当前位置:首页 >> 数学 >>

2.2.2


金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

第二章
2.2.2 用样本的数字 特征估计总体的数字特征

1

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

课前自主预习
随堂应用练习 方法警示探究 思路方法技巧 课后强化作业 探索延拓创新

/>
2

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

课前自主预习

3

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

温故知新 上一节我们学习了用图表来组织样本数据,并且还学习 了用样本的频率分布估计总体分布.为了更好地把握总体的 规律,我们还需要对总体的数字特征进行研究.

4

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

在初中,我们已经学过平均数描述了数据的 平均 水平, 定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.我们也知道可以 用样本的平均数去估计总体的平均水平,而样本数据的方 差、标准差则反映了数据的离散程度.方差或标准差越 小 , 数据越集中,总体越均衡;方差或标准差越 大 ,数据越分 散,总体越不均衡.而中位数则是指样本数据按从小到大(或 从大到小)的顺序排列后,处于 中间 位置的一个量,当样本数 据个数为奇数时, 中间一个数据 就是中位数,它是样本数

5

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

据;当样本数据个数为偶数时,中位数则是中间两个数据的
平均数 ,当这两个数据相等时,中位数是样本数据,否则

它不是样本数据,众数则是指在样本数据中出现次数 最多 的 数据,众数不一定 唯一.通过本节的学习,我们会更深刻地 理解这些数字特征,并能通过频率分布直方图去估算它们, 这也是我们学习的重点和难点所在.

6

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

新课引入 在欧洲国家,每当飞机发生空难,乘客对飞机的安全系 数产生怀疑时,常听到航空公司的有关人士辩解说:“乘坐 飞机还是比乘坐火车安全的.”理由是:飞机飞行10万千米 才死亡1人,而火车行驶5万千米就有1人死亡.你认为这个 结论正确吗,能否给出合理的解释呢?

7

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

8

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

自主预习 阅读教材P71-78,回答下列问题 1.众数 (1)定义:一组数据中出现次数 最多 的数称为这组数据的 众数. (2)特征:一组数据中的众数可能 不止一 有,反映了该组数据的 集中趋势. 个,也可能没

9

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[破疑点]

众数体现了样本数据的最大集中点,但它对

其他数据信息的忽视使其无法客观地反映总体特征.

10

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

一组数据:3,2,5,7,5,4,3,5的众数是________.

[答案]
[解析]

5
在该组数据中,3出现两次,2,4,7分别出现一

次,5出现三次,5出现的次数最多,所以5为众数.

11

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

2.中位数 (1)定义:一组数据按从小到大的顺序排成一列,处于
中间 位置的数称为这组数据的中位数.

(2)特征:一组数据中的中位数是 唯一 的,反映了该组数 据的 集中趋势. 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的 直方图的面积 相等.

12

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[破疑点]

中位数不受少数几个极端值的影响,这在某

些情况下是优点,但它对极端值的不敏感有时也会成为缺 点.

13

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

一组数据3,-1,-2,1,9,5的中位数是________.

[答案] 2

14

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

把这组数据按从小到大的顺序排列:-2,-

1,1,3,5,9,则中间有两个数1和3,取其平均数,2为中位 数.

15

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[规律]

n个数据按大小依次排列,当n为奇数时,则中

间位置仅有一个数,这个数就是中位数;当n为偶数时,则 中间位置有两个数,取这两个数的平均数为中位数.

16

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

3.平均数 (1)定义:一组数据的和与这组数据的个数的商.数据
x1+x2+?+xn n x1,x2,?,xn的平均数为 x n= .

17

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(2)特征:平均数对数据有“取齐”的作用,代表该组数 据的 平均水平. 任何一个数据的改变都会引起平均数的变 化,这是众数和中位数都不具有的性质.所以与众数、中位 数比较起来,平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的
信息 ,但平均数受数据中 极端值 的影响较大,使平均数在估

计总体时可靠性降低.

18

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(1)一组数据:-2,-1,3,1,-7,0的平均数是______ __.

