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黄冈中学2012年高一年级期中考试数学试卷


湖北省黄冈中学 2012 年秋季高一期中考试
数学试题
命题:袁进 审稿:汤彩仙

一、选择题(每小题 5 分,10 个小题,共 50 分.每小题有且只有一个正确答案. ) 1. 已知集合 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0}, B ? {x | x ? 1} ,则 A ? B ?
2

A. {x | x ? 1} C. {x |1 ? x ? 3} 2. 下列等式对 a ? 0 时一定成立的是 A. a ? a ? a
1 3 3 2

B. {x | x ? 3} D. {x | ?1 ? x ? 1}

B. a

?

1 2

? a =0

1 2

C. a

? ?

3 2

?a

9

D.a ? a ? a

1 2

1 3

1 6

3. 下列各组函数中,表示同一个函数的是 A. y ? C. y ?

x2 ?1 与 y ? x ?1 x ?1
x2 ? 1与 y ? x ?1

B. y ? lg x 与 y ?

1 lg x 2 2
x

D. y ? x 与 y ? log a a (a > 0且a ? 1)

4. 已知 f (1 ? 2 x) ?

1 ?1? ,那么 f ? ? = 2 x ?2?
B.

A.4

1 4

C.16

D.

1 16

5. 设函数 f ? x ? 在 ? ??, ?? ? 上是减函数,则 A. f ? a ? ? f ? 2a ? C. f a ? a ? f ? a ?
2

B. f a ? 1 ? f ? a ?
2

?

?

?

?

D. f a

? ? ? f ?a?
2

6. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为 A. y ? x | x | B. y ? ? x
2

C. y ? x ? 1

D. y ?

1 x

7. 函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 的递增区间是
2

A. (??,   1) 8. 设 3 ? 4 ? m ,且
a b

B. (2,   ?) ?

3 C. (??,   ) 2

3 D. ( ,   ?) ? 2

1 1 ? ? 2 ,则 m ? a b
B. 2 3 C. 4 3 D. 48

A. 12

第 1 页 共 8 页

9. 若函数 f ( x ) ? ?

?a x , x ? 1 ?(2 ? 3a ) x ? 1, x ? 1

是 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是

2 3 2 3 2 B. [ ,1) C. ( , ] D. ( ,?? ) 4 3 4 3 3 2 10.函数 y ? log 1 ? x ? ax ? 3 ? 在 ?1, 2 ? 上恒为正数,则 a 的取值范围是
A. ( ,1)
3

A. 2 2 ? a ? 2 3 C. 3 ? a ?

B. 2 2 ? a ?

7 2

7 2

D. 3 ? a ? 2 3

二、填空题(每小题 5 分,5 个小题,共 25 分) 11.已知集合 A ? ??1,3,2m ? 1? ,集合 B ? {3, m 2 }, 若 B ? A ,则实数 m ? 12.设 g ( x ) ? ? .

? e x ,??? x ? 0 ?lnx,?? x ? 0

,则 g[ g ( )] ? __________.

1 2

13.幂函数 y ? m ? m ? 1 x
2

?

?

m 2 ? 2 m ?1

在 x ? ? 0, ?? ? 时为减函数,则 m=



7 14.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 2 ,若 f ? 2012 ? ? 10 ,则 f ? ?2012 ? 的值为



ax 15.设函数 f ? x ? ? ? a ? 0, 且a ? 1? ,若用 ? m? 表示不超过实数 m 的最大整数,则函 1? ax
数 y ? ? f ? x ? ? ? ? ? f ? ? x ? ? ? 的值域为___ ______. 2 2

? ?

1? ?

? ?

1? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)

2 已知集合 A ? x x ? x ≤ 0, x ? R ,设函数 f ( x ) ? 2

?

?

x2 ? 2 x ?3

, x ? A 的值域为 B ,求集

合 B.

第 2 页 共 8 页

17. (本题满分 12 分) 已知全集为 R,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为集合 A,集合 B ? {x | x( x ? 1) ? 6} , (1)求 A ? B, A ? ? ?R B ? ; (2)若 C ? ?x | 1 ? m ? x ? m? , C ? A ? ? ?R B ? ,求实数 m 的取值范围.

?

?

18. (本题满分 12 分) 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律: 每生产产 品 x (百台) ,其总成本为 G ? x ? (万元) ,其中固定成本为 2.8 万元,并且每生产 1 百台的 生 产 成 本 为 1 万 元 ( 总 成 本 = 固 定 成 本 + 生 产 成 本 ) 销 售 收 入 R?x ? ( 万 元 ) 满 足 .

