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高中数学选修2-1(人教A版)第二章圆锥曲线与方程2.1知识点总结含同步练习及答案


高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程

一、学习任务 了解曲线与方程的对应关系;了解求曲线方程的一般步骤,能求一些简单曲线的方程;进一步体 会数形结合的思想方法. 二、知识清单
曲线与方程的概念 轨迹与轨迹方程 曲线系

三、知识讲解
1.曲线与

方程的概念 描述: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与 一个二元方程 f (x, y) = 0 的实数解建立了如下的关系: 1. 曲线上点的坐标都是这个方程的解; 2. 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线(curve). 例题: “ 以方程 f (x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上” 是 “ 曲线 C 的方程是 ) f (x, y) = 0 ” 的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解:B 根据方程的概念,“ 曲线 C 的方程是 f (x, y) = 0 ” 包含 “ 曲线 C 上的点的坐标都是这 个方程 f (x, y) = 0 的解 ” 和 “ 以方程 f (x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 ” 两层 含义. 下列方程各表示什么曲线? ? ? ? ? ① (x + y ? 1) ? √? x ? 1=0 ; ? ? ? ?? ? ?? ? ② (x + y ? 1) ? √x 2 + y 2 ? 4 = 0 . 解:① 原方程等价于

{ x + y ? 1 = 0, 或 x ? 1 = 0, x ? 1 > 0,




x + y ? 1 = 0(x > 1)或x = 1. ? ? ? ? 所以方程 (x + y ? 1) ? √? x ? 1 = 0 表示的曲线是直线 x = 1 和射线 y = ?x + 1(x > 1) . ② 原方程等价于 1 = 0 或x2 + y 2 ? 4 = 0, { x2+ y ? 2 x +y ?4 > 0


1 = 0 或x2 + y 2 = 4. { x2+ y ? 2 x +y > 4
由圆 x 2 + y 2 = 4 的圆心到直线 x + y ? 1 = 0 的距离

d=

1 √2 = < 2, 2 √2

得直线与圆相交.所以,{ x + y ? 1 = 0 表示直线在圆 x2 + y 2 = 4 外面的部分. 2 2 所以原方程表示圆心在原点,半径为 2 的圆和斜率为 ?1,纵截距为 1 的直线在圆 x2 + y 2 = 4 外面的部分,如图所示.

x +y > 4

2.轨迹与轨迹方程 描述: 一般地,一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹,所以曲线的方程又常称为满足某种条件 的点的轨迹方程. 在平面直角坐标系中,如果曲线 C 与方程 F (x, y) = 0 之间具有如下关系: (1)曲线 C 上点的坐标都是方程 F (x, y) = 0 的解; (2)以方程 F (x, y) = 0 的解为坐标的点都是曲线 C 上. 那么,曲线 C 叫做方程 F (x, y) = 0 的曲线,方程 F (x, y) = 0 叫做曲线 C 的方程. 例题: 设圆 C : (x ? 1)2 + y 2 = 1 ,过原点 O 作圆的任意弦,求所作弦的中点的轨迹方程. 解:解法一:直接法.

设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,M 为 OC 中点,则 M (

CP ⊥ OQ. 所以 |MP | =
得方程

1 , 0) , 2

1 1 |OC | = 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1 √(x ? )2 + y 2 = . 2 2
整理得

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法二:定义法. 设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,M 为 OC 中点,则 M (

CP ⊥ OQ.
因为 ∠OP C = 90? ,所以动点 P 在以 M ( 故所求圆的方程为

1 , 0) , 2

1 , 0) 为圆心,OC 为直径的圆上. 2

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法三:相关点法. 设 OQ 为过点 O 的一条弦,P (x, y) 为 OQ 中点,Q(x1 , y 1 ),则

x ? ?x = 1 , 2 ? ? y = y1 , ? 2 { x1 = 2x, y 1 = 2y.

所以

因为点 Q在圆上,所以
2 = 1, (x1 ? 1)2 + y 1



(2x ? 1)2 + 4y 2 = 1(0 < x ≤ 1),
整理得

(x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

解法四:参数法.

设点 P 的坐标为 (a, b) ,动弦 OQ 的方程为 y = kx ,则 b = ka ,故 k = 由

b . a

{


y = kx, (x ? 1)2 + y 2 = 1,

(1 + k2 )x2 ? 2x = 0,
所以

x1 + x2 =


1 + k2

2

.

x1 + x2 = 2a,
所以

a=
代入 k =

1 + k2

1

.

b ,整理得 a (a ? 1 2 1 ) + b 2 = (0 < a ≤ 1), 2 4

所以 P 点轨迹方程为 (x ?

