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高中数学第2章基本初等函数Ⅰ2.1.1指数与指数幂的运算课件新人教A版必修1


第二章 §2.1 指数函数

2.1.1 指数与指数幂的运算

学习 目标

1.理解根式的概念及分数指数幂的含义. 2.会进行根式与分数指数幂的互化. 3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.

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知识梳理

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知识点一

根式的定义

1.n次方根的定义 一般地,如果 xn=a ,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N*. 2.n次方根的性质 (1)当n是 奇数 时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负 数.这时,a的n次方根用符号 a 表示. (2)当n是 偶数 时,正数的n次方根有两个,这两个数互为相反数.这时, 正数a的正的n次方根用符号 a 表示,负的n次方根用符号 - a 表示.正 的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ± a(a>0) .
答案

n

n

n

n

(3)0的任何次方根都是0,记作 0=0 . (4)负数没有偶次方根. 3.根式的定义
式子 a叫做根式,这里 n 叫做 根指数 ,a 叫做被开方数.
n

n

4.两个等式 (1)( a)n=a(n∈N*).
* ? a ? n 为奇数,且 n ∈ N ?, ? ? n n ? (2) a =? ?a?a≥0?, ?|a|=? ?n为偶数,且n∈N*?. ? ? ?-a?a<0? ?
答案

n

知识点二

分数指数幂
m n

m a (1)规定正数的正分数指数幂的意义是: (a>0, m, n∈N*, 且n>1). a =

n

1
(2)规定正数的负分数指数幂的意义是: a =a
m ? n

m n

(a>0, m, n∈N*, 且n>1).

(3)0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 .

答案

思考

m a (1)分数指数幂 能否理解为 n 个 a 相乘?
m n

m n

m 答 不能. a 不可以理解为 n 个 a 相乘, 事实上, 它是根式的一种新写法.
m a (2)在分数指数幂与根式的互化公式 = a 中,为什么必须规定 a>0?
m n
m n

n



①若 a=0,0 的正分数指数幂恒等于 0, 即 am= a =0, 无研究价值.
m n

n

3 a ②若 a<0, = a 不一定成立,如(-2) = ?-2? 无意义,故为了避 m

n

3 2

2

免上述情况规定了 a>0.
答案

知识点三

有理数指数幂的运算性质

(1)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q); (2)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q); (3)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q). 知识点四 无理数指数幂 无理数 指数幂 aα(a > 0 , α是无理数 ) 是一个确定的实数 .有理数指数幂的 运算性质对于无理数指数幂同样适用.

答案

返回

题型探究

重点突破

题型一 根式的运算
例1 求下列各式的值.
(1) ?-2?3;

4

3

3

?-2?3=-2.

(2) ?-3?2; 解
8

4

?-3? = 32= 3.
2

4

(3) ?3-π?8;

8

?3-π?8=|3-π|=π-3.
解析答案

(4) x -2x+1- x +6x+9,x∈(-3,3).
2 2

解 原式= ?x-1?2- ?x+3?2=|x-1|-|x+3|,

当-3<x≤1时,原式=1-x-(x+3)=-2x-2. 当1<x<3时,原式=x-1-(x+3)=-4.
? ?-2x-2,-3<x≤1, 因此,原式=? ? ?-4,1<x<3.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练1
(1) ?-2?5;
5

化简下列各式.


4

5

?-2?5=-2.

(2) ?-10?4;

4 4

?-10?4=|-10|=10.
4

(3) ?a-b? .

4

? ?a-b?a≥b?, 4 ?a-b? =|a-b|=? ? ?b-a?a<b?.
解析答案

题型二

根式与分数指数幂的互化
1 4

例2 将下列根式化成分数指数幂形式.
(1) a· a; (2) a a a;
(3) a2· a3;
3 3

3

4


解 解

3

a· a=a · a =a .
1 2 1 4

4

1 3

7 12

原式=a · a · a =a . 原式=a · a =a . 原式=(a )2· a · b =a b .
1 3 2 3

1 8

7 8

3 2

13 6

(4)( a)2· ab3. 解

1 2

3 2

7 6

3 2

反思与感悟

解析答案

跟踪训练2
3 6

用分数指数幂表示下列各式:

(1) a· -a(a<0);
解 原式=a · (-a)
1 3

1 3

1 6
1 2

=-(-a) · (-a) =-(-a) (a<0).

1 6

(2) ab2? ab?3(a,b>0);

3



2 ab ?a b = a b 原式=
5 2 7 1 2 3
5 6 7 6

3

3 2

3 2

3

5 2

7 2

= (a ? b ) = a b (a,b>0).
解析答案

(3) ( b ) (b<0);
解 原式= b
2 1 2 ? ? 3 4 3

4

2 3

2 3

=(-b) (b<0).

1 9

(4) 3

1 x? x2?2 5

(x≠0).

1

1
4 1 ? 5 3

解 原式=

x ? x

1 3



x

3 5

=x

?

3 5

(x≠0).

解析答案

题型三
例3

分数指数幂的运算
? 1 3
4 ? ? ? 7 ?0 3 3 - -? + [( - 2) ] ? ? 8 ? ?