?? 0.4 x 2 ? 4.2 x?0 ? x ? 5? R?x ? ? ? ,假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉) ,根据 ?11? x ? 5?

上述统计规律,请完成下列问题: (1)求利润函数 y ? f ?x ? 的解析式(利润=销售收入—总成本) ; (2)工厂生产多少台产品时,可使盈利最多?

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 4 4 ? 1 ? kx ? k ? R ? .
x

?

?

(1)若 k ? 0 ,求不等式 f ? x ? ?

1 的解集; 2

(2)若 f ? x ? 为偶函数,求 k 的值.

第 3 页 共 8 页

20. (本题满分 13 分) 已知 f ( x ) 是定义在 ? 0, ?? ? 上的函数,且对任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) , 且当 x ? 1 时, f ? x ? ? 0 . (1)证明 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数; (2)若 f (3) = 1 ,集合 A =

{x

? ? ? (a ? 1) x ? 1 ? f ( x ) > f ( x - 1) + 2} , B ? ? x | f ? ? ? 0, a ? R ? , ? x ?1 ? ? ?

A ? B ? ? , 求实数 a 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)

x 已 知 集 合 C ? ? f? ? |

x ? f ? 是定义域上的单调增函数或单调减函数?

, 集 合 D?

? f ? x ? | f ( x)在定义域内存在区间? a, b?, 使得f ( x)在区间?a, b?上的值域为?ka, kb?, k为常数?.
(1)当 k ?

1 时,判断函数 f ( x ) ? x 是否属于集合 C ? D ?并说明理由.若是,则求出 2

区间 [a, b] ; (2)当 k ?

1 时,若函数 f ( x ) ? x ? t ? C ? D ,求实数 t 的取值范围; 2
2

(3)当 k ? 1 时,是否存在实数 m ,当 a ? b ? 2 时,使函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? m ? D ,若 存在,求出 m 的范围,若不存在,说明理由.

第 4 页 共 8 页

答案: 1——10 11. 1

C D D C B 12.

A A B C D 14. ?14 15.

1 2

13. 2

?-1, 0?

选择填空解析: 1. 解析:由于 A ? ? x | ?1 ? x ? 3? ,从而 A ? B ? ? x |1 ? x ? 3? ,故选 C 2. 解析:由分数指数幂的运算性质得 a 2 ? a 3 ? a 2 3 ? a 6 ,故选 D 3. 解析:A,B 组中两函数的定义域不等,C 组两函数的对应关系不同,故选 D. 4. 解析:在式子 f ?1 ? 2 x ? ?
1 1 1 1 ? 1

1 1 ?1? 中令 x ? ,得 f ? ? ? 16 .选 C 2 x 4 ?2?
2

1? 3 ? 2 5. 解析: ? a ? 1 ? a ? ? a ? ? ? ? 0 ? a ? 1 ? a ?由函数为减函数得 2? 4 ?
2

f ? a 2 ? 1? ? f ? a ? .选 B

| | | | 6. 解析: f ? x ? ? x | x | , f ? ?x ? ?? x ? x ?? x x ?? f x 设 则

? ? ,所以 f ? x ? 为奇函数,

? x2 , x ? 0 ? f ? x ? ? x | x |? ? 2 又 ,画出 f ? x ? 的图象可知其为增函数,选 A. ?? x , x ? 0 ?
7.解析:令 u ? x2 ? 2 x ? 3, y ? log 1 u ,由 u ? 0得 ?? 1 或 ? 3 , u 在 ? ??, ?1? 上为减函数, x x ?
2

y 也为减函数,所以它们的复合函数 f ( x) ? log 1 ( x2 ? 3x ? 2) 在 ? ??, ?1? 为增函数.选 A.
2

8. 解析:由对数的概念知: a ? log3 m, b ? log 4 n ,根据换底公式可知

1 2 ? ? log m 3 ? log m 4 ? log m 12 ? 2 ,? m ? 2 3 ,选 B a b ?0 ? a ? 1 2 3 ? ? ? a ? ,选 C. 9.解析:由 f ? x ? 为 R 上的减函数,利用图象分析得: ? 2 ? 3a ? 0 3 4 ? 2 ? 3a ? 1 ? a ?
3 ? ?a ? x ? x ? 2 在 ?1, 2 ? 上恒 10. 解析:由题意可知: 0 ? x ? ax ? 3 ? 1在 ?1, 2 ? 上恒成立,也即 ? ?a ? x ? 2 ? x ?
成立,所以 a ? ? x ?
2

? ?

