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2014高中数学复习讲义


2014 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑
第 1 课时 集合的概念及运算

【考点导读】 1. 了解集合的含义, 体会元素与集合的属于关系; 能选择自然语言, 图形语言, 集合语言描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 2. 理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;了解全集与空集 的含义. 3. 理解两个集合的交集与并集的含义,会求两个集合的交集与并集;理解在给 定集合中一个子集补集的含义,会求给定子集的补集;能使用文氏图表达集 合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 4. 集合问题常与函数,方程,不等式有关,其中字母系数的函数,方程,不等 式要复杂一些,综合性较强,往往渗透数形思想和分类讨论思想. 知识梳理: 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合 (1)集合中的对象称元素,若 a 是集合 A 的元素,记作 a ? A ;若 b 不是集合 A 的元素,记作 b ? A ; (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性; 确定性:设 A 是一个给定的集合,x 是某一个具体对象,则或者是 A 的元素, 或者不是 A 的元素, 两种情况必有一种且只有一种成立; 互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个 体(对象) ,因此,同一集合中不应重复出现同一元素; 无序性:集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的 排列顺序无关; (3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法; 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内; 描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。 具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范 围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注 意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。 (4)常用数集及其记法: 非负整数集(或自然数集) ,记作 N; * 正整数集,记作 N 或 N+; 整数集,记作 Z; 有理数集,记作 Q; 实数集,记作 R。 2.集合的包含关系: (1)集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,则称 A 是 B 的子集(或 B 包含 A) ,记作 A ? B(或 A ? B ) ;

集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若 A ? B 且 B ? A,则称 A 等于 B, 记作 A=B;若 A ? B 且 A≠B,则称 A 是 B 的真子集,记作 A B;

(2)简单性质:1)A ? A;2) ? ? A;3)若 A ? B,B ? C,则 A ? C;4)若 集合 A 是 n 个元素的集合,则集合 A 有 2n 个子集(其中 2n-1 个真子集) ; 3.全集与补集: (1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作 U; (2) 若 S 是一个集合, A ? S, 则,C S = {x | x ? S且x ? A} 称 S 中子集 A 的补集; (3)简单性质:1) C S ( C S )=A;2) C S S= ? , C S ? =S 4.交集与并集: (1)一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集。交集 A ? B ? {x | x ? A且x ? B} 。 (2)一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集。 并集A ? B ? {x | x ? A或x ? B} 注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分 交集与并集的关键是“且”与“或” ,在处理有关交集与并集的问题时,常常从 这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合 Venn 图或数轴进而用集合语言表 达,增强数形结合的思想方法。 5.集合的简单性质: (1) A ? A ? A, A ? ? ? ?, A ? B ? B ? A; (2) A ? ? ? A, A ? B ? B ? A; (3) ( A ? B) ? ( A ? B); (4) A ? B ? A ? B ? A; A ? B ? A ? B ? B (5) C S (A∩B)=( C S A)∪( C S B) , 。 C S (A∪B)=( C S A)∩( C S B) 典例解析 题型一集合的概念
例 1.选择题: (1)不能形成集合的是( ) (A)大于 2 的全体实数 (B)不等式 3x-5<6 的所有解 (C)方程 y=3x+1 所对应的直线上的所有点

(D)x 轴附近的所有点 分析:选 D.“附近”不具有确定性 (2)设集合 A ? {x | x ? 3 2}, x ? 2 6 ,则下列关系中正确的是( (A)x A (B)x ? A (C){x}∈A ) (D){x} A

题型二集合间关系 例 2.设集合 M ? {x | x ?
(A)M=N (C)M N 分析:方法一:

k 1 k 1 ? , k ? Z}, N ? {x | x ? ? , k ? Z} ,则( 2 4 4 2
(B)M N (D)M∩N=

)

1 1 3 3 ? M , ? N 故排除(A)、(C),又 ? M , ? N ,故排除(D). 4 4 2 2 k 1 k 1 1 方法二: 集合 M 的元素 x ? ? ? ( 2k ? 1), k ? Z. 集合 N 的元素 x ? ? ? 2 4 4 4 2

1 (k ? 2), k ? Z .而 2k+1 为奇数,k+2 为全体整数,因此 M N. 4
例 3.已知集合 A ? {x ? N

8 ? N} ,试求集合 A 的所有子集. 6? x

分析:本题是用{x|x∈P}形式给出的集合,注意本题中竖线前面的代表元素 x∈N. 解:由题意可知(6-x)是 8 的正约数,所以(6-x)可以是 1,2,4,8; 可以的 x 为 2,4,5,即 A={2,4,5}. ∴A 的所有子集为 ,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5}.

例 4.已知 A={x|-2<x<5},B={x|m+1≤x≤2m-1},B≠
?m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 值范围.解:由题设知 ?m ? 1 ? ?2 , ?2 m ? 1 ? 5 ?

,且 B ? A,求 m 的取

解之得,2≤m<3.

题型三集合的运算 例 5. (1)设全集 U={a, b, c, d, e}. 集合 M={a, b, c}, 集合 N={b, d, e}, 那么( ) UN)是( (A) (B){d} (C){a,c} (D){b,e} ∵ UM={b,c}, UN={a,c} ∴( UM)∩( UN)= ,答案选 A

UM)∩(

(2)全集 U={a,b,c,d,e},集合 M={c,d,e},N={a,b,e},则集合{a,b}可表 示为( ) (A)M∩N (B)( UM)∩N (C)M∩( UN) (D)( UM)∩( UN)

分析:同 1 可得答案选 B 例 6.如图,U 是全集,M、P、S 为 U 的 3 个子集,则下图中阴影部分所表示的集合 为( ) (A)(M∩P)∩S (B)(M∩P)∪S (C)(M∩P)∩( US) (D)(M∩P)∪( US)

∵阴影中任一元素 x 有 x∈M,且 x∈P,但 x ? S,∴x∈ 由交集、并集、补集的意义. ∴x∈(M∩P)∩( US)答案选 D. 例 7:(1)由已知,集合 A={-1,3},

US.

a?0 ? ?? 1 B?? { } a? ? 0 ? ? a ∵A∪B=A 得 B ? A
∴分 B= 当 B=
1 和 B ? { } 两种情况. a 时,解得 a=0;

1 1 当 B ? { } 时,解得 a 的取值 {?1, } a 3 1 3 ? a?0 ? ? (2)由已知, M ? {a}, N ? ? 1 { } a? ? 0 ? ? a
综上可知 a 的取值集合为 {0,?1, } ? ∵M∩N=M ? M ? N 当 N= 时,解得 a=0;M={0} 即 M∩N≠M ∴a=0 舍去 当 N ? { } 时,解得 a ?

1 a

1 ? a ? ?1 a

综上可知 a 的取值集合为{1,-1}. . (1)设 A={x|x2-2x-3=0}, B={x|ax=1}, 若 A∪B=A, 则实数 a 的取值集合为____; (2)已知集合 M={x|x-a=0},N={x|ax-1=0},若 M∩N=M,则实数 a 的取值集合为 ____. 例 8.定义集合 A-B={x|x∈A,且 x ? B}. (1)若 M={1,2,3,4,5},N={2,3,6}则 N-M 等于( ) (A)M (B)N (C){1,4,5 } (D){6} 解析:由已知,得 N-M={x|x∈N,且 x ? M}={6},∴选 D

(2)设 M、P 为两个非空集合,则 M-(M-P)等于( ) (A)P (B)M∩P (C)M∪P (D)M M-P 即为 M 中除去 M∩P 的元素组成的集合,故 M-(M-P)则为 M 中除去不为 M∩P 的元素的集合,所以选 B 例 5.全集 S={1,3,x3+3x2+2x},A={1,|2x-1|}.如果 sA={0},则这样的实数 x 是否 存在?若存在,求出 x;若不存在,请说明理由. 解:假设这样的 x 存在,∵ SA={0},∴0∈S,且|2x-1|∈S. 易知 x3+3x2+2x=0,且|2x-1|=3, 解之得,x=-1. 当 x=-1 时,S={1,3,0},A={1,3},符合题设条件. ∴存在实数 x=-1 满足 S A={0}.

强化训练:
1、已知全集 , ,则

A.

B.

C.

D.

2、若集合





,则

A.

B.

C.

D.

3、若集合



,则集合

等于(



A.

B.

C.

D.

4、设集合 值为( A. -4 ) B. 4



,若

,则实数



C. -6

D. 6 )

5、已知集合 S={1,2},集合 T={a},?表示空集,如果 S∪T=S,那么 a 的值是( A.? C.2 B.1 D.1 或 2

6、已知集合

,则集合

(

)

A.

B.

C.

D.

7、设全集

,集合

,则





A.

B.

C.

D.

8、已知集合 A={

|

},B={

|-2≤

<2=,则

=

.[-2,-1]

.[-1,2)

.[-1,1]

.[1,2)

9、已知集合 A={x|-1<x<2},B={x| 0<x<4},则集合 (A){x| 0<x<2} (C){x| 2<x<4} (B){x|-1<x ≤ 0} (D){x|-1<x<0}



10、已知全集

,集合



,那么集合

(A)

(B)

(C)

(D)

11、已知全集 集合为

集合

,

,下图中阴影部分所表示的

A.

B.

C.

D.

12、已知集合

,且

,则





A.

B.

C.

D.

13、满足 有 A.15 个 B.16 个

的集合 ( C.18 个 D.31 个 )

14、已知集合 M={0,1,2,3}, N={x|

<2 <4},则集合 M∩(CRN)等于(

x



A.{0,1,2}

B.{2,3}

C.

D.{0,1,2,3}

15、 设全集 为( )

是实数集

,集合



, 则

A.

B.

C.

D.

16、已知集合



,则

(

)

A.

B.

C.

D.

17、已知集合

,则





A.

B.

C .

D.

18、已知集合 值.

,若

,求实数



19、集合 A={x|-2≤x≤5},集合 B={x|m+1≤x≤2m-1}.

(1) 若 B

A,求实数 m 的取值范围;

(2) 当 x∈R 时,没有元素 x 使 x∈A 与 x∈B 同时成立,求实数 m 的取值范围.

20、已知集合 A={x|ax -3x+2=0,a∈R}. (1) 若 A 是空集,求 a 的取值范围; (2) 若 A 中只有一个元素,求 a 的值,并将这个元素写出来; (3) 若 A 中至多有一个元素,求 a 的取值范围.

2

21、已知集合 件的 的取值范围.



.求分别满足下列条

(Ⅰ)



(Ⅱ)

.

第2课 【考点导读】

命题及逻辑联结词

1. 了解命题的逆命题, 否命题与逆否命题的意义; 会分析四种命题的相互关系. 2. 了解逻辑联结词“或” , “且” , “非”的含义;能用“或” , “且” , “非”表述 相关的数学内容. 3. 理解全称量词与存在量词的意义;能用全称量词与存在量词叙述简单的数学 内容.理解对含有一个量词的命题的否定的意义;能正确地对含有一个量词 的命题进行否定.

考点梳理
1.命题:一般地,把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中 判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题: (1)一般地, 用 p 和 q 分别表示命题的条件和结论, 用¬ p 和¬ q 分别表示 p 和 q 的否定, 于是四种命题的形式就是: 原命题:若 p ,则 q ; 逆命题:若 q ,则 p ; 否命题:若¬ p ,则¬ q ; 逆否命题:若¬ q ,则¬ p . (2)四种命题的关系:

互为逆否的两个命题同真假. 4.简单的逻辑联结词:“或”、“且”、“非”这些词叫逻辑联结词. ①,记作 p ? q ,含义是: p 、 q 两个命题中至少有一个成立; ② p 且 q ,记作 p ? q ,含义是: p 、 q 两个命题同时成立; ③非 p ,记作¬ p ,含义是:对命题 p 的否定. (注:命题的否定与否命题是两个不同概念)

p

q

p?q

p?q

¬ p

真 真 假 假 5.真值表:

真 假 真 假

真 真 真 假

真 假 假 假 真 假

6.全称命题和特称命题: ①短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ? ”表示. 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ? ”表示.②含 有全称量词的命题,叫做全称命题;含有存在量词的命题叫做特称命题. 一般地,设 p ? x ? 是集合 M 的所有元素都具有的性质,那么全称命题就是形如“对 M 中任 意一个

x , p ? x ? 都成立”的命题,简记为: ?x ? M , p ? x ? ;特称命题就是形如“存在 M

中的一个 x0 ,使 p ? x0 ? 都成立”的命题,简记为: ?x0 ? M , p ? x0 ? . 7.含有一个量词的命题的否定: 一般地,对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题 p : ?x ? M , p ? x ? ,它的否定¬ p : ?x0 ? M ,¬ p ? x0 ? . 特称命题 p : ?x0 ? M , p ? x0 ? ,它的否定¬ p : ?x ? M ,¬ p ? x ? .