1 2 1 ) + y 2 = (0 < x ≤ 1). 2 4

A 、B 是抛物线 y 2 = 4ax(a > 0) 上的两动点,且 OA ⊥ OB ,OP ⊥ AB 于点 P ,求动点 P 的轨迹. 解:设点 P 的坐标为 (x, y) ,直线 OA 的方程为 y = kx ,显然 k ≠ 0,则直线 OB 的方 1 程为 y = ? x.由 k { y 2= kx, y = 4ax,
解得 A 点坐标为 ( 时,

4a 4a , ).同理,可得 B 点的坐标为 (4ak2 , ?4ak),从而当 k ≠ ±1 2 k k 1 + k) 1 k = = , 1 1 4a( ? k2 ) ?k k k2 4a( 1

kAB

故得直线 AB 的方程为

y + 4ak =

(x ? 4ak2 ),

y + 4ak =

1 ?k k

(x ? 4ak2 ),



(
直线 OP 的方程为

1 ? k)y + 4a = x ? ① k 1 ? k)x ? ② k

y = ?(
可知 P 点的坐标同时满足 ①②,由②,得

y 1 ?k = , k ?x
代入①,得

?y 2 + 4ax = x2 ,
故有

(x ? 2a)2 + y 2 = 4a2 (x ≠ 0)
当 k = ±1 时,容易验证 P 点的坐标仍适合上述方程. 故点 P 的轨迹方程为 (x ? 2a)2 + y 2 = 4a2 (x ≠ 0),它表示以点 (2a, 0) 为圆心,以 2a 为半 径的圆除去坐标原点后的部分.

3.曲线系 描述: 具有某种共同性质的所有曲线的集合,称为一个曲线系,并用含有一个参数的方程来表示.高中 常用的曲线系有直线系与圆系. 1. 直线系 具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系.它的方程称直线系方程.几种常见的 直线系方程: (1)共点直线系:过已知点 P (x0 , y 0 ) 的直线系方程 y ? y 0 = k(x ? x0 ) (k 为参数) (2)平行直线系:斜率为 k 的直线系方程 y = kx + b (b 是参数)          与已知直线 Ax + By + C = 0 平行的直线系方程 Ax + By + λ = 0 (λ 为参数) (3)垂直直线系:与已知直线 Ax + By + C = 0 垂直的直线系方程 Bx ? Ay + λ = 0(λ 为参数) (4)过直线 l 1 :A 1 x + B 1 y + C1 = 0 与 l 2 :A 2 x + B 2 y + C2 = 0 的交点的直线系 方程:A 1 x + B 1 y + C1 + λ(A 2 x + B 2 y + C2 ) = 0(λ 为参数),此直线系不含直线 l 2 . 2. 圆系 具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.它的方程称为圆系方程.几种常见的圆系方 程:

( ?

2

+( ?

2

=

2

(1)同心圆系: (x ? x 0 )2 + (y ? y 0 )2 = r2 ,x0 、y 0 为常数,r 为参数. (2)过两已知圆 C1 :f 1 (x, y) = x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 = 0 和 C2 : f 2 (x, y) = x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 = 0 的交点的圆系方程为: x2 + y 2 + D 1 x + E1 y + F1 + λ(x2 + y 2 + D 2 x + E2 y + F2 ) = 0(λ ≠ ?1 ),不包含 圆 C2 . 注:若 λ = ?1 时,变为 (D 1 ? D 2 )x + (E1 ? E2 )y + F1 ? F2 = 0,其中两圆相交 时,此直线表示为公共弦所在直线,当两圆相切时,此直线为两圆的公切线,当两圆相离 时,此直线表示与两圆连心线垂直的直线. 3. 过直线与圆交点的圆系方程 设直线 l :Ax + By + C = 0 与圆 C :x2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 相交,则过直线 l 与圆 C 交点的圆系方程为 x2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C ) = 0. 例题: 求经过直线 l 1 :x + 2y ? 5 = 0 和直线 l 2 :x + y ? 3 = 0 的交点且和直线 l 3 : 3x + 4y ? 5 = 0 垂直的直线 l 的方程. 解:因为过 l 1 和 l 2 交点的直线系方程可写为

(x + 2y ? 5) + λ(x + y ? 3) = 0.
此方程不包含直线 l 2 . 整理得 (1 + λ)x + (2 + λ)y ? 5 ? 3λ = 0. 因为 l ⊥ l 3 ,所以 ? 为 l 的方程.