[答案]
[解析]

-1
-2-1+3+1-7+0 平均数 x = =-1. 6

19

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(2)在一组数据中,共有10个数,其中3出现2次,9出现4 次,-3出现1次,5出现3次,则这组数据的平均数为 ________.

[答案]

5.4

20

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

3出现2次,其积为6,9出现4次,其积为36,-3

出现1次,5出现3次,其积为15,则这10个数据之和为6+36 54 -3+15=54,则这组数据的平均数 x = =5.4. 10

21

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[规律]

一般地,若取值为x1,x2,?,xn的频率分别为

p1,p2,?,pn,则其平均数为 x =x1p1+x2p2+x3p3+?+ xnpn(其中p1+p2+?+pn=1). 像这样运用频率计算的平均值称为加权平均数.

22

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

4.标准差 (1)定义:标准差是样本数据到平均数的一种平均距离, 一般用s表示,通常用以下公式来计算
1 2 2 2 [ ? x 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ] n .

s=

可以用计算器或计算机计算标准差.

23

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(2)特征:标准差描述一组数据围绕 平均数 波动的大小, 反映了一组数据变化的幅度和离散程度的大小.标准差较 大,数据的离散程度较 大 ;标准差较小,数据的离散程度较
小.

24

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是 100,那么这个数组的标准差是( A.1 B.2 ) C .3 D.4

[答案]

A

25

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析] 32=1.

1 2 1 2 2 2 2 由s = (x1+x2+?+xn)- x ,得s = ×100- n 10
2

26

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

5.方差 (1)定义:标准差的平方,
- - - 1 2 2 即s2= n[(x1-x ) +(x2-x) +?+(xn-x )]



(2)特征:与 标准差 的作用相同,描述一组数据围绕平 均数波动程度的大小. (3)取值范围: [0,+∞).

27

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[知识拓展]

数据组x1,x2,?,xn的平均数为 x ,方差

为s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,?,axn+b(a, b为常数)的平均数为a x +b,方差为a2s2,标准差为as.

28

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(1)下列刻画一组数据离散程度的是( A.平均数 C.中位数 B.方差 D.众数

)

[答案]

B

29

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(2)计算10,11,12,11,14,8的方差.
[解析]
2

1 方法1: x = ×(10+11+12+11+14+8)=11, 6

1 ∴s = 6 ×[(10-11)2+(11-11)2+(12-11)2+(11-11)2+(14 1 10 -11) +(8-11) ]= ×(1+0+1+0+9+9)= . 6 3
2 2

30

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

方法2:由于该组数据都集中在11附近,故每一个数据 都减去11得到一组新数据:-1,0,1,0,3,-3,该组数据的方 差与原数据组方差相等.x1=0, 1 10 2 2 2 2 2 2 ∴s = [(-1) +0 +1 +0 +3 +(-3) ]= . 6 3
2


31

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[归纳总结]

方法2适用于每个数据都比较接近同一个数

的问题,当数据又大又多时,更能体现方法2的优越性.

32

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

6.用样本估计总体 现实中的总体所包含的个体数往往很多,总体的平均 数、众数、中位数、标准差、方差是不知道的,因此,通常 用 样本 的平均数、众数、中位数、标准差、方差来估计.这 与上一节用 样本 的频率分布来近似地代替总体分布是类似 的.只要样本的代表性好,这样做就是合理的,也是可以接 受的.

33

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[归纳总结]

用样本的数字特征估计总体的数字特征分

两类:用样本平均数估计总体平均数;用样本标准差估计总 体标准差,样本容量越大,估计就越精确.

34

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(1)下列判断正确的是(

)

A.样本平均数一定小于总体平均数 B.样本平均数一定大于总体平均数 C.样本平均数一定等于总体平均数 D.样本容量越大,样本平均数越接近总体平均数

[答案] D

35

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(2)电池厂从某日生产的电池中抽取10个进行寿命测试, 得数据如下(单位:小时):30,35,25,25,30,34,26,25,29,21,则 该日生产电池的平均寿命估计为( A.27 C.29 B.28 D.30 )

[答案]

B

36

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

1 这10个数据的平均数是 (30+35+25+25+30 10

+34+26+25+29+21)=28,则该日生产的电池的平均寿命 估计为28小时.