【典例解析】 题型一四种命题与其真假 例1. 写出下列命题的逆命题,否命题,逆否命题并判断真假. (1) 平行四边形的对边相等; (2) 菱形的对角线互相垂直平分; (3) 设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d . 分析:先将原命题改为“若 p 则 q” ,在写出其它三种命题. 解: (1) 原命题:若一个四边形是平行四边形,则其两组对边相等;真命题; 逆命题:若一个四边形的两组对边相等,则这个四边形是平行四边形;真命题; 否命题: 若一个四边形不是平行四边形, 则其两组对边至少一组不相等; 真命题; 逆否命题: 若一个四边形的两组对边至少一组不相等,则这个四边形不是平行四 边形;真命题. (2)

原命题:若一个四边形是菱形,则其对角线互相垂直平分;真命题; 逆命题:若一个四边形的对角线互相垂直平分,则这个四边形是菱形;真命题; 否命题:若一个四边形不是菱形,则其对角线不垂直或不平分;真命题; 逆否命题:若一个四边形的对角线不垂直或不平分,则这个四边形不是菱形;真 命题. (3) 原命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b, c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;真命题; 逆命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b, c ? d ;假命题; 否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? b 或 c ? d ,则 a ? c ? b ? d ;假命题; 逆否命题:设 a, b, c, d ? R ,若 a ? c ? b ? d ,则 a ? b 或 c ? d ;真命题. 点评:已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若 p 则 q”的形式, 找出其条件 p 和结论 q,再根据四种命题的定义写出其它命题;对于含大前提的 命题,在改写命题时大前提不要动;在写命题 p 的否定即 ? p 时,要注意对 p 中 的关键词的否定,如“且”的否定为“或” , “或”的否定为“且” , “都是”的否 定为“不都是”等. 题型二含联结词复合命题的真假 例 2.写出由下列各组命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形式的命题,并判 断真假. (1)p:2 是 4 的约数,q:2 是 6 的约数; (2)p:矩形的对角线相等,q:矩形的对角线互相平分; (3)p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同,q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根 的绝对值相等. 分析:先写出三种形式命题,根据真值表判断真假. 解: (1)p 或 q:2 是 4 的约数或 2 是 6 的约数,真命题; p 且 q:2 是 4 的约数且 2 是 6 的约数,真命题; 非 p:2 不是 4 的约数,假命题. (2)p 或 q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题; p 且 q:矩形的对角线相等且互相平分,真命题; 非 p:矩形的对角线不相等,假命题. (3)p 或 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同或绝对值相等,假命题;

p 且 q:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号相同且绝对值相等,假命题;
非 p:方程 x2 ? x ? 1 ? 0 的两实根的符号不同,真命题. 点评:判断含有逻辑联结词“或” , “且” , “非”的命题的真假,先要把结构弄清

楚,确定命题构成的形式以及构成它们的命题 p,q 的真假然后根据真值表判断 构成新命题的真假. 题型三 命题的否定 例 3.写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p:所有末位数字是 0 或 5 的整数都能被 5 整除; (2)p:每一个非负数的平方都是正数; (3)p:存在一个三角形,它的内角和大于 180°; (4)p:有的四边形没有外接圆; (5)p:某些梯形的对角线互相平分. 分 析 : 全 称 命 题 “ ?x ? M , p( x) ” 的 否 定 是 “ ?x ? M , ?p( x) ” ,特称命题 “ ?x ? M , p( x) ”的否定是“ ?x ? M , ?p( x) ” . 解: (1) ? p :存在末位数字是 0 或 5 的整数,但它不能被 5 整除,假命题; (2) ? p :存在一个非负数的平方不是正数,真命题; (3) ? p :任意一个三角形,它的内角和都不大于 180°,真命题; (4) ? p :所有四边形都有外接圆,假命题; (5) ? p :任一梯形的对角线都不互相平分,真命题.

点评:一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下:
正面词语 否定词语 正面词语 否定词语 等于 不等于 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有一个 一个也没有 小于 不小于 任意的 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 ? ?

强化练习:

1 . 若命题

为假命题,则

A.



中至少有一个为真命题

B.



中至多有一个为真命题

C.



均为真命题

D.



均为假命题

2、命题“若 是

,则

”的逆否命题 ( )

A、若

,则

B、若

,则

C、若

,则

D、若

,则

3、 已知命题 P:

; 命题

, 则下列判断正确的是 (



A.p 是假命题

B.q 是真命题

C.

是假命题

D.

是假命题

4、给出命题“若 真命题的个数是( A、0 B、1 ) C、2



”,在它的逆命题,否命题,逆否命题这三个命题中,

D、3

5、已知 a,b,c∈R,命题“若

=3,则

≥3”,的否命题是

(A)若 a+b+c≠3,则

<3

(B)若 a+b+c=3,则

<3

(C)若 a+b+c≠3,则

≥3

(D)若

≥3,则 a+b+c=3 )

6、下列有关命题的说法正确的是(

A.命题“若 x2 =4,则 x=2”的否命题为:“若 x2 =4,则 x≠2” B.“x=2”是“x2—6x+8=0”的必要不充分条件 C.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为真命题

D.命题“存在 x∈R,使得 x2+x+3>0”的否定是:“对于任意的 x∈R,均有 x2 +x+3<0" 7、命题“若 a +b =0,则 a=0 且 b=0”的逆否命题是( A.若 a +b ≠0,则 a≠0 且 b≠0 C.若 a=0 且 b=0,则 a +b ≠0
2 2 2 2 2 2 2 2

)

B.若 a +b ≠0,则 a≠0 或 b≠0 D.若 a≠0 或 b≠0,则 a +b ≠0 )
2 2

8、命题:?x,y∈R,若 xy=0,则 x=0 或 y=0 的逆否命题是( A.?x,y∈R,若 x≠0 或 y≠0,则 xy≠0 B.?x,y∈R,若 x≠0 且 y≠0,则 xy≠0 C.?x,y∈R,若 x≠0 或 y≠0,则 xy≠0 D.?x,y∈R,若 x≠0 且 y≠0,则 xy≠0 9、下列有关命题的说法正确的是( )

A.命题“若

,则

”的否命题为:“若

,则



B.命题“?

∈R,使得

”的否定是:“?

∈R,均有



C.“若

,则

互为相反数”的逆命题为真命题

D.命题“若

,则

”的逆否命题为真命题

10、下列命题错误的是

(

)

A.命题“若

”的逆否命题为“若



B. “

”是“

”的充分不必要条件

C. 若

为假命题,则

均为假命题

D. 对于命题



11、给出如下四个命题 ①若“ p 且 q”为假命题,则 p,q 均为假命题; ②命题“若 a>b,则 2 >2 -1”的否命题为“若 a≤b,则 2 ≤2 -1”;
a b a b

③“?x∈R,x +x≥1”的否定是“?x0∈R,
2

+x0≤1”;

④在△ABC 中,“A>B”是“sinA >sinB”的充要条件. 其中不正确的命题的个数是( A.4 B.3 C.2 )
2

) D.1

12、下列结论错误的是(
2

A.命题“若 x -3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x -3x-4≠0” B.“x=4”是“x -3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m +n =0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m +n ≠0,则 m≠0 或 n≠0”
2 2 2 2 2 2

13、已知命题

则它的逆否命题是(



A.

B.

C.

D.

14、命题

的否定

A.

B.

C.

D.

15、“

x∈R,

≥2”的否定是

(

)

A.

x∈R,

≥2

B.

x ∈R ,

<2

C.

x∈R,

<2

D.

x ∈R ,

≤2

16、命题“存在

”的否定是





A.不存在

B.存在

C.对任意的

D.对任意的

17、命题“

,都有

”的否定是(



A.

