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2015福建高一预赛


2015 年福建省高一数学竞赛试题 (考试时间:5 月 10 日上午 8:30-11:00)
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.集合 A ? ? x A.4 个 【答案】 C
x ?1 ? 3, x ? N ? 的子集有(

) D.32 个

B.8 个

C.16 个

r />【解答】由 x ?1 ? 3 ,知 ?2 ? x ? 4 ,结合 x ? N ,得 A ? ? 0 ,,, 1 2 3?。 ∴ 积为( A.1 【答案】 在直线 l2 上。
1) 在直线 l2 。 又直线 l1 与直线 y ? x 的交点 P(1,
A 的子集有 24 ? 16 个。

2.若直线 l2 与直线 l1 : y ? 2 x ? 1 关于直线 y ? x 对称,则 l2 与两坐标轴围成的三角形的面 ) B. D
2 3

C.

1 2

D.

1 4

? 1) , 0, ? 1 ) 关于直线 y ? x 的对称点 A?(?1, 0) 【解答】 在直线 l1 :y ? 2 x ? 1 取点 A(0 , 则 A(

∴ ∴

0) 和 P(1, 1) 两点,其方程为 y ? l2 过 A?(?1,

1 1 x? 。 2 2

1 1 0) 和 (0 , ) 两点, l2 与坐标轴围成的三角形的面积为 。 l2 与坐标轴交于 (?1 , 2 4

3.给出下列四个判断: (1)若 a , b 为异面直线,则过空间任意一点 P ,总可以找到直线与 a , b 都相交。 (2)对平面 ? , ? 和直线 l ,若 ? ? ? , l ? ? ,则 l∥ ? 。 (3)对平面 ? , ? 和直线 l ,若 l ? ? , l∥? ,则 ? ? ? 。 (4)对直线 l1 , l2 和平面 ? ,若 l1∥? , l2∥l1 ,且 l2 过平面 ? 内一点 P ,则 l2 ? ? 。 其中正确的判断有( A.1 个 【答案】 B B.2 个 ) C.3 个 D.4 个

【解答】 (3) 、 (4)正确; (1) 、 (2)不正确。 对于(1) ,设 a?∥a ,过 a? 和 b 的平面为 ? ,则当点 P 在平面 ? 内,且不在直线 b 上时, 找不到直线同时与 a , b 都相交。

1

4.如图,已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 , E 为 CD 中点,则二面 角 E ? AB1 ? B 的正切值为( A.1 B. ) C. 2 D. 2 2

2 4

【答案】

D
第4题 图

【解答】如图,作 EF ? AB 于 F ,作 FO ? AB1 于 O ,连结 OE 。 由 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体,知 EF ? 面 ABB1 A1 , EF ? AB1 。 又 AB1 ? OF 。因此, AB1 ? 面 OEF , OE ? AB1 。 ∴
?EOF 为面角 E ? AB1 ? B 的平面角。

设正方体棱长为 a ,则 EF ? a , OF ? ∴
tan ?EOF ? EF ?2 2。 OF

1 2 A1B ? a。 4 4
第 4 题答题图

图 5.已知 △ABC 为等腰直角三角形, CA ? CB , AB ? 4 , O 为 AB 中点,动点 P 满

足条件: PO A. 3 【答案】

2

? PA ? PB ,则线段 CP 长的最小值为(



B.2 B

C. 5

D.4

0) 、 【解答】以 AB 所在直线为 x 轴, O 为坐标原点,建立平面直角坐标系。则 A(?2 , B(2 , 0) 、 C (0 , 2) 。 y) ,由 PO 设 P( x ,
2

? PA ? PB ,知 x 2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 ? ( x ? 2)2 ? y 2 。



( x2 ? y 2 )2 ? ( x2 ? y2 ? 4 ? 4x)( x2 ? y2 ? 4 ? 4x) ,

即 ( x2 ? y 2 )2 ? ( x2 ? y 2 )2 ? 8( x2 ? y 2 ) ? 16 ?16x2 ,化简,得 x2 ? y 2 ? 2 。 ∴ ∴
CP
2

