且 PA=4,C 为 PA 的中点,则当三棱锥 O-HPC 的体积最大时,OB 的长为 ( )

A.

5 3

B.

2 5 3

C.

6 3

D.

2 6 3

5、(2005 一试 4) 如图, ABCD ? A?B ?C ?D ? 为正方体。任作平面 ? 与对角线 AC ? 垂直, 使得 ? 与正方体的每个面都有公共点,记这样得到的截面多边形的面积为 S,周长为 l .则 ( ) A.S 为定值, l 不为定值 B.S 不为定值, l 为定值 l C.S 与 均为定值 D.S 与 l 均不为定值 【答案】B 【解析】将正方体切去两个正三棱锥 A ? A?BD与 C ? ? D?B?C 后,得到 一个以平行平面 A?BD与D?B?C 为上、下底面的几何体 V,V 的每个 侧面都是等腰直角三角形,截面多边形 W 的每一条边分别与 V 的底 面上的一条边平行, 将 V 的侧面沿棱 A?B ? 剪开, 展平在一张平面上, 得到一个 A?B ?B1 A1 , 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与 A?A1 平 行的线段 (如图中 E ?E1 ) , 显然 E ?E1 ? A?A1 , 故 l 为定值。 当 E ? 位于 A?B ? 中点时, 多边形 W 为正六边形, 而当 E ? 移至 A? 处时,W 为正三角形,易知周长为定值 l 的正六边

形与正三 角形面积分别为

3 2 3 2 l 与 l ,故 S 不为定值。选 B。 24 36

[来源:学科网 ZXXK]

6、 (2006 一试 4)在直三棱柱 A1B1C1 ? ABC 中, ?BAC ?

?
2

, AB ? AC ? AA 1 ? 1. 已

知G与E分别为 A1B1 和 CC1 的中点, D与F分别为线段 AC 和 AB 上的动点 (不包括端点) . 若 GD ? EF ,则线段 DF 的长度的取值范围为( )

A. ?

? 1 ? , 1? ? 5 ?

B. ? , 2 ?

?1 ?5

? ?

C. ?1,

?

2

?

D. ?

? 1 , ? 5

? 2? ?

7、 (2007 一试 1)如图,在正四棱锥 P? ABCD 中,∠APC=60°,则二面角 A? PB? C 的平面角 的余弦值为( ) A.

1 7

B. ?

1 7

C.

1 2

D. ?

1 2
P

【答案】B 【解析】如图,在侧面 PAB 内,作 AM⊥PB,垂足为 M。连结 CM、 AC ,则∠ AMC 为二面角 A?PB?C 的平面角。不妨设 AB=2 ,则

PA ? AC ? 2 2 ,斜高为 7 ,故 2 ? 7 ? AM ? 2 2 ,由此得

D

M C B

7 。 在 △ AMC 中 , 由 余 弦 定 理 得 CM ? AM ? 2 AM 2 ? CM 2 ? AC 2 1 cos?AMC ? ?? 。 2 ? AM ? CM 7

A

8、 (2008 一试 4)若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm ,则 这三 个正方体的体积之和为 ( (A)764 cm 或 586 cm
3 3

2

) 。 (B) 764 cm
3

(C)586 cm3 或 564 cm3 【答案】A

(D) 586 cm3

9、 (2000 一试 11)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为 a,则这个 球的体积是________.

10、(2001 一试 9)正方体ABCD-A1B1C11的棱长为 1,则直线A1C1与BD 1的距 离是___________. 【答案】

6 6

【解析】这是一道求两条异面直线距离的问题,解法较多,下面给出一种基本的解法.为 了保证所作出的表示距离的线段与A1C1和BD1都垂直,不妨先将其中一条直线置于另一 条直线的垂面内.为此,作正方体的对角面BDD1B1,则A1C1⊥面BDD1B1,且B D1 面BDD1B 1.设A1C1∩B1D1=0,在面BDD1B1内作OH⊥BD1,垂足为 H,则线段OH的长为异面直线A1C1与BD1的距离.在Rt△BB1D1中,OH等于 斜 边BD1上高的一半,即OH= /6.

12、 (2004 一试 9) 如图, 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, 二面角 A-BD1—A1 的度数是



13、 (2006 一试 10)底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四 2

个球两两相切,其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所 3 有铁球,则需要注水 cm .
[来源:Z|xx|k.Com]

【答 案】 ( ?

1 3

2 )? 2

14、 (2007 一试 9)已知正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长 为 1,以顶点 A 为球心, 一个 球,则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的 长等于 【答案】

2 3 为半径作 3


5 3π 6

15、 (2008 一试 12) 一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4 6 的正四面体容器内可向各个方向自由运动, 则该小球永远不可 能接触到的容器内壁的面积是 . 【答案】 72 3 【解析】如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径 为 r ,作平面 A1 B1C1 //平面 ABC ,与小球相切于点 D ,则小 球球心 O 为正四面体 P ? A1 B1C1 的中心,PO ? 面A1B1C1 ,垂足

D 为 A1 B1C1 的中心.因 VP ? A B C ? 1 S ?A B C ? PD ? 4 ?VO? A B C ? 4 ? 1 ? S?A B C ? OD ,
1 1 1

(第 12 题图 1)

3

1 1 1

1 1 1

3

1 1 1

16、 (2010 一试 7)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的 9 条棱长都相等, P 是 CC1 的中点,二面角 B ? A1 P ? B1 ? ? ,则 sin ? ?

A1 C1 E B1 O A P

10 【答案】 4
【解析】解法一:如图,以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 中点 O 为 原点,OC 所在直线为 y 轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱

C B

长为 2,则 B(1,0,0), B1 (1,0,2), A1 (?1,0,2), P(0, 3,1) ,从而,

BA , 3,1), B1 A1 ? (?2,0,0), B1 P ? (?1, 3,?1) . 1 ? (?2,0,2), BP ? (?1
设分别与平面 BA 1 P 、平面 B1 A1 P 垂直的 向量是 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 、 n ? ( x2 , y2 , z 2 ) ,则
[来源:Zxxk.Com]

? ?n ? B1 A1 ? ?2 x2 ? 0, ? ? ?n ? B1 P ? ? x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 0, ?? ? ?? ? 由此可设 m ? (1,0,1), n ? (0,1, 3) ,所以 m ? n ? m ? n cos ? ,即
3 ? 2 ? 2 cos ? ? cos ? ? 6 10 .所以 sin ? ? . 4 4

? ?m ? BA1 ? ?2 x1 ? 2 z1 ? 0, ? ? ?m ? BP ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0,

[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

17、(2011 一试 6)在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC? ?CDA? 60? , AD ? BD ? 3 , CD ? 2 ,则四面体 ABCD的外接球的半径为

[来源:学科网]

18、 (2012一试5)设同底的两个正三棱锥 P ? ABC 和 Q ? ABC 内接于同一个球.若正三 棱锥 P ? ABC 的侧面与底面所成的角为 45 , 则正三棱锥 Q ? ABC 的侧面与底面所成角的 正切值是 .
?


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