,使得

B.

,使得

C.

,都有

D.

,都有

18、命题

的否定是

A.

B.

C.

D.

19、若

,则(



A.

B.

C.

D.

20、 已知命题

:有的三角形是等边三角形,则

A.

:有的三角形不是等边三角形

B.

:有的三角形是不等边三角形

C.

:所有的三角形都是等边三角形

D.

:所有的三角形都不是等边三角形

21、命题“

”的否定是(



A.

B.

C.

D.

22、已知命题





;命题





.

则下列判断正确的是

A.

是假命题

B.

是假命题

C.

是真命题

D.

是真命题

23、如果命题“

”是假命题,则下列说法正确的是





A.

均为真命题

B.

中至少有一个为真命题

C.

均为假命题

D.

中至少有一个为假命题

24、已知命题





B.

C.

D. )

25、已知命题 p:?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≥0,则非 p 是( A.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0

D.?x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0 26、下列有关命题说法正确的是

A.命题 p:“

x∈R,sinx+cosx=
2

”,则

p 是真命题

B.“x=-1”是“x -5x-6=0”的必要不充分条件

C.命题“

x∈R,使得 x +x+1<0“的否定是:“

2

x∈R,x +x+1<0”

2

D.“a>l”是“y=logax(a >0 且 a≠1)在(0,+ 27、命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是 A.所有不能被 2 整除的数都是偶数 C.存在一个能被 2 整除的数不是偶数

)上为增函数”的充要条件 ( )

B.所有能被 2 整除的数都不是偶数 D.存在一个不能被 2 整除的数是偶数

第 3 课时 【考点导读】

充分条件和必要条件

1. 理解充分条件,必要条件和充要条件的意义;会判断充分条件,必要条件和 充要条件. 2. 从集合的观点理解充要条件,有以下一些结论: 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充分条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的必要条件; 若集合 P ? Q ,则 P 是 Q 的充要条件. 3. 会证明简单的充要条件的命题,进一步增强逻辑思维能力. 考点梳理:
充要条件: ①从逻辑观点上,关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必 要条件的判定在于区分命题的条件 p 与结论 q 之间的关系. 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分条件, q 是 p 必要条件; 若 p ? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 成立的充分不必要条件; 若 q ? p 且 p ?? q ,则 p 是 q 成立的必要不充分条件; 若 p ? q 且 q ? p ,即 p ? q ,则 p 是 q 成立的充要条件; 若 p ?? q 且 q ?? p ,则 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件.

②从集合的观点上,关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不 必要条件的判定在于判断 p 、 q 相应的集合关系. 建立与 p 、 q 相应的集合,即 p : A ? x p ? x ? 成立 若 A ? B ,则 p 是 q 的充分条件,若 A 若 B ? A ,则 p 是 q 的必要条件,若 B 若 A ? B ,则 p 是 q 成立的充要条件; 若A? ? B且B? ? A,则 p 是 q 成立的既不充分也不必要条件.

?

? , q : B ? ? x q ? x ? 成立 ? .

B ,则 p 是 q 成立的充分不必要条件; A ,则 p 是 q 成立的必要不充分条件;

【典例解析】 例.用 “充分不必要条件, 必要不充分条件, 充要条件和既不充分也不必要条件” 填空.

? x ? 2, ? x ? y ? 4, (1) ? 是? 的___________________条件; ? y ? 2. ? xy ? 4.
(2) ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 是
x?4 ? 0 的___________________条件; x ?1

(3) ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的___________________条件; (4) x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的___________________条件. 分析:从集合观点“小范围 ? 大范围”进行理解判断,注意特殊值的使用.

? x ? 2, ? x ? y ? 4, 1 解: (1) 因为 ? 结合不等式性质易得 ? , 反之不成立, 若 x ? ,y ? 10 , 2 ? y ? 2. ? xy ? 4. ? x ? y ? 4, ? x ? 2, ? x ? 2, ? x ? y ? 4, 有? ,但 ? 不成立,所以 ? 是? 的充分不必要条件. ? xy ? 4. ? y ? 2. ? y ? 2. ? xy ? 4.
( 2 ) 因 为 ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 的 解 集 为 [?1, 4] ,
( x ? 4)( x ? 1) ? 0 是

x?4 ? 0 的 解 集 为 (?1, 4] , 故 x ?1

(3) 当? ? ? ?

?
2

x?4 ? 0 的必要不充分条件. x ?1

时,tan ? , tan ? 均不存在; 当 tan ? ? tan ? 时, 取? ?

?
4

,? ?

5? , 4

但 ? ? ? ,所以 ? ? ? 是 tan ? ? tan ? 的既不充分也不必要条件. (4)原问题等价其逆否形式,即判断“ x ? 1 且 y ? 2 是 x ? y ? 3 的____条件” , 故 x ? y ? 3 是 x ? 1 或 y ? 2 的充分不必要条件. 强化练习:

1、 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

“x∈A”是“x∈B”的( C.充分必要条件



D.既非充分也非必要条件

2、已知 的

,则 “

”是“

” (

)A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3、 “

”是“

”的 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、.

A.充分不必要条件



”是“

”的





A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5、 在△ABC 中, “ A.充分不必要条件 C.充要条件

” 是 “

” 的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件





6、设

是两个命题: B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

,则





A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

7、若集合 A. 充分不必要条件 C. 充要条件

,则“

”是“

={4}”的(



B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

8、已知 P:|2x-3|<1, Q:x(x-3)<0, A.充分不必要条件; C.充要条件 ;

则 P 是 Q 的(



B.必要不充分条件 ; D.既不充分也不必要条件

9、已知 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件







10、条件

,条件

,则



的(



A.充分非必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件

11、 已知平面

,直线

,直线 m?

,则“直线 ∥

”是“ ∥m”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

12、已知

是实数,则“



”是“



”的

(

).

(A)充分而不必要条件 (C)必要而不充分条件

(B)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

13、已知向量



,则“

”是“



”的(



A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2012 高中数学复习讲义 第二章 函数 A
【知识导读】 表 示 方 法 一般化 概念 定义域 值域 图像 单调性 奇偶性

【方法点拨】 函数是中学数学中最重要,最基础的内容之一,是学习高等数学的基础.高中函数以具 体的幂函数,指数函数,对数函数和三角函数的概念,性质和图像为主要研究对象,适当研 究分段函数,含绝对值的函数和抽象函数;同时要对初中所学二次函数作深入理解. 1.活用“定义法”解题.定义是一切法则与性质的基础,是解题的基本出发点.利用定义, 可直接判断所给的对应是否满足函数的条件,证明或判断函数的单调性和奇偶性等. 2.重视“数形结合思想”渗透. “数缺形时少直观,形缺数时难入微” .当你所研究的问题较 为抽象时,当你的思维陷入困境时,当你对杂乱无章的条件感到头绪混乱时,一个很好的建 议:画个图像!利用图形的直观性,可迅速地破解问题,乃至最终解决问题. 3.强化“分类讨论思想”应用.分类讨论是一种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也 是一种重要的解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.进行分类 讨论时,我们要遵循的原则是:分类的对象是确定的,标准是统一的,不遗漏、不重复,科 学地划分,分清主次,不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重” . 4.掌握“函数与方程思想” .函数与方程思想是最重要,最基本的数学思想方法之一,它在 整个高中数学中的地位与作用很高. 函数的思想包括运用函数的概念和性质去分析问题, 转 化问题和解决问题. 函数的概念和表示方法

【考点导读】 1.在体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型的基础上,通过集合与 对应的语言刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用;了解构成函数的 要素,会求一些简单函数的定义域和值域.

