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椭圆结论


圆锥曲线(椭圆)
一、知识要点回顾
1、圆锥曲线的统一定义: 平面内的动点 P ? x, y ? 到一个定点 F ? c, 0 ? 的距离与到不通过这个定点的一条定直线 l 的距离之比是一个常数 e ? e ? 0 ? ,则动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点 F ? c, 0 ? 称为焦点, 定直线 l 称为准线,正常数 e 称为离心率.当 0 ? e ? 1时,轨迹为椭圆;当 e ? 1 时,轨迹为抛物 线;当 e ? 1 时,轨迹为双曲线.

3、椭圆的常用结论:
1.点 P 处的切线 PT 平分 ? PF1 F2 在点 P 处的外角. 2. PT 平分 ? PF1 F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 a 2 b2
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

6.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 外,则过 P0 作椭圆的两条切线切点为 P1 , P2 ,则切点弦 a 2 b2

PP 1 2 的直线方程是
7.椭圆

x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆上任意一点 a 2 b2

?F1PF2 ? ? ,则椭圆的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b2 tan
8.椭圆

?
2

.

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的焦半径公式: | MF1 |? a ? ex0 , | MF2 |? a ? ex0 a 2 b2

( F1 (?c,0) , F2 (c, 0) , M ( x0 , y0 ) ). 9.设过椭圆的焦点 F 作直线与椭圆相交于 P, Q 两点, A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP

和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M , N 两点,则有 MF ? NF . 10.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P, Q , A1 , A2 为椭圆长轴上的顶点, A 1P 和

A2 Q 交于点 M , A2 P 和 AQ 1 交于点 N ,则 MF ? NF .
11.AB 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的不平行于对称轴的弦, M ? x0 , y0 ? 为 AB 的中点,则 a 2 b2

kOM ? k AB

b 2 x0 b2 K ? ? , 即 . ?? 2 AB a 2 y0 a

12.若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内,则被 P0 所平分的中点弦的方程是 a 2 b2 x0 x y0 y x02 y02 ? 2 ? 2 ? 2 ; a2 b a b

【推论】 1、若点 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内,则过 P0 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b2

x 2 y 2 x0 x y0 y x2 y 2 . 椭圆 ? ? ? ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的两个顶点为记为 A1 (?a, 0) , a 2 b2 a2 b2 a 2 b2 x2 y 2 AP A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1 , P2 时 A1P 1 与 2 2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 ? 1 . a b
2、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? 0, b ? 0? 上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭 a 2 b2
b 2 x0 (常数). a 2 y0

圆于 B, C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC ?

3、若 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上异于长轴端点的任一点, F1 , F2 是焦点, a 2 b2
a?c ? ? ? tan co t . a?c 2 2

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? ,则
4、 设椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的两个焦点为 F1 , F2 , P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点, a 2 b2

在 ?PF1F2 中,记 ?F1 PF2 ? ? , ?PF1 F2 ? ? , ?F1 F2 P ? ? ,

则有

sin ? c ? ? e. sin ? ? sin ? a x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,左准线为 L ,则当 a 2 b2

5、若椭圆

0 ? e ? 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P ,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中
项. 6、 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上任一点, F1 , F2 为二焦点, A 为椭圆内一定点,则 a 2 b2

2a? | AF2 |?| PA | ? | PF1 |? 2a? | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立.

( x ? x0 )2 ( y ? y0 )2 7、椭圆 ? ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 有公共点的充要条件是 a2 b2
A2a2 ? B2b2 ? ( Ax0 ? By0 ? C)2 .
8、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , O 为坐标原点, P, Q 为椭圆上两动点,且 a 2 b2
1 1 1 1 2 2 4a 2 b 2 ? ? ? ;(2) 的最大值为 ;(3) OP ? OQ | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a 2 ? b2

OP ? OQ .(1)

2 2 S?OPQ 的最小值是 a b . a 2 ? b2

9、过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M , N a 2 b2 | PF | e ? . | MN | 2

两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P ,则

10、 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? , A, B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴 a 2 b2
a 2 ? b2 a 2 ? b2 . ? x0 ? a a

相交于点 P ( x0 , 0) , 则 ?

11、设 P 点是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 上异于长轴端点的任一点 F1 , F2 为其焦点记 a 2 b2

?F1PF2 ? ? ,则:

(1) | PF1 || PF2 |?

? 2b2 2 ;(2) S?PF1F2 ? b tan . 2 1 ? cos?
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的长轴两端点, P 是椭圆上的一点, ?PAB ? ? , a 2 b2

12、 设 A、 B 是椭圆

?PBA ? ? , ?BPA ? ? , c , e 分别是椭圆的半焦距离心率,则有:
(1) | PA |?

2ab 2 | cos ? | 2a 2b2 2 ;(2) tan ? tan ? ? 1 ? e ;(3) S?PAB ? 2 cot ? . a 2 ? c 2 co s 2 ? b ? a2

13、已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过椭圆右焦点 F 的直 a 2 b2

线与椭圆相交于 A, B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ? x 轴,则直线 AC 经过线段 EF 的中 点. 14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的 连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径 互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e (离心 率). (注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.) 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e . 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.


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