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2.4.2抛物线的简单的几何性质




y
M
O

K l

F

x

复习
1、抛物线的定义,代数表达式,标准方程。 2.前面我们学习了椭圆、双曲线的哪些几何性质?你能 类比探究出抛物线的几何性质吗? y y y y H
H H F
O

F

x

F

O

x

O

O



x

F

x

y2=2px

(p>0)

y2=-2px

(p>0)

1、范围: x≥0 2、对称性:x轴 3、顶点:(0,0) 4、离心率 e=1

1、范围: x≤0 2、对称性:x轴 3、顶点:(0,0) 4、离心率 e=1

练习1

例题讲解
1、斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线 相交于A、B两点,求AB的长.

解法一:根据已知条件写出直线方程,与抛物线方程联立 方程组,求出A、B坐标,利用两点间的距离公式求出|AB|. 解法二(数形结合):由右图集 抛物线的定义可知: |AF|=|AA’|,|BF|=|BB’|,所以 |AB|=|AA’|+|BB’| =x1+1+x2+1 =x1+x2+2 即只要求出x1+x2即可求出|AB| y
A’ A

O

B’

F B

x

解:∵p=2, ∴焦点F(1,0),准线l:x=-1 则直线l的方程为:y=x-1,代入y2=4x化简得: ∴x1+x2=6 x2-6x+1=0 所以|AB|=|AA’|+|BB’|=x1+x2+2=8 ∴ 线段|AB|的长为8。
y

设AB是过抛物线焦点的一条 弦(焦点弦),若A(x1,y1)、 B(x2,y2)则有 |AB|=x1+x2+p. 特别地:当AB⊥x轴,抛物 线的通径|AB|=2p

A’

A

O

F B

x

B’

例题讲解
2、直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且与抛物线相交 于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证: p2 y 1) x1 ? x 2 ? 2) y1y2=-p2. A 4

P ? 焦点F( , 0) 解: 2 P ? l AB : y ? k ( x ? ) 2

O

F B

x

代入y2=2px化简得:
2 2 k P 2 2 k x ? (k p ? 2p)x ? ?0 4 2

p ? x1 ? x 2 ? 4

练习3、4

1、已知抛物线关于x轴为对称轴,它的顶点在坐标 原点,并且经过点 M(2,?2 2 ) ,求它的标准方程. 2、过定点P(0,1)且与抛物线y2=2x只有一个公共点 的直线方程.

知识小结
求抛物线的问题要紧扣定义, 注意过焦点的直线问题

作业
A 组4,5


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