2.准确理解函数的概念,能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数. 1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为 从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的 集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意: (1) “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)” ; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种 形式: ①自然型:指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围(如:分式函数的分母 不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等) ; ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往 也是难点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型: 解决函数的综合问题与应用问题时, 应认真考察自变量 x 的实际意义。
函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零;2、偶次方根的被开方数大于等于零;3、对数的真数大于 零; 4、 指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; 5、 三角函数正切函数 y ? tan x 中

x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;6、如果函数是由实际意义确定的解析式,

应依据自变量的实际意义确定其取值范围。

(2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些 简单函数的值域问题 ①配方法(将函数转化为二次函数) ;②判别式法(将函数转化为二次方程) ;③ 不等式法(运用不等式的各种性质) ;④函数法(运用基本函数性质,或抓住函 数的单调性、函数图象等) 。 3.两个函数的相同 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域 及从定义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义 域和对应法则为函数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都 分别相同时,这两个函数才是同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于 集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么 就称对应 f:A ?B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B” 。

函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为 “任意两个非空集合” ,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关 系,这种的对应就叫映射。 注意: (1) 这两个集合有先后顺序, A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的. 其 中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2) “都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且 只有一个的意思 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做 函数的解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函 数又称分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间 变量, 典例解析 题型一:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=
x ? 0, ?1 |x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

(3)f(x)= 2n?1 x 2n?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1(n∈N*) ; (4)f(x)= x
x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。 解: (1)由于 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= 3 x 3 =x,故它们的值域及对应法则都不 相同,所以它们不是同一函数; (2) 由于函数 ( f x) =
x ? 0, ?1 |x| 的定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 而g (x) =? x ?? 1 x ? 0;

的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)= 2n?1 x 2n?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法 则都相同,所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x
x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义

域为{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 题型二:函数定义域问题
例 2.求下列函数的定义域:① y ?

1 ? x2 ?1 ; 2? x

② f ( x) ?

x ; log 1 (2 ? x)
2

解得 x ? ?1 且 x ? ?2 或 x ? 1 且 x ? 2 , 2 x ? 1 ? 0, ? ? 故定义域为 (??, ?2) ? (?2, ?1] ? [1, 2) ? (2, ??) . ② 由题意得: log 1 (2 ? x) ? 0 ,解得 1 ? x ? 2 ,故定义域为 (1, 2) . 解: (1)① 由题意得: ?
2

? ?2 ? x ? 0,

题型三函数值域问题
例 3.求下列函数的值域: (1) y ? ? x ? 4 x ? 2 , x ? [0,3) ;
2

x2 ( x ? R) ; x2 ? 1 (3) y ? x ? 2 x ? 1 .
(2) y ? 分析:运用配方法,逆求法,换元法等方法求函数值域. (1) 解: y ? ? x ? 4x ? 2 ? ?( x ? 2) ? 2 ,
2 2

x ? [0,3) , ? 函数的值域为 [?2, 2] ;

(2) 解 法 一 : 由 y ?

x 1 ? 1? 2 , x ?1 x ?1 ? 0 ? y ? 1 ,故函数值域为 [0,1) .
2

2

0?

1 ?1 ,则 x ?1
2

?1 ? ?

1 ?0 , x ?1
2

解法二:由 y ? 函数值域为 [0,1) .

x2 y y 2 ,则 x ? , x2 ? 0 , ? ? 0 , ? 0 ? y ? 1 ,故 2 1? y x ?1 1? y

2 2 (3)解:令 x ? 1 ? t (t ? 0) ,则 x ? t 2 ? 1 ,? y ? t ? 2t ?1 ? (t ?1) ? 2 ,

当 t ? 0 时, y ? ?2 ,故函数值域为 [?2, ??) . 点评: 二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法; 逆求法利用函数有界性求函数的值 域;用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围.

题型四:函数值域问题 例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3x2 ? x ? 2 ; (2) y ? ? x2 ? 6 x ? 5 ; (3) y ?
3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ; (5) y ? x ? 1 ? x 2 ; (6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?
2 x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 y ? (x ? ) ; ; ( 8 ) 2 2x ?1 2 x ? x ?1
1 23 23 y ? 3x 2 ? x ? 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? , 6 12 12

解: (1) (配方法)

∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [

23 , ?? ) 12

改题:求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。 解: (利用函数的单调性)函数 y ? 3x2 ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增, ∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 ∴函数 y ? 3x2 ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。 (2)求复合函数的值域: 设 ? ? ? x2 ? 6 x ? 5 ( ? ? 0 ) ,则原函数可化为 y ? ? 又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ?( x ? 3)2 ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ? ?[0,2] , ∴ y ? ? x2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2] (3) 分离变量法: y ? ∵
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2

(4)换元法(代数换元法) :设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t 2 , ∴原函数可化为 y ? 1 ? t 2 ? 4t ? ?(t ? 2)2 ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 , ∴原函数值域为 (??,5] 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域, 变形: y ? ax2 ? b ? cx 2 ? d 或 y ? ax2 ? b ? cx ? d (5)三角换元法: ∵ 1 ? x2 ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,

? 则 y ? cos ? ? sin ? ? 2 sin(? ? ) 4
∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ?

?

? 5? ? 2 ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ?[? ,1] , 4 4 4 4 2

? ∴ 2 sin(? ? ) ? [?1, 2] , 4
∴原函数的值域为 [?1, 2] (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ? ?5 ∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵ x2 ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。 由y?
2 x2 ? x ? 2 得: ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1
??2 x ? 3 ?2 x ? 3 ? ( x ? ?4) (?4 ? x ? 1) , ( x ? 1)



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时, ∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x2 ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根, ∴△ ? ( y ? 1)2 ? 4 ? ( y ? 2)2 ? 0 , ∴ 1? y ? 5且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] 。

(8)

y?

2 x ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? x? ? x? ? ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2
2

1 2

∵x?

1 1 ,∴ x ? ? 0 , 2 2
? 2,

1 1 1 1 2 ∴ x? ? ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2

1 1? 2 1 当仅当 x ? ? 2 时,即 x ? 时等号成立。 2 x?1 2 2

∴y? 2?