? x 2 ? ( y ? 2) 2 ? y 2 ? 2 ? y 2 ? 4 y ? 4 ? 2( y ? 1) 2 ? 4 。

y ? 1 时, CP 有最小值 2。此时, P(? 3 , 1) 。

6.记 a ? e e , b ? ? ? , c ? e ? , d ? ? e ,则 a , b , c , d 的大小关系为( A. a ? d ? c ? b 【答案】 A B. a ? c ? d ? b C. b ? a ? d ? c D. b ? c ? d ? a



(必要时,可以利用函数 f ( x) ? e ln x ? x 在 ? 0 , e? 上为增函数,在 ?e , ? ?? 上为减函数) 【解答】 ln c ? ? , ln d ? e ln ? 。 设 f ( x) ? e ln x ? x ,由 f ( x) 在 ? 0 , e? 上为增函数,在 ?e , ? ?? 上为减函数,
2

得 f (? ) ? f (e) ,于是 f (? ) ? e ln ? ? ? ? f (e) ? e ln e ? e ? 0 。 ∴
e ln ? ? ? ,即 ln d ? ln c ,于是 d ? c , ? e ? e ? 。

又显然, a ? e e ? ? e ? d , c ? e ? ? ? ? ? b 。于是, a ? d ? c ? b 。 二、填空题(每小题 6 分,共 36 分) 7.已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,且 f ( x) ? g ( x) ? 2x ? x2 ,则 f (1) ? 【答案】
3 4



【解答】依题意,有 f (1) ? g (1) ? 2 ? 1 ? 3
f (?1) ? g (?1) ?

………… ①,

1 3 3 ? 1 ? 。由 f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数,得 ? f (1) ? g (1) ? 。… ② 2 2 2

3 3 ① ? ②,得 2 f (1) ? 3 ? , f (1) ? 。 2 4

8 . 已 知 直 线 l : x ? By ? 1 ? 0 的 倾 斜 角 为 ? , 若 4 5? ?? ? 1 2 0?, 则 B 的 取 值 范 围 为 【答案】 。

3 (?1, ) 3
1 ? 1 , 解 得 ?1 ? B ? 0 ; 当 B

【 解 答 】 当 ? ? 90? 时 , B ? 0 ; 当 4 5? ?? ? 9 0?时 , ?
9 0? ?? ? 1 2 0? 时, ?

1 3 ? ? 3 ,解得 0 ? B ? 。 B 3



3 B 的取值范围为 (?1, ) 。 3


9.如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? PB ? PC , PA ? PB , PA ? PC , △PBC 为等边三 角形,则 PC 与平面 ABC 所成角的正弦值为

【答案】

21 7

【解答】 如图,作 PO ? 面 ABC 于 O ,则 ?PCO 就是 PC 与平 面 ABC 所成的角。 ∵ ∴
PA ? PB , PA ? PC ,
第9题 图

PA ? 面 PBC 。

设 PA ? PB ? PC ? a ,则
3

1 1 3 2 3 3 VP ? ABC ? VA? PBC ? ? PA ? S△PBC ? ? a ? a ? a 。 3 3 4 12 1 7 7 2 又 S△ABC ? ? a ? a? a , 2 2 4 1 7 2 VP ? ABC ? ? PO ? S△ABC ? a ? PO 。 3 12


PO ?

3 PO 3 21 。 ? ? a , sin ?PCO ? PC 7 7 7

第 9 题答题图

或求出 △ABC 外接圆半径 OC 后,再求解。 10.函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? x 2 ? x ? 6 的最小值为 【答案】 。

6

2 ? ? x ? ?1 或 x ? 3 ? x ? 2x ? 3 ? 0 【解答】 由 ? 2 ,知 ? , x ? ?3 或 x ? 3 。 x ? ? 3 或 x ? 2 x ? x ? 6 ? 0 ? ? ?