1+λ 4 11 ,代入 ① 式整理得 4x ? 3y + 2 = 0 ,即 = ,所以 λ = ? 2+λ 3 7

求解下列各题: (1)求过两圆 x 2 + y 2 + 6x ? 4 = 0 和 x2 + y 2 + 6y ? 28 = 0 的交点,且圆心在直线 x ? y ? 4 = 0 上的圆的方程; (2)求经过圆 C1 :x 2 + y 2 ? 6x = 0 与圆 C2 :x2 + y 2 = 4 的交点,且经过点 P (2, ?2) 的圆 C 的方程. 解:(1)设所求的圆的方程为 x 2 + y 2 + 6x ? 4 + λ(x2 + y 2 + 6y ? 28) = 0(λ ≠ ?1),即

x2 + y 2 +
所以圆心为 (?

6 6λ 4 + 28λ x+ y? = 0. 1+λ 1+λ 1+λ

3 3λ ,? ) ,且其在直线 x ? y ? 4 = 0 上,所以 1+λ 1+λ ? 3 3λ + ? 4 = 0. 1+λ 1+λ

解得 λ = ?7 . 故所求的圆的方程为 x 2 + y 2 ? x + 7y ? 32 = 0. (2)设所求圆 C 的方程为 x 2 + y 2 ? 6x + λ(x2 + y 2 ? 4) = 0(λ ∈ R, 且 λ ≠ ?1),由圆 C 过点 P (2, ?2) ,得 2 2 + (?2)2 ? 12 + λ[2 2 + (?2)2 ? 4] = 0 ,解得 λ = 1,故所求圆 C 的方 程为 2x 2 + 2y 2 ? 6x ? 4 = 0. 即 x 2 + y 2 ? 3x ? 2 = 0.

四、课后作业

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2

+

2

? 2ax ? 4ay + 5

2

?1 = 0

1. 若 a ∈ R ,则动圆 x 2 + y 2 ? 2ax ? 4ay + 5a2 ? 1 = 0 的圆心满足的方程为 ( A.x2 + y 2 = 1
答案: C 解析: 将方程

)

B.x 2 + y 2 = 2

C.y ? 2x = 0

D.x ? 2y = 0

x2 + y 2 ? 2ax ? 4ay + 5a2 ? 1 = 0 整理为 (x ? a)2 + (y ? 2a)2 = 1 ,它表示以 (a,2a) 为圆心,以 1 为半径的圆.设 { x1 = a 则消去 a ,可得 y 1 = 2x1 ,所以动圆的圆心的 y 1 = 2a 轨迹方程为 y = 2x. )

2. 一个动点在圆 x 2 + y 2 = 1 上移动时,它与定点 (3, 0) 连线中点的轨迹方程是 ( A.(x + 3)2 + y 2 = 4 C.(2x ? 3)2 + 4y 2 = 1
答案: C

B.(x ? 3)2 + y 2 = 1 D.(x +

2 1 3 ) + y2 = 2 2

3. 高为 5 m 和 3 m 的两根旗杆竖在水平地面上,且相距 10 m ,如果把两旗杆底部的坐标分别确定为

A (?5, 0) 、B (5, 0) ,则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是
答案: 解析:



4x2 + 4y 2 ? 85x + 100 = 0
设 P (x, y) ,依题意有

5 3 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,化简得 P 点轨迹方程为 2 2 2 √(x + 5) + y √(x ? 5) + y 2 4x2 + 4y 2 ? 85x + 100 = 0 .

4. 设直线系 M : x cos θ + (y ? 2) sin θ = 1 (0 ? θ ? 2π),对于下列四个命题: ①.存在一个圆与所有直线相交; ②.存在一个圆与所有直线不相交; ③.存在一个圆与所有直线相切; ④.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. 其中真命题的代号是
答案: ①②③ 解析: 因为

(写出所有真命题的代号).

x cos θ + (y ? 2) sin θ = 1.
所以点 P (0, 2) 到 M 中每条直线的距离都为

d=

1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1. √sin 2 θ + cos2 θ

即 M 为圆 C : x 2 + (y ? 2)2 = 1 的全体切线组成的集合. 所以存在圆心为 (0, 2),半径大于 1 的圆与 M 中所有直线相交; 也存在圆心为 (0, 2),半径小于 1 的圆与 M 中所有直线不相交; 也存在圆心为 (0, 2),半径为 1 的圆与 M 中所有直线相切. 又因为 M 中的直线所能围成的正三角形有大小不同的两类, 故 M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等错误.

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