37

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

随堂应用练习

38

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

1.下列说法错误的是(

)

A.在统计里,把所需考察对象的全体叫做总体 B.一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据 C.平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数 据的集中趋势 D.一组数据的方差越大,说明这组数据的波动越大

[答案] B

39

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

2.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体数据 的( ) A.平均状态 C.离散程度 B.分布规律 D.最大值和最小值

[答案]

C

40

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

3.如图,是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得 分的茎叶图,则得分的中位数与众数分别为( )

A.3与3 C.3与23

B.23与3 D.23与23

[答案]

D
41

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

中位数是指一组数据按从小到大(或从大到小)的

顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的 平均数),从茎叶图中可知中位数为23;众数是指一组数据中 出现次数最多的数,从茎叶图中可知23出现了3次,次数最 多,因此众数也是23,所以选D.

42

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

4.(2012· 山东卷)在某次测量中得到的A样本数据如下: 82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据 都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同 的是( ) B.平均数 D.标准差

A.众数 C.中位数

[答案] D

43

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

样本数据都加2后所得数据的波动性并没有发生

改变,所以标准差不变,故选D.

44

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

5.抛硬币20次,正面12次,反面8次.如果抛到正面得 3分,抛到反面得1分,则平均得分是________,得分的方差 是________.

[答案]

2.2

0.96

45

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]
2

44 总得分为12×3+8×1=44,则平均分是 = 20

1 2.2,方差s =20[(3-2.2)2×12+(1-2.2)2×8]=0.96.

46

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

6.某人5次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为x, y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10,方差为2,则x2+y2= ________.

[答案]

208

47

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

1 由平均数为10,得(x+y+10+11+9)× =10. 5

则x+y=20; 又由于方差为2,则[(x-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(11 1 -10) +(9-10) ]×5=2,
2 2

整理得x2+y2-20(x+y)=-192, 则x2+y2=20(x+y)-192=20×20-192=208.

48

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

7.某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80 名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所 示.

49

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

(1)求这次测试数学成绩的众数; (2)求这次测试数学成绩的中位数; (3)求这次测试数学成绩的平均分. [分析] 根据直方图中的数据及众数、中位数、平均数

的定义可解此题.

50

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

70+80 (1)由图知众数为 =75. 2

(2)由图知,设中位数为x,由于前三个矩形面积之和为 0.4,第四个矩形面积为0.3,0.3+0.4>0.5,因此中位数位于第 四个矩形内,0.1=0.03(x-70),∴x=73.3.

51

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

40+50 (3)由图知这次数学成绩的平均分为: ×0.005×10 2 50+60 60+70 70+80 + ×0.015×10+ ×0.02×10+ 2 2 2 80+90 90+100 ×0.03×10+ ×0.025×10+ ×0.05×10=72. 2 2

52

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

8.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两 人的竞赛成绩相同,从而决定根据平时在相同条件下进行的 六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下: 甲 乙 127 133 138 129 130 138 137 134 135 128 131 136

53

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳 定性,从中选出一位参加数学竞赛.

54

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

[解析]

设甲乙两人的平均数分别为 x 甲, x 乙,

1 则 x 甲=130+6(-3+8+0+7+5+1)=133, 1 x 乙=130+ (3-1+8+4-2+6)=133, 6 1 47 2 2 2 2 2 2 s甲=6[(-6) +5 +(-3) +4 +2 +(-2) ]= 3 ,
2

1 2 38 2 2 2 2 2 s乙= [0 +(-4) +5 +1 +(-5) +3 ]= . 6 3
2

55

金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 老师都说好!

因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以 乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选乙参加竞赛比较合适.

56


相关文章:
更多相关标签: