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抛物线 课件2


抛物线及其标准方程
定 义 图 形
标准 方程 平面内到定点F的距离与到定直线L的距离相等的点的轨 迹.其中定点F是抛物线的焦点;定直线L叫抛物线的准线. y y y y K F 0 x 0 x x K 0 F F 0 K x F K y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)

焦点 坐标
准线 方程

p ( ,0 ) 2 p x?? 2

p (? ,0) 2 p x? 2

p (0, ) 2 p y?? 2

p (0,? ) 2 p y? 2

其中p 为正常数,它的几何意义是: 焦点到准线的距离

重要结论 1.抛物线 y ? 2 px (p>0)的通径(过焦点与 对称轴垂直的弦)长为2p.
2

2.已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦

点的弦,F为焦点,A(x1,y1),B(x2,y2):
①|AB|=x1+x2+P ②y1y2=-p2 ③ x 1x 2= p
2

④以AB为直径的圆与抛物线准线相切

4

典型例题: 例1:已知抛物线的标准方程是y2 = 6x, 求它的焦点坐标和准线方程;

变式:已知抛物线的方程是y=-6x2, 求它的焦点坐标和准线方程;

典型例题: 例2:动点P到直线x+4=0的距离减去它

到点(2,0)的距离之差等于2,则P点的
轨迹方程是:_____________

典型例题: 例3:分别求满足下列条件的抛物线的标

准方程,并求出对应抛物线的焦点和准线
方程. (1)过点(-3,2).

(2)焦点在直线x-2y-4=0上.

典型例题:
例4:斜率为1的直线经过y2=4x的焦点, 与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的 长.
抛物线y2=2px的焦点弦AB 长公式: |AB|=x1+x2+P 2 |AB|= 1 ? k |x1-x2|

典型例题:
例5:在抛物线y2=2x上求一点P,使得P到焦点F与到
点A(3,2)的距离之和最小,并求出最小值. 解: 如图,设|PQ|为P到准线的距离
Q Q y P P A x

则|PF|=|PQ|
∴|AP|+|PF|=|AP|+|PQ|

0 F

∴当A,P,Q共线时, |AP|+|PF|最小
即P点坐标为(2,2)时, |AP|+|PF|最小, 7 且最小值为 . 2

典型例题:
练:在抛物线y2=2x上求一点P,使得P到准线与到
点A(3,4)的距离之和最小,并求出最小值.
y A

Q
0 F

P
x

典型例题:
例6:设F(1,0),点M在x轴上,点P在y轴上,且 (1)当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹C的 方程. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3)是曲线C 上三点,且 成等差数列, |AF|, |BF|, |DF|

MN ? 2MP PM ? PF

,

当AD的垂直平分线与x轴交于E(3,0)时,
求B点的坐标.


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