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高考中的立体几何小题解题策略


高考中的立体几何小题解题策略
1、与三视图有关的问题: 例 1:(2013 年高考新课标 1(理))某几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积为 ( A. 16 ? 8? C. 16 ? 16? 【答案】A B. 8 ? 8? D. 8 ? 16? )

练 1:(2013 年高考湖北卷(理))一个几何体的 三视图如图所示,该几何体从上 到下由四个

简 单几何体组成,其体积分别记为 V1 , V2 , V3 , V4 , 上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简 单几何体均为多面体,则有( A. V1 ? V2 ? V4 ? V3 B. V1 ? V3 ? V2 ? V4 C. V2 ? V1 ? V3 ? V4 D. V2 ? V3 ? V1 ? V4 )

2、判断命题真假问题: 例 2:(2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)设 m, n 是两条 不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? 【答案】D 练 2:【2012 高考真题四川理 6】下列命题正确的是( ) A、若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 )

B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

C、若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 练 3:2011 辽宁理 8.如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方 形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确的是 ... A.AC⊥SB; B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 3、求值问题: 例 3:(2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题)已知三棱柱 9 ABC ? A1 B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 ,底面是边长为 3 的正三角形. 4 若 P 为底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为(
5? A. 12

D



? B. 3

? C. 4

? D. 6

【答案】B 练 4 :【 2012 高考 真题山东理 14】 如 图,正方体
ABCD ? A1 B1C1D1 的棱长为 1, E , F 分别为线段 AA1 , B1C

上的点,则三棱锥 D1 ? EDF 的体积为____________.

4、取值范围(最值)问题: 例 4:(2013 年高考北京卷(理))如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 BC 的中点,点 P 在 线段 D1E 上,点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 __________. 【答案】
2 5 5

D1

C1
P
?

A1

B1

D A

练 5: 【2012 高考真题重庆理 9】设四面体的六条棱的

B

E

C

长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值 范围是

(A) (0, 2) (C) (1, 2) 【答案】A

(B) (0, 3) (D) (1, 3)

【解析】 因为 BE ? 1 ? (

2 2 1 2 ) ? 1? ? 2 2 2

则 BF ? BE , AB ? 2BF ? 2BE ? 2 ,选 A, 练 6:【2012 高考真题上海理 14】如图, AD 与 BC 是四面 体 ABCD 中 互 相 垂 直 的 棱 , BC ? 2 , 若 AD ? 2c , 且

AB ? BD ? AC ? CD ? 2a , 其 中 a 、 c 为 常 数 ,则四 面 体
。 ABCD 的体积的最大值是 2 【答案】 c a 2 ? c 2 ? 1 。 3 【解析】过点 A 做 AE⊥BC,垂足为 E,连接 DE,由 AD⊥BC 可知,BC⊥平面 ADE,
1 2 所以 V ? VB ? ADE ? VC ? ADE ? S ADE ? BC = S ADE , 3 3 当 AB=BD=AC=DC=a 时,四面体 ABCD 的体积最大。

过 E 做 EF⊥DA,垂足为点 F,已知 EA=ED,所以△ADE 为等腰三角形,所以点 E 为 AD 的中点,又 AE 2 ? AB 2 ? BE 2 ? a 2 ? 1 ,∴EF= AE 2 ? AF 2 ? a 2 ? c 2 ? 1 , ∴ S ADE =
1 AD ? EF = c a 2 ? c 2 ? 1 , 2 2 2 S ADE = c a 2 ? c 2 ? 1 。 3 3

∴四面体 A BCD 体积的最大值 Vmax ? 5、创新型问题:

例 5:2013 年高考上海卷 ( (理)在 xOy 平面上,将两个半圆弧 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1( x ? 1) ) 和 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1( x ? 3) 、 两 条 直 线 y ? 1 和
y ? ?1 围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.

记 D 绕 y 轴旋转一周而成的几何体为 ? ,过
(0, y)(| y |? 1) 作 ? 的水平截面,所得截面面积为
4? 1 ? y 2 ? 8? ,试利用祖暅原理、 一个平放的圆

柱和一个长方体,得出 ? 的体积值为__________

【答案】 2? 2 ? 16? . 练 7:【2012 高考真题浙江理 10】已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 2 。将△ABD 沿 矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折,在翻折过程中。 A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直. B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直. C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直. D.对任意位置,三对直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂 直 【答案】C


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