∴ ∵ 数。 ∴ ∴ ∵ ∴

f ( x) 的定义域为 ? ?? , ? 3? ??3 , ? ?? 。
y1 ? x 2 ? 2 x ? 3 和 y2 ? x 2 ? x ? 6 在 ? ?? , 在 ?3 , ? 3? 上都是减函数, ? ?? 上都是增函

? 3? 上是减函数,在 ?3 , ? ?? 上是增函数。 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ? x2 ? x ? 6 在 ? ?? ,
f ( x) 的最小值是 f (?3) 与 f (3) 中较小者。

f (?3) ? 2 3 , f (3) ? 6 。
f ( x) 的最小值是 6 。
5 ,则 4

11 .已知函数 y ? a2 x ? 5a x ? 4 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )在区间 ? ?1, 1? 上的最小值为 ?

y ? a2 x ? 5a x ? 4 在区间 ? ?1, 1? 上的最大值为
【答案】 10



5 41 ? 5 ? 【解答】设 t ? a x ,则 y ? a 2 x ? 5a x ? 4 ? (t ? ) 2 ? 在 ? ? , ? ? ? 上为增函数。 2 4 ? 2 ? 5 41 ? 1 ? ? 1? 0 ? a ? 1 时, t ? ? a , ? , y ? (t ? ) 2 ? 在 ? a , ? 上为增函数。 2 4 ? a? ? a?



5 41 5 1 5 41 ymin ? (a ? ) 2 ? ? ? , a ? 。 ymax ? (2 ? ) 2 ? ? 10 。 2 4 4 2 2 4

5 41 ? 1 ? ?1 ? a ? 1 时, t ? ? , a ? , y ? (t ? ) 2 ? 在 ? , a 上为增函数。 2 4 ?a ? ?a ? ?
4



1 5 41 5 5 41 ymin ? ( ? ) 2 ? ? ? , a ? 2 。 ymax ? (2 ? ) 2 ? ? 10 。 a 2 4 4 2 4

? 2x ? 3 y ? 0 12.若实数 x , y 满足条件: ? 2 ,则 2 x ? y 的最小值为 2 4 x ? 9 y ? 36 ?
【答案】 4 2 【解答】由条件知, 2 x ? 3 y ? 0 , 2 x ? 3 y ? 0 ,因此, 2x ? 3 y , x ? 0 。 由对称性,不妨设 y ? 0 ,则 2 x ? y ? 2x ? y 。 设 2 x ? y ? t ,代入 4x2 ? 9 y2 ? 36 ,消 x 并整理,得 8 y2 ? 2ty ? 36 ? t 2 ? 0 。………… ① 由①的判别式 △ ? 4t 2 ? 32(36 ? t 2 ) ? 0 ,得 t ? ?4 2 或 t ? 4 2 。 由 2x ? 3 y ? y 知, t ? 2 x ? y ? 0 , t ? 4 2 。 又 t ? 4 2 时,①化为 8 y2 ? 8 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴



2 9 2 ,此时 x ? ,符合 2 x ? 3 y ? 0 。 2 4

t 的最小值为 4 2 。因此, 2 x ? y 的最小值为 4 2 。

5

三、解答题(第 13、14、15、16 题每题 16 分,第 17 题 14 分,满分 78 分) 13.在 △ABC 中,已知点 A(2 , 1) ,B(2 , ? 8) ,且它的内切圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,求点 C 的坐标。 【答案】易知直线 AB 于圆 O 相切,直线 AC 、 BC 的斜率存在。 设直线 AC 的方程为 y ?1 ? k1 ( x ? 2) ,即 k1 x ? y ? 1 ? 2k1 ? 0 。 由直线 AC 与圆 O 相切,知
0 ? 0 ? 1 ? 2k1 k ?1
2 1