1 , 2

1 ∴原函数的值域为 [ 2 ? , ??) 。 2 题型五:函数解析式

1 1 例 6. (1)已知 f ( x ? ) ? x 3 ? 3 ,求 f ( x) ; x x 2 (2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; x

(3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x) 。 x 1 1 1 1 解: (1)∵ f ( x ? ) ? x3 ? 3 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , x x x x

∴ f ( x) ? x3 ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) 。
2 2 ?1 ? t ( t ? 1 ) ,则 x ? , x t ?1 2 2 ( x ? 1) 。 ∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg t ?1 x ?1

(2)令

(3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ?1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b
? ax ? b ? 5a ? 2 x ? 17 , ∴ a ?2,b?7 ,

∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。
1 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ①, x 1 1 3 把①中的 x 换成 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ②, x x x 3 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? , x 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? x 点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可 用待定系数法;第(4)题用方程组法。 【总结】 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;

(2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等 式:解方程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2.求函数定义域一般有三类问题: (1) 给出函数解析式的: 函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合;

(2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实 际问题有意义; (3)已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的 定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定 义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a, b? , 其复合函数 f ? g ( x)? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解 出。 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。 其类型依解析式的特点分可分 三类:(1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常 见函数作某些“运算”而得函数的值域。 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?
k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) };

4a 4a

2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法” ) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; k ⑥基本不等式法:转化成型如: y ? x ? (k ? 0) ,利用平均值不等式公式来求值 x 域; ⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域
强化练习:

(??, 0] . 1.函数 f(x)= 1 ? 2 x 的定义域是___________
2.函数 f ( x) ?

1 (1, 2) ? (2,3) . 的定义域为_________________ log2 (? x ? 4 x ? 3)
2

(0,1]

3. 函数 y ?

1 ( x ? R ) 的值域为________________. 1 ? x2

(??, 4] 4. 函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域为_____________ .
2

1 3 [? , 0) ? ( ,1] 5.函数 y ? log 0.5 (4 x ? 3x) 的定义域为_____________________ . 4 4
6.记函数 f(x)= 2 ?

x?3 的定义域为 A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1) 的定义域为 B. x ?1

(1) 求 A; (2) 若 B ? A,求实数 a 的取值范围. 解:(1)由 2-

x?3 x ?1 ≥0,得 ≥0,x<-1 或 x≥1, 即 A=(-∞,-1)∪ [1,+ ∞) . x ?1 x ?1

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵ a<1,∴ a+1>2a,∴ B=(2a,a+1) . ∵ B ? A, ∴ 2a≥1 或 a+1≤-1,即 a≥

1 或 a≤-2,而 a<1, 2 1 ,1). 2
a =

∴ ≤a<1 或 a≤-2,故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪ [

1 2

7. 设 函 数 ( ) A.-3 C.-1 【答案】C

f(x) = ?

? x,x≥0, ? -x,x<0,
B .± 3 D .± 1



f(a) +

f( - 1) = 2 , 则

【解析】若 a≥0,则 a+1=2,得 a=1;若 a<0,则 -a+1=2,得 a=-1. x-4 的定义域为________. |x|-5 【答案】{x|x≥4 且 x≠5} 8.函数 f(x)=
?x-4≥0, ? 【解析】由? ∴x≥4 且 x≠5. ?|x|-5≠0 ?

9.若 x有意义,则函数 y=x2+3x-5 的值域是________.

10.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(-1)=________. 【答案】8

? ? ?1+b+c=0, ?b=-4, 【解析】由已知得? 得? ?9+3b+c=0, ?c=3. ? ?

∴f(x)=x2-4x+3. ∴ f(-1)=(-1)2-4× (-1)+3=8. 11. (人教 A 版教材习题改编)函数 f(x)=log2(3 +1)的值域为(
x

).

A.(0,+∞) C.(1,+∞) 【答案】A 【解析】

B.[0,+∞) D.[1,+∞)

∵3x+1>1,∴f(x)=log2(3x+1)>log21=0.

12. (经典习题)函数 y=f(x)的图象如图所示.那么,f(x)的定义域是________; 值域是________;其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是________.

【名校模拟】
一.扎实基础
13. ( 唐 山 市 2011 — 2012 学 年 度 高 三 年 级 第 一 次 模 拟 考 试 文 ) 函 数

y ? log 2 (1 ? x ) ? 4 ? 2x 的定义域为
( A ) ( - 1 , 2 ) ( B ) ( 0 , 2 ] ( C ) ( 0 , 2 ) ( D ) ( - 1 , 2 ]

14. (设 f ( x) ? ? A.5 【答案】C

x ? 10, ? x ? 3, 则 f (6) 的值为 ? f [ f ( x ? 5), x ? 10,
B.6 C.7 D.8

【解析】 f (6) ? f ? ? f ?11? ? ? ? f ?8? ? f ? ? f ?13? ? ? ? f ?10 ? ? 7 . 15. 若函数 f ( x) ? ?

?1 ? ln x(0 ? x ? 2)
2 ? x ( x ? 2)

,且

f ( x) ? 2 ,则 x 的值为

A.e
【答案】C

B. 2

C.e ?1

D.e ?1 或 2

【解析】本题考查函数的定义和对分段函数的解析式的理解。

16.函数

的定义域是

(A)

(B)

(C)

(D)

17.设 f ( x) ? ? A.0 【答案】C

x ?1 ? ?2e , x<2, 则f ( f (2))的值为 2 log ( x ? 1) , x ? 2. ? ? 3

(

) D.3

B.1

C.2

【解析】解:因为 f (2) ? log 3 3 ? 1? f ( f (2)) ? f (1) ? 2e1?1 ? 2 ,选 C. 18.下列四组函数中,表示同一函数的是( )

A.

f ( x) ? x , g ( x) ?

x

2

B.

f ( x) ? x , g ( x) ? ( x )

2

f ( x) ?

x ?1
2

C. 【答案】A

x ?1

, g ( x) ? x ? 1

D. f ( x ) ?

x ?1 ?

x ? 1, g ( x ) ?

x ?1
2

19. (2012 云南省第一次高中毕业生统一检测复习文 )已知

计算

解:∵

,∴

.∴

.

.20. (2012 年石家庄市高中毕业班教学质量检测 (二 ) 理 ) 函数 y ? log 2 x ? x 的定义域
2

?

?

为 【答案】 ? 0,1?



【解析】由题意可知 x ? x ? 0,? x ? x ? 0,? 0 ? x ? 1, 故函数 y ? log 2 x ? x 的定义域
2 2

?

2

?

为 ? 0,1? .

