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2.2.1直线与平面平行的判定.00


§2.2.1 直线与平面平行的判定

复习引入
直线与平面有什么样的位置关系? (1)直线在平面内——有无数个公共点; (2)直线与平面相交——有且只有一个 公共点; (3)直线与平面平行——没有公共点.

a
?
a

?

a

A

直线与平面有几种位置关系? 有三种位置关系:在平面内,相交、平行. 其中平行是一种非常重要的关系,不仅 应用较多,而且是学习平面和平面平行的基 础.

引入新课

怎样判定直线与平面平行呢? 根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点.但是,直线无限延长, 平面无限延展,如何保证直线与平面没有公共点呢? a

?

实例感受

在生活中,注意到门扇的两边是平行的.当门扇 绕着一边转动时,另一边始终与门框所在的平面没有 公共点,此时门扇转动的一边与门框所在的平面给人 以平行的印象.

实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关

系.
A1

?
A B

B1

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样 的位置关系?
A A

B

B

直线与平面平行

下图中的直线 a 与平面α平行吗?

a

?

直线与平面平行

如果平面 ? 内有直线 b 与直线 a平行,那么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何?
是否可以保证直线 a 与平面 ? 平行?

a

?

b

直线与平面平行

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? 共面 (2)直线 a 与平面 ? 相交吗? 不可能相交

a

?

b

直线与平面平行判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行.

a

?

b

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? ? a // b ?

证明直线与平面平行,三个条件必须具备,才能 得到线面平行的结论. 直线间平行关系 直线与平面平行关系 空间问题 平面问题

直线与平面平行判定

怎样判定直线与平面平行?
(1)定义法:证明直线与平面无公共点;

(2)判定定理:证明平面外直线与平面内直线 平行.

例题分析
例1、求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过 另外两边所在的平面。 已知:空间四边形ABCD,E、F分别是AB、AD的中点。

求证:EF∥平面BCD
A
E B C F D

随堂练习
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 CC?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C?D? 平面 B?BCC? ;
D? A? B?

C?

D A B

C

2. 如图,正方体AC1中,E为DD1的中点,试 判断BD1与平面AEC的位置关系,并说明理由。
证明: 连接BD交AC于点O, 连接EO.

?四边形 ABCD是正方形 ,? DO ? BO

答:BD1 // 平面AEC

又 ? E为DD1的 中 点 , ? EO为?BD1 D的 中 位 线 , ? EO // BD1
又 ? BD1 ? 平面AEC , EO ? 平面AEC , ? BD1 // 平面AEC .
A

D1

C1 B1

A1
E D

C

O
B

知识小结
1. 直线与平面平行判定定理

语言叙述:平面外一条直线与此平面内的一条直线平 行,则该直线与此平面平行. 该定理常表述为:线线平行,则线面平行.
符号语言:

a ??? ? b ? ? ? ? a // ? a // b ? ?

2. 用该定理判断直线a 和平面 ? 平行时,必须具备三 个条件: (1)直线a 不在平面 ? 内,即: a ? ? ; (2)直线b在平面 ? 内,即: b ? ? ; (3)直线a与直线b平行,即: a // b . 三个条件缺一不可.缺少其中任何一条, 结论就不一定成立了.

3. 定理的作用 将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行 关系的判定,也就是说,要证明一条直线和一个平面平 行,只要在平面内找出一条直线与已知直线平行即可.

4.数学思想方法:转化的思想 空间问题
平面问题

补充练习
1. 判断: (1). 如果一条直线和一个平面平行,那么这条 直线和平面内的任意一条直线平行. (2). 过平面外一点有且只有一条直线与平面 平行. (3). 如果两条平行线中有一条平行于这个平 面,那么另外一条直线也平行于该平面. (4). 如果一条直线与一个平面不相交,他们一 定平行. (5)直线与平面没有公共点,则直线与平面平 行.

2.(07江西)如图是一个直三棱柱(以三角形 A1B1C1为底面)被一平面所截得的几何体,截面为 三角形ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=900,AA1=4, BB1=2,CC1=3.设点O是AB的中点,A 求证:OC//平面A1B1C1
O B C1 A1
O

C

B1

知识小结
1.证明直线与平面平行的方法: (1)利用定义;直线与平面没有公共点
(2)利用判定定理. 线面平行 线线平行 2.数学思想方法:转化的思想 平面问题 空间问题 3、证明线线平行的常见方法(三角形中位线, 平行四边形对边平行等.)


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