(1)计算:0.064
3
? 1 3

+16-0.75+|-0.01| ;
1 2 2

1 2

解 原式=(0.4 )
-1

-1+(-2) +(2 )
-4

4 -0.75

+(0.1 )

1 1 143 =0.4 -1+16+8+0.1= 80 .
(2)化简: a
3 9 2

a?3 ÷
1 9 ? 3 2

3

a · a (a>0).
13
1 7 ?( ? ) 2 3

-7 3



原式= [a

?a

1 3 ?( ? ) 3 2

] ? [a

?a

1 13 ? 2 3

]=a

9 3 7 13 ? ? ? 6 6 6 6

=a =1.
0
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3
? ? ?2 3 ? 3 - 3 (1)? ? 8? ? ?

计算或化简:
+(0.002)
? 2 ? 3 ?
? 1 2

-10( 5-2)-1+( 2- 3)0;
? 1 ?? ? 2 +? ? ? ?500?
1



原式=(-1)
1 2

2 ? ? 3? 3 ?3 ? ? 8?

10 - +1 5 -2

?27? ? 2 ? 3 =? ? ? ?8 ?
3 3 2

4 167 +(500) -10( 5+2)+1=9+10 5-10 5-20+1=- 9 .
? 1 2

?3 ?5 a ? a ? ( a ) (2)

? (a ) .
? 1 2 ? 1 1 2 13 2
1 0 3 5 2 ? 13 1 2 2

?

1 2 13



?5 ( a ? a ) ? [( a ) ? (a ) ] =(a ) ? (a ? a 原式=

3 2

?

3 1 2 3

) = (a ) = a-2.
解析答案

1 -4 2

题型四 条件求值
例4 已知 a +a
1 2

?

1 2

=3,求下列各式的值.

(1)a+a-1;
解 将 a +a
1 2

?

1 2

=3 两边平方,得 a+a +2=9,即 a+a =7.
-1 -1

(2)a2+a-2; 解 对(1)中的式子平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47.
a ?a
3 2 ? 3 2

a ?a

3 2

?

3 2

(3) a ? a

1 2

1 ? 2

. 解

a ?a

1 2

1 ? 2

?

(a ? a ) ? (a + a ?1 + a ? a ) a ?a
1 2 ? 1 2

1 2

?

1 2

1 2

?

1 2

=a+a-1+1=8.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练4 解

已知a+a-1=5(a>0),求下列各式的值:

(1)a2+a-2; 方法一 由a+a-1=5两边平方, 得a2+2aa-1+a-2=25, 即a2+a-2=23.
1 2 ? 1 2

方法二 a2+a-2=a2+2aa-1+a-2-2aa-1=(a+a-1)2-2=25-2=23.
(2)a -a ;



∵(a -a ) =a+a-1-2=5-2=3,
1 2 ? 1 2 1 2 ? 1 2

1 2

?

1 2 2

∴|a -a |= 3,∴a -a =± 3.

(3)a3+a-3. 解 a3+a-3=(a+a-1)(a2-aa-1+a-2)=(a+a-1)(a2+2aa-1+a-2-3)
解析答案

=(a+a-1)[(a+a-1)2-3]=5×(25-3)=110.

易错点

因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误
化简:(1-a)[(a-1)-2· (-a) ] .
1 4

例5

1 2

1 2

错解 原式=(1-a)(a-1)-1· (-a)
1 2

=-(-a) .

1 4

正解 因为(-a) 存在,所以-a≥0,故 a-1<0,
原式=(1-a)(1-a)-1(-a) =(-a) .
1 4 1 4

错误原因

因题中有(-a) ,所以-a≥0,即 a≤0,
1 -2 2

1 2

则[(a-1) ] ≠(a-1)-1,错解中忽略了这一条件.
解析答案

跟踪训练 5


求[(1- 2) ] -(1+ 2) -1+2 ÷ 4 的值.
-1

1 2 2

13

7

1 原式= 2-1-( 2-1)-1+2 =-2.
-1

解析答案

返回

当堂检测

1

2

3

4

5

1.下列各式正确的是( A )
A.( a) =a
3
3

B.( 7) =-7
4

4

C.( a) =|a|
5
4

5

D. a6=a
5

6

解析 ( 7) =7,( a) =a, a6=|a|.
4 5

6

解析答案

1

2

3

4

5

2. ?a-b? + ?a-b?5的值是( C )
2

5

A.0 解析

B.2(a-b) 当a-b≥0时,

C.0或2(a-b) D.a-b 原式=a-b+a-b=2(a-b); 当a-b<0时,原式=b-a+a-b=0.

解析答案

1

2

3

4

5

3.化简 ?1-2x?2(2x>1)的结果是( C )

A.1-2x C.2x-1 解析

B.0 D.(1-2x)2

∵2x>1,∴1-2x<0.

∴ ?1-2x?2=|1-2x|=2x-1.

解析答案

1

2

3

4

5

-x3 - -x 4.化简 x 的结果是________.

答案

1

2

3

4

5

8 3 5.已知10m=2,10n=3,则103m-n=_____.
3m m 3 3 10 ? 10 ? 2 8 3m-n 解析 10 = 10n = 10n = 3 =3.

解析答案

课堂小结
1.掌握两个公式:(1)( a) =a(n∈N );(2)n 为奇数且 n∈N , an=a,n
n * *
n n

? ?a ?a≥0?, * n 为偶数且 n∈N , a =|a|=? ? ?-a?a<0?.
n

2.根式一般先转化成分数指数幂,然后利用有理数指数幂的运算性质进 行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中,一般采用由内到外逐层变换 的方法,然后运用运算性质准确求解.

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