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2000-2012全国高中数学联赛分类汇编 专题09 计数原理


1、 (2001 一试 5) 若(1+x+x ) 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a2000x 则a0+a3+a6+a9+…+a1998 的值为( ) . 333 666 999 2001 A.3 ? B.3 ? C.3 ? D.3 ?
[来源:学科网]

2

1000

2000



???,若以 a,b,c 为三条边长可以构成一个等 腰(含等边) 2、 (2004 一试 5)设三位数 n=abc 三角形,则这样的三位数 n 有( ) A.45 个 B.81 个

C.165 个

D.216 个

3、 ( 2000 一 试 12 ) 设 an 是 (3?
3 2 33 3n ? ??? )=________. a 2 a3 an

x ) n 的 展 开 式 中 x 项 的 系 数 (n=2,3,4, … ) ,

n??

lim(

【 答案】18 【解析】由二项式定理知, an ? C ? 3
2 n n ?2

3n 32 ? 2 1? ? 1 ,因此 ? ? 18? ? ? an n(n ? 1) ? n ?1 n ?

lim
n ??

? 3 2 33 3n ? ? ? ? ? ?a an ? 2 a3

? ? 1? ? = 18 1 ? ? =18. lim ? n?? ? ? n? ?

4、 (2000 一试 12)如果:(1)a,b,c,d 都属于{1,2,3,4};(2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a 是

a,b,c,d 中的最小值 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是_________.

5、 (2001 一试 12)在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图 3) ,要求同一块中种同 一种植物, 相邻的两块种不同的植物. 现有 4 种不同的植物可供选择, 则有___种栽种方案.

6、 (2002 一试 8)将二项式 ( x ?

1 2 x
4

) n 的展开式按 x 的降幂排列,若前三项系数成等差
个。

数列,则该展开式中 x 的指数是整数的项共有 【答案】3 【解析】不难求出前三项的系数分别是 1, ∴当 n=8 时, Tr ?1 ? C n ( ) x
r r

1 1 1 1 n, n(n ? 1) ,∵ 2 ? n ? 1 ? n(n ? 1) 2 8 2 8
∴r=0,4,8,即有 3 个

1 2

16 ?3 r 4

(r=0,1,2,…,8)

7、 (2002 一试 9)如图,点 P1,P2,…,P10 分别是四面体点或 棱的中点,那么在同一平面上 的四点组(P1, Pi, Pj, Pk)(1<i<j<k≤10 )有 个。 【答案】33

[

来源:Z&xx&k.Com]

8、 (2007 一试 12)将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小 方格内至多填 1 个字母, 若使相同字母既不同行也不同列, 则不同的填法共有 种 (用 数字作答)。

9、 (20 07 二试 2)如图,在 7×8 的长方形棋盘的每个小 方格的中心点各放一个棋子。如果 两个棋子所在的小方格共边或共顶点,那么称这两个棋子相连。现从这 56 个棋子中取出一 些,使得棋盘上剩下的棋子,没有五个在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。问最 少取出多少个棋子才可能满足要求?并说明理由。 【解析】最少要取出 11 个棋子,才可能满足要求。其原因如下: 如果一个方格在第 i 行第 j 列,则记这个方格为(i,j)。 第一步证明若任取 10 个棋子,则余下的棋子必有一个五子连珠, 即五个棋子在一条直线(横、竖、斜方向)上依次相连。用反证 法。假设可取出 10 个棋子,使余下的棋子没有一个五子连珠。如 图 1,在每一行的前五格中必须各取出一个棋子,后三列的前五格 中也必须各取出一个棋子。这样,10 个被取出的棋子不会分布在 右下角的阴影部分。同 理,由对称性,也不会分布 在其他角上的 阴影部分。第 1、2 行必在每行取出一个,且只能分布在(1,4)、 (1,5)、(2,4)、(2,5)这些方格。同 理(6,4)、(6,5)、(7, 4)、(7,5)这些方格上至少要取出 2 个棋子。在第 1、2、3 列, 每列至少要取出一个棋子, 分布在(3,1)、(3,2)、(3,3)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、 (5,1)、(5,2)、(5,3)所在区域,同理(3,6)、(3,7)、(3,8)、(4,6)、(4,7)、(4, 8)、(5,6)、(5,7)、(5,8)所在区域内至少取出 3 个棋子。这样,在这些区域 内至少已 取出了 10 个棋子。因此,在中心阴影区域内不能取出棋子。由于①、②、③、④这 4 个棋 子至多被取出 2 个,从而,从斜的方向看必有五子连珠了。矛盾。

[来源:Zxxk.Com]

图1

图2

第二步构造一种取法,共取走 11 个棋子,余下的棋子没有五子连珠。如图 2,只要取出有 标号位置的棋子,则余下的棋子不可能五子连珠。 综上所述,最少要取走 11 个棋子,才可能使得余下的棋子没有五子连珠。
[来源:学*科*网]

10、 (2008 一试 9)将 24 个志愿者名额分配给 3 个学校,则每校至少有一个名额且各校名 额互不相同的分配方法共有 种.
[来源:Zxxk.Com]

11、 (2011 一试 5)现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一 个项目,每个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数 为 . (用数字作答) 【答案】15000 【解析】由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:
1 ? 5! ? 3600种方案; (1)有一个项目有 3 人参加,共有 C 73 ? 5!?C 5

1 ( 2)有两个项目各有 2 人参加,共有 (C72 ? C52 ) ? 5!?C52 ? 5! ? 11400种方案; 2 所以满足题设要求的方案数为 3600?11400? 15000.


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