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4.2.2圆与圆的位置关系


4.2.2圆与圆的位置关系

复习回顾:
直线与圆的位置关系:

相离、相交、相切
判断直线与圆的位置关系有哪些方法?

(1)根据圆心到直线的距离; (2)根据直线的方程和圆的方程组成方 程组的实数解的个数;

圆与圆的位置关系有哪些?

如果把两个圆的圆

心放在数轴上,那么两个圆 的位置关系有哪些?

rR r O1 O2 O2 r

r O2 O2

r O2

r O2

r O2

x

圆C1:(x-a)2+(y-b)2=r12(r1>0) 圆C2:(x-c)2+(y-d)2=r22(r2>0)
(1)利用连心线长与r1,r2的大小关系判断:
①|C1C2|> |r1+r2|

圆C1与圆C2相离

②|C1C2|= |r1+r2|

圆C1与圆C2外切

③|r1-r2|< |C1C2|< |r1+r2|
圆C1与圆C2相交

④|C1C2| = |r1-r2|

圆C1与圆C2内切

⑤ |C1C2| < |r1-r2|

圆C1与圆C2内含

(2) 利用两个圆的方程组成方程组的实数解 的个数:

?( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r12 设方程组? 2 2 2 ?( x ? c) ? ( y ? d ) ? r2 的解的个数为 n
△<0 △=0

n=0

两个圆相离或内含

n=1
n=2

两个圆外切或内切
两个圆相交

△>0

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 : x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 把圆C1和圆C2的方程化为标准方程: 解法一:

C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 4) ? 5
2 2

2

? C1的圆心(?1,?4),半径为r1 ? 5 C2的圆心(2,2),半径为r2 ? 10
? C1C2 ? (?1 ? 2)2 ? (?4 ? 2)2 ? 3 5 |r 10 1 ?r 2 |? 5 ? |r 10 1 ? r 2 |? 5 ?

C2 : ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2) 2 ? ( 10) 2

而5 ? 10 ? 3 5 ? 5 ? 10 即 | r1 ? r2 |? 3 5 ? | r1 ? r2 |

所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A,B.

例1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和 圆C2 : x2+y2-4x-4y-2=0,试判断圆C1与圆C2的位置关系. 解法二:圆C1与圆C2的方程联立,得
?x2 ? y 2 ? 2x ? 8 y ? 8 ? 0 ? 2 2 x ? y ? 4x ? 4 y ? 2 ? 0 ?
由(3)得 1? x y? 2

(1) (2)

+ 2y ? -1? 0 (1)-(2),得 x ?

(3)

代入 (1), 整理得

x2 ? 2x ? 3 ? 0 (4) 2 则 ? ? (?2) ? 4 ?1? (?3) ? 16 ? 0
所以,方程(4)有两个不相等的实数根x1,x2 因此圆C1与圆C2有两个不同的公共点 所以圆C1与圆C2相交,它们有两个公共点A,B.

练习:判断下列两圆的位置关系:
2 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 1与(x ? 2) ? ( y ? 5)2 ? 16 2 2 2 2 (2) x ? y ? 6 x ? 7 ? 0与x ? y ? 6 y ? 27 ? 0 解(1):两圆的圆心坐标为(-2 , 2), (2 , 5),两圆的圆心距

(1)

d ?

?2 ? (?2)?2 ? (5 ? 2) 2

?5

两圆的半径分别为 r1 ? 1和r2 ? 4 d ?r 1 ? r 2 所以两圆外切。 解(2):将两圆的方程化成标准方程,得 ?x ? 3?2 ? y 2 ? 16 x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 36 两圆的圆心坐标为(-3 , 0),(0 , -3),两圆的圆心距

因为

两圆的半径分别为 r1 ? 4和 r2 ? 6
2? r 4 1 ? r2 ? d ? r 1 ? r2 ? 10

d ? (0 ? 3) 2 ? (3 ? 0) 2 ? 3 2

所以两圆相交 .

小结:判断两圆位置关系
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)

代数方法
? ( x ? a1 )2 ? ( y ? b1 )2 ? r12 ? 2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r ? 2 2 2
消去y(或x)

圆心距d (两点间距离公式)

px 2 ? qx ? r ? 0

比较d和r1,r2的 大小,下结论

? ? ? 0 : 相交 ? ? ? ? 0 :内切或外切 ?? ? 0 : 相离或内含 ?

总 结
? 几何方法 判断两圆位置关系 ? 代数方法 ?
各有何优劣,如何选用?
(1)当Δ=0时,有一个交点,两圆位置关系如何? 内切或外切 (2)当Δ<0时,没有交点,两圆位置关系如何? 内含或相离
几何方法直观,但不能 求出交点; 代数方法能求出交点,但Δ=0, Δ<0时,不能判 圆的位置关系。

变式例题:已知 圆C1 :x2+y2+2x+8y-8=0 圆C2 :x2+y2-4x-4y-2=0,

试判断圆C1与圆C2的位置关系.
若相交,求两圆公共弦所在的直线方 程及弦长.

练习:求 x2+y2-10x-15=0 ① 与x2+y2-15x+5y-30=0 ② 的公共弦所在的直线方程。
分析:只须把两个方程相减,消去2次项 ① - ② 得:5x-5y+15=0

? x ? y ? 3 ? 0为所求的方程.

例2:求过点A(0,6)且与圆C: x
解:设所求圆的方程为 ( x ? a) 将圆C化为标准方程,得
2

2

? y 2 ? 10x ? 10y ? 0 相切于原点的圆方程。
Y
2 2

? ( x ? b) ? r

A(0,6)

( x ? 5) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 50
, 2
C

M
o
x

则圆心为C(-5,-5),半径为5

所以经过已知圆的圆心和切点的直线方程为 x ? y ? 0。 由题意知,O(0,0),A(0,6)在所求圆上,且圆心在直线

x? y ?0

?(0 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2 ? 则有 ?(0 ? a) 2 ? (6 ? b) 2 ? r 2 ?a ? b ? 0 ?

?a ? 3. ? 解得 ?b ? 3. ? ?r ? 3 2 . ( x ? 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 18 。 所以所求圆的方程为:

2 2 x ? y ? 10x ? 10 y ? 0 练习.求半径为 3 2 ,且与圆

切于原点的圆的方程。
y

( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 18
2 2

或( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 18
2 2

A O C B x

练习:
2、已知以C(-4,3)为圆心的圆与圆 x 相切,求圆C的方程。 2 2 ( x ? 4 ) ? ( y ? 3 ) ? 16. 解得: 外切
2 2 内切 ( x ? 4) ? ( y ? 3) ? 36.

2

? y ?1
2

练习:
3、求与圆O: x2 ? y 2

? 4 相外切,切点为

P(-1 , 3 )且半径为4的圆的方程。
2 2 ( x ? 3) ? ( y ? 3 3) ? 16. 解得:

例3.求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和 圆C2:x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆方程. 解: 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

∵所求圆以AB为直径,

于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .


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