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不等关系与不等


第七编 不等式
§7.1 不等关系与不等式 基础知识
要点梳理
1.两个实数比较大小的方法

自主学习

?a ? b ? 0 ? a > b (1)作差法 ? ?a ? b ? 0 ? a = b(a, b ? R); ?a ? b ? 0 ? a < b ?

?a ?b

? 1 ? a > b ? a (2)作商法 ? ? ? 1 ? a = b(a ? R ,b ? 0). ?b ?a ?b ? 1 ? a < b ?
2.不等式的性质 单向性:

(1)传递性:a>b,b>c ? ______. a>c
(2)同向相加性:a>b,c>d ? _________. a+c>b+d

(3)乘法单调性:

a>b,c>0 ? _______; ac>bc
a>b,c<0 ? ________; ac<bc a>b>0,c>d>0 ? _______; ac>bd a>b>0(n∈N+) ? an>bn;

a ? b. 双向性:a>b ? ________. b<a 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质
n n

a>b>0(n∈N+,n≥2) ?

1 1 ①a>b,ab>0 ? ? . a b 1 1 ②a<0<b ? ? . a b

a b ? . c d 1 1 1 ④0<a<x<b或a<x<b<0 ? ? ? . b x a

③a>b>0,0<c<d ?

(2)有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质: b b?m b b?m ? ; ? (b ? m ? 0). a a?m a a?m ②假分数的性质:
a a?m a a?m ? ; ? (b ? m ? 0). b b?m b b?m

基础自测
1.若x+y>0,a<0,ay>0,则x-y的值为
A.大于0 C.小于0 解析 B.等于0 D.符号不能确定

(A )

方法一 因为a<0,ay>0,所以y<0,又x+y>0,

所以x>0,所以x-y>0.应选A. 方法二 a<0,ay>0,取a=-2得-2y>0, 又x+y>0,两式相加得x-y>0.

2.设a、b为非零实数,若a<b,则下列不等式成立的是 ( C )

A.a2<b2 B.ab2<a2b 1 1 b a C. 2 ? 2 D. ? ab ab a b 解析 (赋值法)令a=-4,b=1,
则a2=16>b2=1,故A错; b 1 a 又 ? ? ? ? ?4, 故D错; a 4 b 再令a=1,b=4,则ab2=16>a2b=4,故B错,故选C.

3.若a2<b2,则下列不等式成立的是 1 1 A.a<b B. 2 ? 2 a b C.|a|<|b| D.以上均不对 解析 a2 <b2 ? |a|2<|b|2 ? |a|<|b|.

(C )

4.若a、b、c为实数,则下列命题正确的是 ( B ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a<b<0,则a2>ab>b2 1 1 C.若a<b<0,则 ? a b b a D.若a<b<0,则 ? a b 解析 对于选项A,c=0时,ac2=bc2; 取a=-2,b=-1知选项C、D错,故选B.

x 5. ? 1的一个充分不必要条件是 y A.x>y B.x>y>0
C.x<y

( B )

D.y<x<0 x x x? y ? 1 ? ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? y) y ? 0 解析 y y y ? x>y>0或x<y<0.

题型分类
题型一 比较大小

深度剖析

【例1】比较下列各组中两个代数式的大小: (1)(x-3)2与(x-2)(x-4); (2)当x>1时,x3与x2-x+1.

作差,通过分解因式判断差的符号. 思维启迪 解 (1)(x-3)2-(x-2)(x-4)
=x2-6x+9-(x2-6x+8)=1>0,

∴(x-3)2>(x-2)(x-4).

(2)x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1

=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),
∵x>1,∴x3-(x2-x+1)>0, ∴当x>1时,x3>x2-x+1. 探究提高 (1)作差法步骤:作差——变形——判 断差的符号.作商法的步骤:作商——变形——判断

商与1的大小.
(2)两种方法的关键是变形.常用的变形技巧有因式 分解、配方、有理化等,也可以等价转化为易于比较

大小的两个代数式来达到目的.