第2课
【考点导读】

函数的基本性质

1.理解函数单调性,最大(小)值及其几何意义; 2.理解解函数奇偶性的含义, 3.会运用函数的综合性质解决具体问题 知识梳理:

1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为

奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x), 则称 f(x)为偶函数。 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条 性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数。 注意: 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性 ○ 质; 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域 ○ 内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对 称) 。 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: 1 首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对称; ○ 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ 3 作出相应结论: ○ 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数 (3)简单性质: ①图象的对称性质: 一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称;一 个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 2.单调性 (1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个 区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) , 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ; 注意: 1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) ○ (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3)设复合函数 y= f[g(x)],其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间,B 是 映射 g : x→u=g(x) 的象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则 函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函 数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 (4)判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ○ ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ 。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同; ②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内: 增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数; 增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。 3.最值 (1)定义: 最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任 意的 x∈I, 都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M。 那么, 称 M 是函数 y=f(x) 的最大值。 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任 意的 x∈I, 都有 f(x)≥M; ②存在 x0∈I, 使得 f(x0) = M。 那么, 称 M 是函数 y=f(x) 的最大值。 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I,都 ○ 有 f(x)≤M(f(x)≥M) 。 (2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法: 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值; ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○

如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x) 在 x=b 处有最小值 f(b); 4.周期性 (1)定义:如果存在一个非零常数 T,使得对于函数定义域内的任意 x,都有 f(x+T)= f(x),则称 f(x)为周期函数; T T (2)性质:①f(x+T)= f(x)常常写作 f ( x ? ) ? f ( x ? ), 若 f(x)的周期中,存在一 2 2 个最小的正数,则称它为 f(x)的最小正周期;②若周期函数 f(x)的周期为 T,则 f(ω x)(ω ≠0)是周期函数,且周期为 【典例解析】 题型一:判断函数的奇偶性
例 1.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ?

T |? |

(1 ? 2 x ) 2 ; 2x
1 ; x2

(2) f ( x) ? lg( x ?

x2 ? 1) ;
1? x ; 1? x

2 (3) f ( x ) ? lg x ? lg

(4) f ( x) ? (1 ? x)

(5) f ( x) ? x ? x ?1 ?1 ;
2

?? x 2 ? x ( x ? 0), ? (6) f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x ( x ? 0).

分析:判断函数的奇偶性,先看定义域是否关于原点对称,再利用定义判断. 解: (1)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

f (? x) ?

(1 ? 2? x )2 22 x ? (1 ? 2? x ) 2 ? ? 2? x 22 x ? 2? x

(1 ? 2 x ) 2 ? f ( x) , 2x
所以 f ( x ) 为偶函数. ( 2 ) 定 义 域 为

x?R

















f (? x) ? f ( x) ? lg(? x ? x 2 ? 1) ? lg( x ? x 2 ? 1) ? lg1 ? 0 ,
? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数.
(3)定义域为 x ? (??,0) ? (0, ??) ,关于原点对称;

f ( x) ? 0 ,? f (? x) ? ? f ( x) 且

f (? x) ? f ( x) ,

所以 f ( x ) 既为奇函数又为偶函数. (4)定义域为 x ?[?1,1) ,不关于原点对称;故 f ( x ) 既不是奇函数也不是偶函数. ( 5 )定义域为 x ? R ,关于原点对称;

f (?1) ? 4 , f (1) ? 2 ,则 f (?1) ? f (1) 且

f (?1) ? ? f (1) ,故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数.
(6)定义域为 x ? R ,关于原点对称;

??(? x) 2 ? (? x) (? x ? 0), ?? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? ,? f (? x) ? ? 又 f (0) ? 0 , f (? x) ? ? 2 2 ? ? ?(? x) ? (? x) (? x ? 0). ? x ? x ( x ? 0). ?? x 2 ? x ( x ? 0), ? ? f (? x) ? ? 2 ? f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. ? ? x ? x ( x ? 0).
点评:判断函数的奇偶性,应首先注意其定义域是否关于原点对称;其次,利用定义即

f ( ? x) ? ? f ( x) 或 f ( ? x ) ? f ( x ) 判 断 , 注 意 定 义 的 等 价 形 式 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 0 或 f ( ? x) ? f ( x) ? 0 .

题型二:判断证明函数的单调性
2 例 2:求证: (1)函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调递增函数;

3 4

(2)函数 f ( x) ?

2x ?1 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调递增函数. x ?1 3 4

分析:利用单调性的定义证明函数的单调性,注意符号的确定. 证明: (1)对于区间 (??, ] 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?2x12 ? 3x1 ?1 ? (?2x22 ? 3x2 ?1) ? 2x22 ? 2x12 ? 3x1 ? 3x2

? ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ,
又 x1 ? x2 ?

3 3 ,则 x1 ? x2 ? 0 , x1 ? x2 ? ,得 3 ? 2( x1 ? x2 ) ? 0 , 4 2

故 ( x1 ? x2 )[3 ? 2( x1 ? x2 )] ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
2 所以,函数 f ( x) ? ?2 x ? 3x ?1 在区间 (??, ] 上是单调增函数.

3 4

(2)对于区间 (??, ?1) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 3( x1 ? x2 ) , ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

又 x1 ? x2 ? ?1 ,则 x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 1) ? 0 , ( x2 ? 1) ? 0 得, ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 故

3( x1 ? x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

2x ?1 在区间 (??, ?1) 上是单调增函数. x ?1 2x ?1 同理,对于区间 (?1, ??) ,函数 f ( x) ? 是单调增函数; x ?1 2x ?1 所以,函数 f ( x) ? 在区间 (??, ?1) 和 (?1, ??) 上都是单调增函数. x ?1
所以,函数 f ( x) ? 点评: 利用单调性定义证明函数的单调性, 一般分三步骤: (1) 在给定区间内任意取两值 x1 , (2)作差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,化成因式的乘积并判断符号; (3)给出结论. x2 ;

题型三:函数的单调和奇偶性综合问题
例 3. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 是奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ? 2 ,求函数

f ( x) 的解析式,并指出它的单调区间.
分析:奇函数若在原点有定义,则 f (0) ? 0 .
2 解:设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 , ? f (? x) ? x ? 2x ? 2 .

又 f ( x ) 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x) , ? f ( x) ? ? f (? x) ? ? x ? 2 x ? 2 .
2

当 x ? 0 时, f (0) ? 0 .

? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ? 综上, f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? ?0, x ?0. ?? x 2 ? 2 x ? 2, x ? 0 ?
作出 f ( x ) 的图像,可得增区间为 (??, ?1] , [1, ??) ,减区间为 [?1, 0) , (0,1] .

题型四 综合性质问题 例 4.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上 是增函数,则 ( ).

A. f (?25) ? f (11) ? f (80)

B. f (80) ? f (11) ? f (?25) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11) 答案 D

解析 因为 f ( x) 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,所以 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以函数是以 8 为 周期的周期函数, 则 f (?25) ? f (?1) , f (80) ? f (0) , f (11) ? f (3) ,又因为 f ( x) 在 R 上是奇函数, f (0) ? 0 ,得 f (80) ? f (0) ? 0 , f (?25) ? f (?1) ? ? f (1) ,而由
f ( x ? 4) ? ? f ( x) 得 f (11) ? f (3) ? ? f (?3) ? ? f (1 ? 4) ? f (1) ,

又因为 f ( x) 在区间[0,2]上是增函数,所以 f (1) ? f (0) ? 0 ,所以 ? f (1) ? 0 ,即
f (?25) ? f (80) ? f (11) ,故选 D.