3 ? 2 ,解得 k1 ? ? 。 4

∴ 直线 AC 的方程为 3x ? 4 y ? 10 ? 0 。
0 ? 0 ? 2 k 2 ?8 k ?1
2 2

………………………

8分

设直线 BC 的方程为 y ? 8 ? k2 ( x ? 2) ,即 k2 x ? y ? 2k2 ? 8 ? 0 。 由直线 BC 与圆 O 相切,知
? 2 ,解得 k2 ? ?
15 。 8

∴ 直线 BC 的方程为 15x ? 8 y ? 34 ? 0 。

……………………

12 分

? 3x ? 4 y ? 10 ? 0 ? x ? ?6 由? ,解得 ? 。 ? 15x ? 8 y ? 34 ? 0 ? y?7
7) 。 ∴ 点 C 的坐标为 (?6 ,

…………………………

16 分

6

14.已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c ( b , c ? R , b ? 0 ) ,且对任意实数 x , f ( x) ? 2 x ? b 恒成立。 (1)求证: c ? b ; (2)若当 c ? b 时,不等式 M (c2 ? b2 ) ? f (c) ? f (b) 对满足条件的 b , c 恒成立,求 M 的 最小值。 【答案】 (1)∵ 对任意实数 x , f ( x) ? 2 x ? b 恒成立, ………………… 4 分 ……………………… 8 分 ∴ 对任意实数 x , x2 ? bx ? c ? 2 x ? b ,即 x2 ? (b ? 2) x ? c ? b ? 0 恒成立。 ∴ ∴

△=(b ? 2)2 ? 4(c ? b) ? 0 ,即 b2 ? 4c ? 4 ? 0 。
4c ? b2 ? 4 ? 4b , c ? b 。

(2)由 c ? b 以及(1)知, c ? b ? 0 。 ∴

M (c2 ? b2 ) ? f (c) ? f (b) 恒成立,等价于 M ?

f (c) ? f (b) 恒成立。………… 12 分 c2 ? b2

设t ? 由t ? ∴

c f (c) ? f (b) (c ? b)(c ? 2b) c ? 2b t ? 2 1 ? ? ? ? 1? ,则 。 2 2 2 2 b c ?b c ?b c?b t ?1 t ?1 c f (c) ? f (b) 1 3 ? 1 ,知 ? 1? 的取值范围为 (1 , ) 。 2 2 b c ?b t ?1 2 3 3 , M 的最小值为 。 2 2

M ?

……………………… 16 分

7

15.如图, AD 、CF 分别是 △ABC 的中线和高线, PB 、 PC 是 △ABC 外接圆 O 的切线, 点 E 是 PA 与圆 O 的交点。 (1)求证: △AFD ∽△ACP ; (2)求证: DC 平分 ? ADE 。

【答案】 (1)由 PC 为圆 O 切线,知 ?CAF ? ?DCP 。 ∵ ∴ ∴
PB 、 PC 是圆 O 的切线, D 为 BC 中点,

O 、 D 、 P 三点共线,且 OP ? BC 。

?AFC ? ?CDP ? 90? , △AFC ∽△CDP 。

第 15 题 图

∴ ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴

AF CD ? 。 AC CP
CF ? AB , D 为 BC 中点,

……………… 4 分

FD ?

1 BC ? DC ? DB , ?DFB ? ?DBF 。 2

AF FD FA CA ? ? 。于是, 。 AC CP FD CP
?AFD ? 180? ? ?DFB ? 180? ? ?ABC ? ?ACP 。

△AFD ∽△ACP 。

……………… 8 分

第 15 题答题图

(2)延长 AD 交圆 O 于点 G ,连结 GE , BG , EC 。 由 △AFD ∽△ACP ,知 ?DAF ? ?PAC . ∴ ∴ ∴ ∴
BG ? EC , ?CBG ? ?BCE 。

……………… 12 分

又 D 为 BC 中点, DB ? DC 。
△BDG ≌△CDE 。
?BDG ? ?CDE , ?ADC ? ?BDG ? ?CDE 。 DC 平分 ? ADE 。

………………… 16 分

(2)或解:连结 OA 、 OB 、 OD 、 OE 。 由 OB ? BP , BD ? OP ,知 PB2 ? PD ? PO 。 又由切割线定理知, PB 2 ? PE ? PA , ∴ ∴ ∴ ∴
PD ? PO ? PE ? PA 。
E 、 A 、 O 、 D 四点共圆。