3? 2? ? ? ? 2 3且a ? ? x ? ? ? 3 ,故 3 ? a ? 2 3 ,选 D. x ?min x ?max ?

11. 解析:由 m ? 2m ? 1 得 m ? 1,经检验 m ? 1 满足题意. 12. 解析: g[ g ( )] ? e

1 2

ln

1 2

?

1 . 2
第 5 页 共 8 页

13. 解析:由 ?

?m 2 ? m ? 1 ? 1 ? ?m?2 2 ? m ? 2m ? 1 ? 0 ?
7

14. 解析: g ? x ? ? f ? x ? ? 2 ? ax ? bx ,因为 g ? x ? 为奇函数,所以 g ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 , 从而 f ? x ? ? 2 ? f ? ? x ? ? 2 ? 0 ,所以 f ? ?2012 ? ? ?4 ? f ? 2012 ? ? ?14 . 15. 解析: f ? x ? ?

ax 1 a? x 1 , f ??x? ? ? 1? ? x x ?x 1? a 1? a 1? a 1? ax
1? 1? 1 1 ? ? , ? f ? ? x ? ? 1 ? ? f ? x ? ? ? ? ?1, ? f ? ? x ? ? ? ? 0 ; 2? 2? 2 2 ? ?

当 0 ? a ? 1 时, 0 ? f ? x ? ?
x

当 a ? 1 时,
x

1? 1? 1 1 ? ? ? f ? x ? ? 1, 0 ? f ? ? x ? ? ? ? f ? x ? ? ? ? 0, ? f ? ? x ? ? ? ? ?1 , 2? 2? 2 2 ? ? 1? 1? 1 1 ? ? , f ? ? x ? ? ,? ? f ? x ? ? ? ? 0, ? f ? ? x ? ? ? ? 0 ; 2? 2? 2 2 ? ?

当 a ? 1 时, f ? x ? ?
x

所以所求函数的值域为

??1, 0? .
??3 分 ??12 分

16.解:? A ? ? x x 2 ? x ≤ 0, x ? R? ? [0,1],

? x 2 ? 2 x ? 3 ? ? x ? 1? ? 2
2

x 2 ? 2 x ? 3 ? [2, 3] ? 2 x

2

? 2 x ?3

? [4, 8] ? B ? [4, 8].
??2 分

17.解:(1)由 1 ? x ? 0 得,函数 f ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域 A ? ?x | x ? 1?

x 2 ? x ? 6 ? 0 , ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ,得 B ? {x | x ? 3或x ? ?2}
∴ A ? B ? ?x | x ? 1或x ? 3?,

??4 分 ??5 分 ??6 分

C R B ? {x | ?2 ? x ? 3} ,? A ? (C R B) ? ?x | ?2 ? x ? 1?
(2) ? C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,

1 ; 2 ?1 ? m ? m ? ②当 C ? ? 时,要 C ? ?x | ?2 ? x ? 1?,则 ?1 ? m ? ?2 , ?m ? 1 ?
①当 C ? ? 时,满足要求,此时 1 ? m ? m ,得 m ?

??8 分

??10 分

1 ? m ? 1; 2 由①②得, m ? 1
解得

??11 分, ??12 分
第 6 页 共 8 页

18.解: (1)由题意得 G(x)=2.8+x. ∴ f ( x) =R(x)?G(x)= ?

??0.4 x 2 ? 3.2 x ? 2.8(0 ? x ? 5) ? 8.2 ? x( x ? 5)



??6 分

(2)当 x>5 时,∵函数 f ( x) 递减,∴ f ( x) < f (5) =3.2(万元) ??8 分 . 当 0≤x≤5 时,函数 f ( x) = -0.4(x?4)2+3.6, 当 x=4 时, f ( x) 有最大值为 3.6(万元) . 所以当工厂生产 4 百台时,可使赢利最大为 3.6 万元. 19.解: (1) f ( x) ? log 4 4 ? 1 ,? log 4 4 x ? 1 ?
x

??12 分

?

?

?

?

1 ? 4 x ? 1 ? 2 ,? x ? 0 ,即不等式 2

的解集为 ? 0, ?? ? .

????6 分

?x x (2)由于 f ? x ? 为偶函数,∴ f ? ? x ? ? f ( x) 即 log 4 4 ? 1 ? kx ? log 4 4 ? 1 ? kx ,

?

?

?

?

