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第五届泛珠三角力学竞赛参考解答


第五届泛珠三角力学竞赛参考解答

15、 (1)系统静止时,对 C: 2T ? m g 对 B: T ? f Bm ? T ? mg?

??

1 2

/ 对 A: f B ? T ? f Am ? 2T ? 4mg?

??

1 4

? ? ? 0.5

(2)设 C 的加速度 a,则 B 的加速度为 2a,有 消去 T: mg ? 2mg? ? 5a ? 0 ? ? ? 0.5

m g ? 2T ? m a??(1) T ? m g? ? m2a ??(2)

A 不动的条件: f A ? mg? ? T ? 4mg? ? T ? 3mg? ??(3) 消去①②中的 a 得: T ? 2mg ? mg? ??(4) 由③④得 ? ?

1 7

?
16、 (1) ? ?

1 ? ? ? 0 .5 7
(2) ? ? 45
0

7 tg? 10

17、 (1)如图,当小圆环下滑偏角θ 时: 由机械能守恒: mgR (1 ? cos ? ) ?

1 2 mv ?? (1) 2

v2 由牛顿第二定律: m g cos? ? N ? m ??(2) R
绳张力为零时,有 2N / cos? ? m0 g ??(3) 联立三式有: N ? 2mg ? 3mgcos? 代入③化简得 12cos ? ? 8 cos? ? 1 ? 0
2

? cos ? ?

1 1 或 取 ? ? 600 或80.4 0 2 6

(2)将θ =600 代入上式: N ? 2mg ? 3mg cos ? ? 1 mg ? 5( N )方向指向圆心 2 将θ =80.40 代入:N=15(N)

18、 (1)当 A 摆至最低点时,速度大小 v0 ? 碰撞过程中动量守恒: mv 0 ? m

4gl

1 3 3 v0 ? mv1 ,? v1 ? v0 ? gl 4 4 2

(2)B 机械能守恒:

1 2 1 1 m v? ? m gl(1 ? cos? ) ? m v12 ,? v? ? 2 gl( ? cos? ) 2 2 8
?T ? 1 mg ? 3mg c o s ? 4

v?2 在法向: T ? m g cos? ? m l
(3)令 T=0 得 cos ? ?

1 2

? ? max ? arcsin

1 13 ? 90 0 、hmax ? l (1 ? cos ? ) ? l 12 12

1 1 1 v2 ? 2 gl( ? ) ? gl 8 12 12
19、不考虑摩擦,系统水平方向动量守恒,即质心水平坐标不变。建立 x 轴,正方 向向右,坐标原点为 M 初位置的最右端,设振动过程中,M 右移 x,则 m 将左移 x ? ? 弹簧伸长 ?l ?

x ? x ? (1 ? M / m) x ? cos ? cos ?

M x m

对 M: N ? sin ? ? k?L cos? ? Ma x 即:

N sin ? ? kx (1 ?

M ) ? Ma x ?? (1) m

对 m(以 M 为参照系,法向力平衡) :

N ? max sin ? ? mgcos? ??(2)
由①② N ?

mMg cos ? ? kx ( M ? m) sim? M ? m sin 2 ?

m M cos? sin ? ? kx( M ? m) sin 2 ? M ?m ? kx 代回①有: Fx ? Ma x ? 2 m M ? m sin ?
??
其中: x0 ?

kx( M ? m) M m Mgsin ? cos? kM ( M ? m) kM ( M ? m) ? ?? ( x ? x0 ) ? ? x? 2 2 2 ( M ? m sin ? )m M ? m sin ? m( M ? m sin ? ) m( M ? m sin 2 ?

m 2 g sin ? cos? ( M ? m)k

x ? ? x ? x0

可见,在原点为 x=x0 的新坐标系中,M 以 x0 为平衡位置作简谐运动,振幅 A=x0

M m( M ? m sin 2 ? ) 周期 T ? 2? ? 2? kM ( M ? m) k ( M ? m) 2 m(M ? m sin ? )


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