知能迁移1

(1)比较x6+1与x4+x2的大小,其中x∈R; 1 (2)设a∈R,且a≠0,试比较a与 的大小. a 解 (1)(x6+1)-(x4+x2)

=x6-x4-x2+1=x4(x2-1)-(x2-1)
=(x2-1)(x4-1)=(x2-1)(x2-1)(x2+1) =(x2-1)2(x2+1). 当x=±1时,x6+1=x4+x2; 当x≠±1时,x6+1>x4+x2.

2 1 a (2)a ? ? ? 1 ? (a ? 1)(a ? 1) a a a 当-1<a<0或a>1时, a ? 1 ; a 1 当a<-1或0<a<1时, a ? ; a 当a=±1时, a ? 1 . a

题型二

不等式的性质

【例2】使不等式a>b成立的充要条件是 ( D ) 1 1 2 2 A.a >b B. ? a b 1 1 C.lg a>lg b D. a ? b 2 2 思维启迪 可用特殊值代入验证,也可用不等式的
性质推证. 解析 方法一 取a=1,b=-2,可验证A、B、C均不正 确,故选D.

方法二

a>b ?

2a>2b

>0 ?

1 1 ? . a b 2 2

探究提高

(1)判断一个关于不等式的命题的真假

时,先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑 , 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题的真假, 当然判断的同时可能还要用到其他知识,比如对数函

数、指数函数的性质.
(2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法, 在命题真假未定时,先用特殊值试试可以得到一些 对命题的感性认识,如正好找到一组特殊值使命题 不成立,则该命题为假命题.

(3)说明一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不 能用特殊值法肯定一个命题,只能利用所学知识严 密证明,在用不等式性质证明命题时,可适当使用

一些不等式性质的推广命题,本题就可以利用结论
“a>b,n∈N+,n为奇数,则
n

a ? b ”.
n

知能迁移2

已知a、b、c∈R,则下列推理:

a b ① 2 ? 2 ? a ? b; c c 1 1 3 3 ②a >b ,ab>0 ? ? ; a b 1 1 2 2 ③a >b ,ab>0 ? ? ; a b

1 . ④0<a<b<1 ? log a (1 ? a ) ? log b 1? a 其中正确的个数是





A.1

B.2

C.3

D.4

由 a ? b 可知c2>0, c2 c2 a b 2 ? 2 ? c ? 2 ? c 2 , 即a>b,∴①正确. c c 由a3>b3,ab>0可得a>b,ab>0, 解析
即a>b>0或b<a<0,
? 1 1 ? , ∴②正确. a b

由a2>b2,ab>0可得a>b>0或a<b<0, a>b>0时 1 ? 1 , 但a<b<0时, a b 1 1 故③不正确. ? , a b

∵0<a<b<1,∴loga(1+a)>logb(1+a),
1 又 ? logb (1 ? a) ? logb ? logb (1 ? a 2 ) ? 0, 1? a 1 ? logb (1 ? a) ? logb , 1? a 1 ? loga (1 ? a) ? logb , 故④正确. 1? a 答案 C

题型三

不等式性质的应用

【例3】(12分)已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的
取值范围. 思维启迪 解 将2a+3b用a+b和a-b表示出来,再利用不 等式的性质求解2a+3b的范围. 设2a+3b=m(a+b)+n(a-b),

?m ? n ? 2 ?? , ?m ? n ? 3
5 1 ?m ? , n ? ? . 2 2 5 1 ? 2a ? 3b ? (a ? b) ? (a ? b). 2 2

2分
4分

5分

∵-1<a+b<3,2<a-b<4,

5 5 15 1 8分 ? ? ? (a ? b) ? ,?2 ? ? (a ? b) ? ?1, 2 2 2 2 9 5 1 13 10分 ? ? ? ( a ? b) ? ( a ? b) ? , 2 2 2 2 即 ? 9 ? 2a ? 3b ? 13 . 12分 2 2 探究提高 由a<f1(x1,y1)<b,c<f2(x1,y1)<d,求g(x1,y1)
的取值范围,可利用待定系数法解决,即设g(x1,y1)

=pf1(x1,y1)+qf2(x1,y1),用恒等变形求得p,q,再利用
不等式的性质求得g(x1,y1)的范围.此外,本例也 可用线性规划的方法来求解.

知能迁移3

已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2,则4a-2b的 设u=a+b,v=a-b,

取值范围是_________. 解析 方法一

∴4a-2b=2u+2v-u+v=u+3v. ∵1≤u≤4,-1≤v≤2,∴-3≤3v≤6. 则-2≤u+3v≤10,即-2≤4a-2b≤10.

u?v u ?v 得a ? ,b ? , 2 2

方法二

令4a-2b=x(a+b)+y(a-b),

∴4a-2b=(x+y)a+(x-y)b.

? x ? y ? 4, ? x ? 1, ?? ?? ? x ? y ? ?2. ? y ? 3. ?1 ? a ? b ? 4, ?? ?? 3 ? 3(a ? b) ? 6.
∴-2≤4a-2b≤10. 答案 [-2,10]

思想方法

感悟提高

方法与技巧
1.用同向不等式求差的范围.

?a ? x ? b ?a ? x ? b ?? ? a?d ? x? y ? b?c ? ?c ? y ? d ?? d ? ? y ? ?c
这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到. 2.

?不等式.如: 1 1 1 1 ? ??? ? 1? ? 1. 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) n ?1

3.倒数关系在不等式中的作用.
?ab ? 0 1 1 ?ab ? 0 1 1 ? ? ;? ? ? . ? a b ?a ? b a b ?a ? b

4.作差法:判定不等关系的基本方法.

a>b ? a-b>0,a<b ?a-b<0.

失误与防范
1.a>b ? ac>bc或a<b ?ac<bc,当c≤0时不成立. 1 1 1 1 2. a ? b ? ? 或a ? b ? ? , 当ab≤0时不成立. a b a b 3.a>b ? an>bn对于正数a、b才成立.

a ? 1 ? a>b,对于正数a、b才成立. b 5. ? ?
4.

?a ? b . a>b,b>c ?a>c,其中a>c不能推出 ? ?b ? c

定时检测
一、选择题 1.下列四个数中最大的是 A.lg 2 C.(lg 2)2 B.lg 2 D.lg(lg 2) ( A )

解析

因为lg 2∈(0,1),所以lg(lg 2)<0; 1 2 lg 2 ? (lg 2) ? lg 2( ? lg 2) ? 0,即 lg 2 ? (lg 2) 2 . 2 1 lg 2 ? lg 2 ? lg 2 ? 0,即 lg 2 ? lg 2. 2 所以最大的是lg 2.

2.已知实数a、b、c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2, 则a、b、c的大小关系是 A.c≥b>a B.a>c≥b ( A )

C.c>b>a
解析

D.a>c>b

c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,

∴c≥b,已知两式作差得2b=2+2a2,即b=1+a2, 1 2 3 2 ?1 ? a ? a ? (a ? ) ? ? 0,?1 ? a 2 ? a, 2 4 ∴b=1+a2>a,∴c≥b>a.

3.已知a,b为非零实数,且a<b,则 A.a2<b2 B.a2b<ab2

( C )

1 1 D. ? a b 解析 取a=-4,b=2即可判断选项A、B、D错.
C.2a-2b<0

4.已知a、b满足0<a<b<1,下列不等式中成立的是

( B )
A.aa<bb C.bb<ab 解析 B.aa<ba D.bb>ba

取特殊值法. 1 1 1 1 1 1 令a ? , b ? , 则a a ? ( ) 4 ? ( ) 2 , 4 2 4 2 1 1 b b ? ( ) 2 ,? A 错. 2 1 1 1 1 a b ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? b b ,? C 错. 4 2 1 1 1 1 b b ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? b a ,? D 错. 2 2

5.设0<b<a<1,则下列不等式成立的是 A.ab<b2<1 C.2b<2a<2 D.a2<ab<1
2 2

( C )

B.log 1 b ? log 1 a ? 0

解析

∵y=2x是单调递增函数,且0<b<a<1,

∴2b<2a<21,即2b<2a<2.

1 1 6.若 ? ? 0, 则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|; a b b a ③a<b;④ ? ? 2 中,正确的不等式是 ( C )
a b

A.①②
解析

B.②③

C.①④

D.③④

取a=-1,b=-2,验证排除②③.

二、填空题
7.设a>b>c>0, x ? a 2 ? (b ? c ) 2 , y ? b 2 ? (a ? c ) 2 , z ?

z>y>x c 2 ? (a ? b ) 2 , 则x,y,z的大小顺序是_______.
解析 方法一 y2-x2=2c(a-b)>0,∴y>x. 同理,z>y,∴z>y>x.

方法二
故z>y>x.

令a=3,b=2,c=1,

则x ? 18, y ? 20, z ? 26,

8.下列四个不等式: ①a<0<b;②b<a<0;③b<0<a;④0<b<a,其中能使 1 1 ? 成立的充分条件有________. ①②④ a b 1 1 b?a 解析 ? ? ? 0 ? b ? a与ab异 号, a b ab 因此①②④能使b-a与ab异号.

9.给出下列四个命题:

1 1 ①若a>b>0,则 ? ; a b 1 1 ②若a>b>0,则 a ? ? b ? ; a b 2a ? b a ③若a>b>0,则 ? ; a ? 2b b
④设a,b是互不相等的正数,则 | a ? b | ?

1 ? 2. a ?b

其中正确命题的序号是_____.(把你认为正确命题 的序号都填上)

1 1 b?a b?a 而 a > b >0, 则 ? ? , ? 0, a b ab ab 1 1 1 1 此式错误.②a>b>0,则 ? , 进而可得 ? ? ? , 所 a b a b

解析

①作差可得

1 1 ? b ? 正确. a b 2a ? b a b( 2a ? b) ? a(a ? 2b) b2 ? a 2 ③若 ? ? ? a ? 2b b (a ? 2b)b (a ? 2b)b
以可得 a ?

(b ? a )(b ? a ) ? ? 0, 错误. (a ? 2b)b ④a-b<0时此式不成立,错误.
答案 ②

三、解答题

10.已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc.
证明 ∵a>b,c>0,∴ac>bc. 又∵e>f,∴e+ac>f+bc. ∴e-bc>f-ac,即f-ac<e-bc.

11.2008年北京成功举办了第29届奥运会,中国取得

了51金、21银、28铜的骄人成绩.下表为北京奥运会
官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格,某 球迷赛前准备用12 000元预订15张下表中球类比赛 的门票: 比赛项目 男篮 足球 乒乓球 票价(元/场) 1 000 800 500

若在准备资金允许的范围内和总票数不变的前提下,
该球迷想预订上表中三种球类比赛门票,其中足球 比赛门票数与乒乓球比赛门票数相同,且足球比赛

门票的费用不超过男篮比赛门票的费用,求可以预订 的男篮比赛门票数.



设足球比赛门票数与乒乓球比赛门票数都预订n

(n∈N*)张,则男篮比赛门票预订(15-2n)张,

?800n ? 500n ? 1 000(15 ? 2n) ? 12 000 得? ?800n ? 1 000(15 ? 2n) 2 5 解得4 ? n ? 5 . 7 14 由n∈N*,可得n=5,∴15-2n=5.
∴可以预订男篮比赛门票5张.

12.设f(x)=ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)

的取值范围.
解 方法一 设f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m,n为待定系数), 则4a-2b=m(a-b)+n(a+b), 即4a-2b=(m+n)a+(n-m)b, ?m ? n ? 4 ?m ? 3 于是得? , 解得? . ?n ? m ? ?2 ?n ? 1 ∴f(-2)=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10, 故5≤f(-2)≤10.

方法二

? f (?1) ? a ? b 由? , ? f (1) ? a ? b

1 ? a ? [ f (?1) ? f (1)] ? ? 2 得? , ?b ? 1 [ f (1) ? f (?1)] ? 2 ? ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,
∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,故5≤f(-2)≤10.

方法三

?1 ? a ? b ? 2 由 ? 确定的平面区域如图. ?2 ? a ? b ? 4

3 1 当f(-2)=4a-2b过点 A( , )时, 2 2 3 1 取得最小值 4 ? ? 2 ? ? 5.
2 2 当f(-2)=4a-2b过点B(3,1)时,

取得最大值4×3-2×1=10,∴5≤f(-2)≤10.

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