? 2kx ? log 4 ? 4? x ? 1? ? log 4 ? 4 x ? 1? ? log 4
k?? 1 2
????12 分

4? x ? 1 ? ? x 对任意实数 x 都成立, 所以 4x ? 1

20. 1) ( 证明: 0 ? x1 ? x2 ? ?? , 设 则由条件 “对任意正数 x , y 都有 f ( xy ) = f ( x) + f ( y ) ” 可知: f ? x2 ? ? f ?

? x2 ? ?x ? ?x1 ? ? f ? 2 ? ? f ? x1 ? ? x1 ? ? x1 ?

?

?x ? x2 ? 1?由已知条件f ? 2 ? ? 0 , x1 ? x1 ?

?x ? ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? 2 ? ? 0即f ? x2 ? ? f ? x1 ? , 因此 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上为增函数. ? x1 ?
????5 分 (2) 解:? f ? 3 ? ? 1? f ? 9 ? ? 2 ? f ? x ? ? f ? x ? 1? ? 2 ? f ? x ? ? f ? 9x ? 9 ? ,

?x ? 9x ? 9 9? ? ?? ,从而 A ? ? x |1 ? x ? ? , 8? ? ?x ?1 ? 0
在已知条件中,令 x ? y ? 1 ,得 f ?1? ? 0 .

???7 分

???8 分

ax ? x ? 1 ax ? 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ?f? ?1? ? 0 ? (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ? 0 ? f ?1? ? x ?1 x ?1 ? x ?1 ?
???10 分 ∴ ① a ? 0时 ② a ? 0时

B ? {x | x ? ?1} ,满足 A ? B ? ?
? B ? ? x | x ? ?1或x ? ? 2? 2 9 16 ? ∵ A? B ? ? ? ? ? a ? a? a 8 9

第 7 页 共 8 页

③ a ? 0 时,不等式 (ax ? 2)( x ? 1) ? 0 的解集在两个负数之间,满足 A ? B ? ? 综上, a 的取值范围是 a ? 21.解: (1) y ?

16 9
y?

?????13 分

x 的定义域是 ?0,??? ,?

x 在 ?0,??? 上是单调增函数.

∴y?

1 ? ? a ? 2 a, ? x 在 [a, b] 上的值域是 [ a , b ] .由 ? ? b ? 1 b. ? 2 ?
x 属于集合 C ? D ,且这个区间是 [0,4] .

解得: ?

? a ? 0, ?b ? 4.

故函数 y ?

????4 分

(2) 设 g ( x) ?

x ? t ,则易知 g (x) 是定义域 [0, ??) 上的增函数.

? g(x) ? C ? D ,?存在区间 [a, b] ? [0, ??) ,满足 g (a) ?

1 1 a , g (b) ? b . 2 2 1 1 即方程 g ( x) ? x 在 [0, ??) 内有两个不等实根. 方程 x ? t ? x 在 [0, ??) 内有两个不 2 2 1 2 2 等实根, 令 x ? m 则其化为: m ? t ? m 即 m ? 2m ? 2t ? 0 有两个非负的不等实根, 从 2
?? ? 0 1 ? 而有: ? x1 ? x2 ? 0 ? ? ? t ? 0 ; 2 ?x x ? 0 ? 1 2
(3) f ( x) ? x ? 2 x ? m ? D ,且 k ? 1 ,所以
2

????9 分

①当 a ? b ? 1时,在 [a, b] 上单调减,
2 ?b ? m ? 2a ? a 2    ? (1) (3) ? ?1 ? a ? m ? 2a ? a    ? (1) ? (2)得a ? b ? 1 , ? ? 2 2 (2) (4) ?a ? m ? 2b ? b    ?1 ? b ? m ? 2b ? b    ? ?

?0 ? m ? 1 ? a ? a 2    (5) 5 ? 所以方程0 ? m ? 1 ? x ? x 2在x ? 1上有两个不同的解,可得m ? [1, ) ? 2 4 (6) ?0 ? m ? 1 ? b ? b    ?
????11 分 ② 若a ? 1 ? b ,由 a ? b ? 2 ,可得且 1 ? a ? b ? 1,所以 x=1 处取到最小值,x=a 取到最大 值,所以 a ? f ( x)min ? f (1) ? m ? 1 , b ? f ( x) max ? m ? 2a ? a ,
2

2 2 ∵ b ? 2 ? a ∴ b ? m ? 2a ? a ? 1 ? a ? 1 ? 2a ? a ? 2 ? a ? a ? [?1, 0] ? m ? ? 0,1?

综上得: ? [0, ) m

5 4

????14 分

第 8 页 共 8 页


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