……………… 12 分

第 15 题答题图

?ODA ? ?OEA ? ?EAO ? ?PDE 。 DC 平分 ? ADE 。

又 OP ? BC 于 D ,因此, ?ADC ? ?EDC 。 ……………………… 16 分
8

? 2 a ? ? 2 b ? ? 2 c? 16.已知正整数 a , b , c ( a ? b ? c )为 △ABC 的三边长,且 ? ? ? ? ? ? ? ? ,求 ? 15 ? ?15 ? ?15 ?
a ? b ? c 的最小值。其中 ? m ? 表示 m 的小数部分,即 ? m ? ? m ? ? m ? ( ? m ? 表示不超过 m 的

最大整数) 。

?2 a ? ?2 b ? ?2 c ? 【答案】由 ? ? ? ? ? ? ? ? ,知 2a ? 2b ? 2c ( mod15 ) (即, 2a , 2b , 2c 被 15 除的 ? 15 ? ? 15 ? ? 15 ?
余数相同。 ) ∴ …………………………… 4 分 ……………… 8 分

2b (2 a ? b ?1) ? 0 ( mod15 ) , 2c (2 b ? c ?1) ? 0 ( mod15 ) 。

由 2 与 15 互质知, 2 a ? b ? 1( mod15 ) , 2 b ? c ? 1( mod15 ) 经验算,可知满足 2t ? 1( mod15 ) 的最小正整数 t ? 4 。 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴
a ? b , b ? c 都是 4 的倍数。

……………………… 12 分

设 b ? c ? 4 x , a ? c ? 4 y ( x , y 为正整数,且 y ? x ) 。

a , b , c 构成三角形三边长,
b ? c ? c ? 4 x ? c ? a ? c ? 4 y , c ? 4( y ? x) 。
c ? 5。 a ? b ? c 的最小值为 27。此时, a ? 13 , b ? 9 , c ? 5 。

经验证,5, 5 ? 4 ?1 ? 9 , 5 ? 4 ? 2 ? 13 可以为三角形的三边长。 …………… 16 分

9

17.已知集合 P ? ? 1,,, 2 3 L, 2015 ? 。集合 A 是 P 的子集,且在 A 的任意三个元素中, 总可以找到两个元素 a 和 b ,使得 a 是 b 的整数倍。求 A 的最大值。 (其中 A 表示集合 A 的 元素的个数) 。
2, 22 , 23 , L ,210 ,, 3 3? 2 , 3 ? 22 , L , 3 ? 29 ? 符合要求。 【答案】首先集合 A ? ? 1,

此时, A ? 21。 设 A ? ? a1 , a2 , a3 , L, ak

…………………………… 5 分

? ? P , a1 ? a2 ? a3 ? L

? ak ,满足:在 A 的任意三个元素中,总

可以找到两个元素 a 和 b ,使得 a 是 b 的整数倍。 取 A 的任意三个相邻元素: an , an ? 1 , an ? 2 。依题意 an ? 1 是 an 的整数倍,或 an ? 2 是 an 的 整数倍,或 an ? 2 是 an ? 1 的整数倍。 ∴

an ? 1 ? 2an ,或 an ? 2 ? 2an ,或 an ? 2 ? 2an ? 1 。
………………………… 10 分

于是,总有 an ? 2 ? 2an 成立。

因此, a2 ? 2 , a4 ? 2a2 ? 22 , a6 ? 2a4 ? 23 , a8 ? 2a4 ? 24 ,……。 ∴ 若 k ? 22 ,则 ak ? a22 ? 211 ? 2048 ? 2015 与 ak ? 2015 矛盾。 ∴
k ? 21 。

因此, A 的最大值为 21。

…………………………… 14 分

10


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