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指数函数与对数函数图像交点个数问题


x 探究函数 y ? a 与 y ? log a x 图象的交点个数问题 函数 y ? a x 与 y ? log a x (a ? 0, 且a ? 1) 互为反函数,在同一坐标系中,它们的图象的 交点个数取决于 a 的取值.在此,笔者以函数与方程的思想为指导,运用导数的知识来探究它 们图象的交点个数问题. 探究 由 ? ? y ? ax ? y ? log a x , 得 x ? ?y ? a ? y ? ?a ? x ① (其中x ? 0, y ? 0) ② (1)当 a ? 1 时 ① + ② , 得 y ? a y ? ax ? x . 令 f ( x) ? a x ? x, x ? 0. 则 f ( y ) ? f ( x) , 即 f (a x ) ? f ( x) . x x ∵ a ? 1 , ∴ f ( x ) 为 增 函 数 , ∴ a ? x . 两 边 取 自 然 对 数 , 得 ln a ? ln x , 即 x ln a ? ln x ? 0 . 令 g ( x) ? x ln a ? ln x, x ? 0 . 求导,得 g ?( x) ? ln a ? 当 x 变化时, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表 : 1 1 . 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? . x ln a x g ?( x ) g ( x) ( 0, 1 ) ln a — ↘ 1 ln a 0 极小值 ( 1 , ?? ) ln a + ↗ 由上表可知,当 x ? 1 1 ? 1 ? ln ? ln a ? . 时, g ( x)极小值 = 1 ? ln ln a ln a ∵ g ( x) 只有一个极值,∴ g ( x)min ? 1 ? ln ? ln a ? . ( ⅰ ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 , 即 a ? e e 时 , 方 程 g ( x ) ? 0 无 解 , 此 时 函 数 y ? a x 与 1 y ? loga x 的图象没有交点; x ( ⅱ ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 ,即 a ? e e 时,方程 g ( x ) ? 0 有一 解,此时函数 y ? a 与 1 y ? loga x 的图象有一个交点; (ⅲ) 当 1 ? ln ? ln a ? ? 0 , 即 1 ? a ? e 时, 由于 g ( x) 在 ? 0, ??? 内连续, 且当 x ? 0 时, ? 1 e g ( x) ? ?? ;当 x ? ??时, g ( x) ? ?? ,∴ 方程 g ( x ) ? 0 有两解,此时函数 y ? a x 与 y ? loga x 的图象有两个交点. (2)当 0 ? a ? 1 时 由①、②,消去 y ,得 x aa x ?x ③ 由于 a ? 0 ,且 0 ? a ? 1 ,故 0 ? aa x ? 1 ,即 0 ? x ? 1 . x x 对③式两边取自然对数,得 a ln a ? ln x ,即 a ? ln x . ln a 两边取自然对数,得 x ln a ? ln 令 h( x) ? ln ln x . ln a ln x 1 ? x ln a, x ? ? 0,1? .求导,得 h?( x) ? ? ln a . ln a x ln x 1 1 , x ? (0,1) .则 ? ?( x) ? ln x ? 1. 由 h?( x) ? 0 ,得 x ln x

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