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数列的前n项和


石家庄外国语教育集团 “四自主·四环节”课堂教学设计
日期 学科 课题 教学 目标 教学 重点 教学 难点 项目 及要求 项目 设置 意图 3.20 数学 班级 高一 授课 教师 课型 王亚倩 新授课

课时 1 数列的求和方法

1. 熟练掌握等差、等比数列的求和公式。 2.熟悉通项类型,选择 合适的方法。 3.通过多重练习,熟

练掌握数列求和。
掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法。 错位相减、列项相 消法求和。 观察通项类型,适当选择方法,掌握非等差和非等比数列的求和方法。 通过不同类型的数列的通项学会其求和方法,提高学生探究问题、分析与解决问题的能 力。

教学过程(项目实施——交流展示——评价激励) 教师活动 学生活动 求以下数列前 n 项的和 项目准备: 1.等差、等比数列的求和公式 例 1: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 100 ? 2.掌握一些常见的数列的前 n 项和 n?1 例 2: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n ? (n ? 1)n ①. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 自 2 2 2 2 2 2 2 例 3: 1 -2 ? 3 -4 ? ? ? 99 -100 主 2 ②. 1 ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ?1) ? n 完 例 4:设 成 3x ③. 2 ? 4 ? 6 ? ? 2n ? n(n ? 1) f ( x) ? ,则 x ?1 n(n ? 1)(2n ? 1) 2 2 2 2 1 1 1 ④. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? f( )? f ( ) ??? f ( ) ? f (1) ? 6 2014 2013 2 2 2 n (n ? 1) f (2) ??? f (2014) ? 3 3 3 3 ⑤. 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 4 指导调控: 1,对例 2:注意项的个数
1 2.对例 4 注意结构引导学生找 f ( x ) ? f ( ) x 3、对例 5 进行裂项的时注意系数。 4、证明某个数列是等比数列,注意进行凑通项

归纳总结:
1、 公式法; 2、 倒序相加法

如果一个数列 {an } ,首末两端等“距离”的两项 的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法,如等差数列的前 n 项 和即是用此法推导的。 3、 错位相减法 错位相减法主要适用于求一个等差数列和一个 等比数列相应项的乘积所构成的数列的前 n 项 和。做法是先将和的形式写出,再给式子两边同 乘或同除以公比 q,然后将两式相减,相减后以 “ q ”为同类项进行合并,得到一个可求和的 数列,注意合并后有两项不能构成等比数列中的 项。 4、 裂项相消法 裂项相消法中, “裂项”是手段, “相消”是目的, 所以应将每一项都“分裂”成两项之差,或“裂” 成一个常因子与两项差的积,例如分子为某一常 数,分母是由等差数列相邻项乘积形成的分数数 列的求和一般选用裂项相消法。 常用的裂项技巧有:
n

例 5:已知数列

{an }, an ? 2n ? 1, bn ?
小 组 合 作

1 , 其前 n 项和为 an an?1

1 (1) ? ______ n( n ? k )

s n ,求 s n .
例 6: 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 ?

(2)

1 n?k ? n

? ____

2 , 3

an?1 ?

(3)

1 ? _____ (2n ? 1)(2n ? 1) 1 ? _____ n(n ? 1)(n ? 2)

2an ,n=1,2,??. an ? 1
1 ? 1} 是等比数列; an

(1) 数列 {

(4)

5、并项求和法
一个数列的前 n 项和中,可两两结合求解,则称 之为并项求和。形如

n (2) 求数列 { } 的前 n 项和 sn . an
总结求和的方法:

an ? (?1) f (n) 类型,可
n 2 2 2 2

采用两项合并求解。例如:

sn ? 100 ? 99 ? 98 ? 97 ? ?? 2 ? 1
2 2

= (100 ? 99) ? (98 ? 97) ? ? ? (2 ? 1) ? 5050 拓展提升:

交 流 展 示

例 5 的结果及方法 例 6 的结果及方法

求和的方法
1.公式法; 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法 5.并项求和法

1、求数列 0.9,0.99,0.999?, 0.99 ?9? ? ? ? ??
n个9

的前 n 项的和.

巩 固 练 习

2、设 f ( x) ?

1 ,利用课本中推导等差 2 ? 2
x

数列前 n 项和的公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ? ? f (0) ? ? f (5) ? f (6)
的值为___________. 3、求数列 ?

?n? 的前 n 项和. n ? ?2 ?
1 n ? n ?1 } 的前 n 项和 s n =9,

4、已知数列 { 求 n 的值. 1、 数列

1 1 1 1 , , ,…, ,… 的前 n 项和为_______. 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 (3n ? 1)(3n ? 2)
2

作业 布置

( 1+2+2 ) 2、 数列 1, (1+2) , ,?, ,?的前 n 项之和为______.
3、 求和 1,1 ? a,1 ? a ? a ,…, 1? a ? a ?? ? a
2 2 n?1

,

的前 n 项和 s n (其中 a ? 0 )

4、求和: 1 ? 板书 设计

1 1 1 ? +…+ . 1 ? 2 1+2+3 1+2+3+…+n

课题
项目设置:?? 例5 例6

数列的前 n 项和
归纳总结

教学 反思


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