例 5.已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的周期函数,周期 T ? 5 ,函数 在 [1, 4] 上是二 y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数 又知 y ? f ( x) 在 [0,1] 上是一次函数,
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次函数,且在 x ? 2 时函数取得最小值 ?5 。 ① 证明: f (1) ? f (4) ? 0 ; ② 求 y ? f ( x), x ?[1, 4] 的解析式; 解:∵ f ( x) 是以 5 为周期的周期函数, ∴ f (4) ? f (4 ? 5) ? f (?1) , 又∵ y ? f ( x)(?1 ? x ? 1) 是奇函数, ∴ f (1) ? ? f (?1) ? ? f (4) , ∴ f (1) ? f (4) ? 0 。 ② 当 x ? [1, 4] 时,由题意可设 f ( x) ? a( x ? 2)2 ? 5 (a ? 0) , 由 f (1) ? f (4) ? 0 得 a(1 ? 2)2 ? 5 ? a(4 ? 2)2 ? 5 ? 0 , ∴ a ?2, ∴ f ( x) ? 2( x ? 2)2 ? 5(1 ? x ? 4) 。

【总结】 1.判断函数的奇偶性,必须按照函数的奇偶性定义进行,为了便于判断,常应 用定义的等价形式:f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0; 2. 对函数奇偶性定义的理解, 不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上, 要明确对定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质是:函数的定义 域关于原点对称 这是函数具备奇偶性的必要条件。稍加推广,可得函数 f(x)的图 象关于直线 x=a 对称的充要条件是对定义域内的任意 x, 都有 f(x+a)=f(a-x)成立 函 数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映; 3.若奇函数的定义域包含 0,则 f(0)=0,因此, “f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非 充分非必要条件; 4.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称,因此根据图象的 对称性可以判断函数的奇偶性。 5.若存在常数 T,使得 f(x+T)=f(x)对 f(x)定义域内任意 x 恒成立,则称 T 为函数 f(x)的周期,一般所说的周期是指函数的最小正周期 周期函数的定义域一定是无 限集。 6. 单调性是函数学习中非常重要的内容, 应用十分广泛, 由于新教材增加了 “导 数”的内容,所以解决单调性问题的能力得到了很大的提高,因此解决具体函数 的单调性问题, 一般求导解决, 而解决与抽象函数有关的单调性问题一般需要用 单调性定义解决。 注意, 关于复合函数的单调性的知识一般用于简单问题的分析, 严格的解答还是应该运用定义或求导解决 强化练习:
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1. 给 出 4 个 函 数 : ① f ( x) ? x5 ? 5x ; ② f ( x) ?

x4 ?1 ; ③ f ( x) ? ?2 x ? 5 ; ④ x2

f ( x) ? ex ? e? x .
其中奇函数的有___①④___; 偶函数的有____②____; 既不是奇函数也不是偶函数的有____ ③____. 2. 设函数 f ? x ? ?

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数
x

a?

-1



3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( A ) A. y ? ? x 3 , x ? R B. y ? sin x, x ? R C. y ? x, x ? R D.

1 y ? ( )x, x ? R 2
4. 已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数, 且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶函数, 则( D ) A. f ?6? ? f ?7? B. f ?6? ? f ?9? C. f ?7? ? f ?9? D. f ?7? ? f ?10?

5. 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2? 是减函 数,则函数 f ?x ? ( B )

A.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1? 上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1? 上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数

1 ? 则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为____1, ,3? , 2 ? 5 3 ___. 2 1 7. 设函数 f ( x)(x ? R) 为奇函数, f (1) ? , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2), 则 f (5) ? ________. 2
6. 设 ? ? ?? 1,1, 8.若函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f (2) ? 0 ,则使得

? ?

f ( x) ? 0 的 x 的取
值范围是(-2,2) .

ax 2 ? 1 9. 已知函数 f ( x) ? (a, b, c ? Z ) 是奇函数.又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a,b,c 的 bx ? c
值; 解:由 f (? x) ? ? f ( x) ,得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ,得 c ? 0 .又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b ,

4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 .又 a ? Z , ? a ? 0 或 1. a ?1 1 若 a ? 0 ,则 b ? ? Z ,应舍去;若 a ? 1 ,则 b ? 1 ? Z . 2
而 f (2) ? 3 ,得 所以, a ? 1, b ? 1, c ? 0 . 综上,可知 f ( x ) 的值域为 {0,1, 2,3, 4} .

10.下列函数中: ① f ( x) ?

1 2 ; ② f ? x ? ? x ? 2x ? 1 ; x

③ f ( x) ? ? x ;

④ f ( x) ? x ?1 .

其中,在区间(0,2)上是递增函数的序号有___②___. 11.函数 y ? x x 的递增区间是___ R ___. 12.函数 y ?

(??, ?1] . x2 ? 2 x ? 3 的递减区间是__________
(1, ??)

13.已知函数 y ? f ( x) 在定义域 R 上是单调减函数, 且 f (a ? 1) ? f (2a) ,则实数 a 的取值 范围__________. 14.已知下列命题: ①定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 是 R 上的增函数; ②定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (2) ? f (1) ,则函数 f ( x ) 在 R 上不是减函数; ③定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上是增函数,在区间 [0, ??) 上也是增函数,则 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数; ④定义在 R 上的函数 f ( x ) 在区间 (??, 0] 上是增函数,在区间 (0, ??) 上也是增函数,则 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 其中正确命题的序号有_____②______. 15 .已知函数 f ( x) ? _________. 16 .已知函数 f ( x) ? 4 x2 ? mx ? 5 在 (??, ?2) 上是减函数,在 (?2, ??) 上是增函数,则 f (1) ? __25___. 17. 函数 y ?

1 (0,1) ,则该函数在 R 上单调递 __ 减 __ , (填“增” “减” )值域为 2 ?1
x

1 ? x2 ? x ? 2 的单调递增区间为 [?2, ? ] . 2 1 2

2 18. 函数 f ( x ) ? x ? 1 ? x 的单调递减区间为 (??, ?1],[ ,1] .

19. 已知函数 f ( x) ?

ax ? 1 在区间 (?2, ??) 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x?2

解:设对于区间 (?2, ??) 内的任意两个值 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

ax1 ? 1 ax2 ? 1 (1 ? 2a)( x2 ? x1 ) ? ? ?0, x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

x1 ? x2 ? 0 , ( x1 ? 2) ? 0 , ( x2 ? 2) ? 0 得, ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? 0 , ?1 ? 2a ? 0 ,


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